【论文】投资组合的VaR计算.pdf

投资组合的 var 计算 i 摘要 进入 90 年代 随着国际金融市场的日趋规范 壮大 各金融机构之间 的竞争也发生了根本性变化 特别是金融产品的创新 使金融机构从过去 的资源探索转变为内部管理与创新方式的竞争 从而导致了各金融机构的 经营管理发生了深刻的变化 发达国家的各大银行 证券公司和其他金融 机构都在积极参与金融产品 工具 的创新和交易 使金融风险管理问题 成为现代金融机构的基础和核心 在风险管理的各种方法中 var 方法较为引人瞩目 尤其是在过去的 几年里 许多银行和法规制定者开始把这种方法当作全行业衡量风险的一 种标准来看待 var 之所以具有吸引力是因为它把银行的全部资产组合风 险概括为一个简单的数字 并以美元计量单位来表示风险管理的核心 潜 在亏损 本论文主要研究投资组合中区别于传统正态分布的 var 的计算及它们之间 的比较 用概率统计方法计算出几种常见分布下的 var t 分布 广义误差分布 极值分布 关键词 价值风险 var 正态分布 t 分布 广义误差分布 极值分布 投资组合的 var 计算 ii abstract into the 90 s with the international financial markets become increasingly sta ndardized stronger competition among financial institutions has also changed funda mentally especially in the innovation of financial products to financial institutions to explore the resources from the past into the internal management and innovati on mode competition leading to the financial institution s operational management profound changes have occurred in developed countries the major banks securitie s companies and other financial institutions are actively involved in the financial products tools innovation and transactions management of financial risks issue h as become the foundation of modern financial institutions and the core in the various methods of risk management var method is more remarkable in particular the many banks and law makers began to this methodsas the entir e industry to assess the risks of a standard look var was attractive because it is the bank s total portfolio risk summarized as a simple number and units of meas urement in u s dollars to express the core of risk management the potential loss in this thesis the portfolio var is different from the traditional normal distri bution calculation and comparison between them statistical method used to calcul ate the probability distribution of several common under the var t distribution generalized error distribution extreme value distribution key words value at risk normal distribution t distribution generalized error distribution extreme value distribution 投资组合的 var 计算 iii 目录 第一章 前言 1 1 1 选题背景和研究意义 1 1 2 受险价值被广泛使用的原因 1 1 3 研究的基本内容 2 第二章 var理论知识 3 2 1 var 的定义 3 2 2 var 的特点 4 2 3 var 的应用 4 第三章 var的计算 6 3 1 构建 var 的步骤 6 3 2 一般分布中的 var 6 3 2 参数分布中的 var 8 第四章 实例应用 14 4 1 数据选取 14 4 2 var 计算 15 第五章 结论 18 参考文献 19 致谢致谢 20 声明声明 21 投资组合的 var 计算 1 第一章前言 1 1 选题背景和研究意义 在世界金融衍生证券市场迅猛发展的过程中 大型国际银行或证券公司最先 认识到市场风险对其资产组合价值的巨大影响 并开发自己的管理市场风险的模 型 最近多起巨额金融损失的发生引起人们广泛关注市场风险的量度与控制 受 险价值 value at risk 简称 var 的概念与应用正是在这种背景下产生的 随着金融市场的革新 作为组合投资的金融机构和非金融机构 如何来衡量 控制 管理自己投资组合头寸的风险将是每个机构不可回避的问题 随着 var 理 论在国外的兴起 风险管理已经形成了一种成熟的行业性的管理方式 受险价值最早是用于投资组合的市场风险的计量 证券投资基金作为用来保 值 规避风险的重要金融衍生工具也是 var 应用的重要领域之一 而对于投资公 司而言 对市场风险的测量和控制是其经营管理中的重要内容 var 即为目前测 量金融风险的最有效及应用广泛的工具之一 在投资组合的风险管理中 风险管 理员最关注的是最坏的结果 var 正是基于这种思想 将诸多影响投资组合价值 的市场风险化为一维数值即最大潜在损失值 对于一个给定的投资组合 如何计 算它的风险价值 var 这一直是一个研究的热点问题 var 方法在我国有广泛的 前景 因此 进一步研究基于 var 的风险度量方法和最优组合选择问题将是非常 有意义的 1 2受险价值被广泛使用的原因 在风险管理的各种方法中 var 方法最为引人瞩目 尤其是在过去的几年里 许多银行和法规制定者开始把这种方法当作全行业衡量风险的一种标准来看待 var之所以具有吸引力是因为它把银行的全部资产组合风险概括为一个简单的数 字 并以美元计量单位来表示风险管理的核心 潜在亏损 1 var 实际上是要 回答在概率给定情况下 银行投资组合价值在下一阶段最多可能损失多少 许多金融机构用受险价值做为重要的风险量度有三个原因 首先 在各种分散的风险头寸和组合上都能够用受险价值 直接比较与合计 每个头寸的相对重要性 例如 期货合约的利率风险能和货币互换的汇率风险进 行比较吗 如何将一个机构内这些分散的市场风险头寸合成在一个交易账里 受 险价值通过定义在所有的风险头寸或组合都能用公共工具 经过已知的持有期在 一定的置信区间内的最大损失 达到这些目的 其次 因为受险价值是用货币单位 投资组合的 var 计算 2 计算的 并要求覆盖经营单位持有交易组合的绝大部分损失 所以它的直观解释 是经营单位为支持一定规模的风险经营活动所必须持有的经济或产权资本 这使 得许多金融机构认识到受险价值和产权具有相同的作用 持有储备基金或保险金 以覆盖正常经营蒙受的期望损失 持有产权资本是为防御潜在的不可预测损失提 供安全资本 15 因为不能指望金融机构持有百分之百地防御潜在的不可预测损失 所需全部资本 所以必须在谨慎的有偿还能力的指导思想下 决定在合理的时间 间隔内的安全资本水平 因此 利用受险价值可决定金融机构的资本的充足性 最 后 计算受险价值有助于管理者在风险调节的基础上评估经营单位和不同策略的 业绩 既然能够将受险价值解释为支持风险性经营活动所需要的最低产权资本 那么自然可以根据不同业务要求的产权资本计算不同业务的收益进行业绩评估 1 3 研究的基本内容 本论文主要研究投资组合中区别于传统正态分布的 var 的计算及它们之间 的比较 用概率统计方法计算出几种常见分布下的 var t 分布 广义误差分布 极值分布 投资组合的 var 计算 3 第二章 var 理论知识 2 1 var的定义 var value at risk 按字面解释就是 价值风险 其含义指 市场正常波 动下 某一金融资产或证券组合的最大可能损失 更为确切的是指 在一定概率 水平 置信度 下 某一金融资产或证券组合价值在未来特定时期内的最大可能 损失 1 2 用公式表示为 r 2 5 这等同于设 1 rw ddrrfdwwfc 2 6 投资组合的 var 计算 9 这样 求风险价值var的问题就转化成为求偏离 使其左边区域面积等于 c 1 这就可能使用累积标准正态分布函数表 表中数值表示值为d的标准正态 变量左边的区域面积 ddn d 2 7 这一函数在布莱克 斯科尔斯期权定价模型中也起着重要的作用 图表3 3 表示出累积密度函数n d 此函数由0 d向1 d单调递增 在d 0时通过0 5 图3 3累积概率正态分布 要找到标准正态变量的var 需在纵轴上选取的期望的置信水平 例如5 的 置信水平 这一水平对应着 值为1 65 然后我们将 代人等式 2 5 得到 最低回报率 r 2 8 为更具有一般性 现假设参数 和 以年为基础 时间间隔为 t 单位是 年 代人等式 2 1 我们得到的var均值形式为 投资组合的 var 计算 10 twrwvar 0 0 2 9 换言之 var之值只是一定分布下的标准方差与一个与置信水平直接有关的 调整因素的乘积 当var被定义为绝对损失 以美元表示 时 公式为 0 0 ttwrwvar 2 10 这一方法适用于正态分布及其他累积概率函数 只要 中包含了所有的不确 定性因素 其他分布限定了不同的 值 正态分布由于代表了许多经验的分布而 最易处理 这一方法尤其适用于样本容量大 多样化程度高的投资组合 3 3 1 1 正态分布的不足 各种计算 var 方法关于概率分布假设的一个基本前提是 市场在刚刚过去的 变化特征无偏地指示其在不远未来的变化规律 6 这表明市场比率变化的概率分 布具有稳定性 是可估计的 为了计算在已知置信区间内可能的最大损失 组合的 灵敏度量度必须和定义市场比率变化可能性的概率量度相结合 许多 var 计算方 法假设在很短时间内市场比率的变化服从 相互独立的 联合正态分布 这给 var 计算带来了极大方便 但存在一定的问题 13 首先 实证研究表明 各类市场收益 的历史分布并不服从正态分布 大的市场比率变化实际发生的频率远比正态分布 所预测的大 称 厚尾 现象 而且均值的峰度也比正态分布所预测的高 对我国的金融市场而言 由于许多 var 计算方法理论上假设资产收益率服从 正态分布 且在有效市场上波动率与时间无关 这些假设是否符合我国证券市场 实际情况 这关系到 var 计算结果的准确性 考虑到风险价值理论是国外成熟市 场的理论 运用统计方法对我国股票市场收益率序列进行了正态性检验 结果表 明我国股票市场收益率不服从正态分布 具有明显的尖峰 厚尾特征 3 3 2 t 分布 3 3 2 1 标准的 t 分布的密度函数 2 1 2 1 2 2 1 1 n n n xnn n xt 3 3 2 2 t 分布的特点 1 以 0 为中心 左右对称的单峰分布 投资组合的 var 计算 11 2 t 分布是一簇曲线 其形态变化与 n 确切地说与自由度v 大小有 关 自由度v越小 t 分布曲线越低平 自由度v越大 t 曲线越接近标准 正态分布 u 分布 曲线 对应于每一个自由度v 就有一条 t 分布曲线 每条曲线都有其曲线下 统计量 t 的分布规律 计算较复杂 3 3 3 广义误差分布 ged 3 3 3 1 广义误差分布的密度函数 广义误差分布 ged 是一种更为灵活的分布形式 也是一种处理厚尾的方 法 其优点在于通过对其中的参数 v 的调整变化可以拟合不同的分布形式 正态 分布只是其中的一个特例 其密度函数形式如下 1 2 2 1 exp 1 v xv xf v v v t t 其中 2 1 2 3 1 2 v v v 为 函数 3 3 3 2 广义误差分布的特点 我们可以通过令参数 v 1 2 和 3 分别得到其密度分布函数来考察广义误差 分布处理厚尾的能力 如下图 图 3 4 为密度函数对比图 图 3 5 为左尾放大对 比图 投资组合的 var 计算 12 由图 3 4 及图 3 5 我们可以直观地看出 通过对参数值 v 的调整 广义误差 分布可以处理不同程度的 尖峰厚尾 现象 当 v 值为 2 时 广义误差分布即为 标准正态分布 当 v2 时 其尾部则较正态分布更薄 鉴于 ged 分布在描述收益率分 布方面的灵活性和准确性 本文在假设收益率序列服从 ged 分布的前提下 估计 非对称 arch 类模型 7 3 3 4 极值分布 3 3 4 1 极值分布的密度函数 极值理论是次序统计理论的一个分支 负责分析和解释极端事件在工程学 上和保险业方面有着广泛的应用在金融特别是风险管理中使用是一个新的发展 它可以提供对极端市场事件和如何确保银行逃过劫难的更好的理解它注重尾部 不是整个分布 而且极值回报的极限分布与回报本身的分布是独立的 极值分布 的密度函数为 rr xx xf 1 11 1exp 1 1 其中 1 x 要大于0 是尾指数 具有与广义误差分布v相同的意义 是最重要的参数 当0 为gumbel分布 当0 为weibell分布 当0 对金融来说最重要 frechet分布 因为这一类分布是由重尾的母分布得到的 拟合金融数据相当好 10 3 3 4 2 极值分布的特点 evt只是在单一资产中有实际用途 如果把整个资产组合模拟成一个单一复 合资产 这意味着资产组合每次改变都要重新拟合其分布 比如每天把evt扩展 到多变量数据上相当复杂 这需要度量理论 规则变化理论和高等概率论对风险 管理者来说 使用evt有一个潜在的危险 即参数的估计会使var分位数的估计 产生非线性误差 非线性误差回引起巨幅震荡 投资组合的 var 计算 13 3 3 5 与正态分布的比较 图 3 6 是对 t 分布 n 6 和 ged 分布 v 1 3 的正态分布的比较 这些 参数描述了金融数据的特征 我们可以看到 与正态分布相比 这两种分布具有 更大的厚尾 当资产的风险价值损失存在潜在的规模时 这一点可能特别重要 9 图 3 6 参数分布的比较 投资组合的 var 计算 14 第四章 实例应用 4 1 数据选取 为计算 var 在各个参数分布下的计算结果 笔者选取了某一只股票在一段时 间内连续 50 天的收盘价 作为样本数据 中国东方实业 00092010 1 5 2010 3 18 序号收盘价 元 序号收盘价 元 10 200260 205 20 205270 215 30 210280 215 40 210290 218 50 208300 210 60 209310 213 70 210320 215 80 213330 213 90 213340 206 100 211350 210 110 226360 213 120 220370 211 130 213380 208 140 216390 208 150 232400 207 160 219410 204 170 211420 207 180 212430 208 190 209440 221 200 208450 216 210 214460 215 220 210470 213 230 210480 215 240 209490 211 250 207500 213 投资组合的 var 计算 15 图形选自选件 大智慧 4 2 var 计算 4 2 1 计算使用的公式 通过第三章的 var 计算公式推导我们可以进一步得出 twvar 0 假设置信水平为 95 初始投资资金 0 w为1亿元人民币 由于样本是某只 股票连续50日的收盘价 所以1 t 若用 表示股票收益率的均值 表示收益的根方差 则 1 11 1 2 1 1 2 1 1 n i i i n i i ii z z nz zz n 求得 018426 0 投资组合的 var 计算 16 2 1 2 1 12 1 1 n i i ii z zz n 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 n i i ii i ii z zz z zz n 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 n i i ii i ii n n z zz nz zz n 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 n i n i i ii i ii n n z zz nz zz n 2 1 2 2 1 1 11 1 n i i ii n n z zz n 求得 001063 0 2 开方得 032604 0 那么 我们只需根据置信水平为 95 查出各个分布下所对应的 值 就 能分别求出它们的 var 4 2 2 正态分布下的 var 计算 由于置信水平为 95 查得65 1 则 53796601032604 065 1100000000 0 twvar 即投资这只样本股票 1 亿元 最大的损失为 5379660 元 4 2 3 t 分布下的 var 计算 由于置信水平为 95 查得943 1 6 n 则 2 63349571032604 0943 1100000000 0 twvar 即投资这只样本股票 1 亿元 最大的损失为 6334957 2 元 4 2 4 极值分布下的 var 计算 由于置信水平为 95 查得736 1 则 4 60839061032604 0866 1100000000 0 twvar 即投资这只样本股票 1 亿元 最大的损失为 6083906 4 元 投资组合的 var 计算 17 4 2 5 数据对比及分析 由上述计算结果可以看出 几种分布的var值都略大于正态分布下的var值 原因在于其它的几种分布能够更多地考虑尾部风险 比用正态分布拟合更加符合 现实中的投资组合 投资组合的 var 计算 18 第五章 结论 5 1 论文的主要工作和结果对比 本文对var的基本知识及其计算进行了系统的介绍 在用参数法计算var 中 通过对正态分布的分析 找出了其中的一些缺陷和不足 并尝试用t 分布 广义误差分布和极值分布进行替代 在计算var的过程中 选用了中国香港股市中的某一只股票作为样本数据 目的在于让读者更加直观地认识到var的现实意义 能够适当地应用到日常的 投资中 减小损失 在选取了样本数据后 用t 分布 极值分布等模型计算出了var的值并与正 态分布下的var值作比较后发现 这几种分布的var值略大于正态分布的var 值 更贴近真实的样本数据 具有一定的现实意义 5 2 论文的创新点 对于投资公司而言 var 之所以具有吸引力是因为它把全部资产组合风 险概括为一个简单的数字 从而给了人们非常直观的判断 在参数法计算 var 中 由于正态分布可以比较准确地模拟投资中的真实分布 而且计算步 骤大大简化 所以许多 var 计算方法理论上假设资产收益率都服从正态分布 本文的创新点在于笔者从我国的证券市场出发 找到了一些正态分布的缺 陷