高考数学总复习（整合考点+典例精析+深化理解）第二章 第三节函数的奇偶性与周期性精讲课件 文.ppt

第三节函数的奇偶性与周期性 第二章 例1 判断下列各函数的奇偶性 1 f x x 1 2 f x 3 f x 函数奇偶性的判定 思路点拨 确定函数的奇偶性时 必须先判定函数定义域是否关于原点对称 若对称 再验证f x f x 或其等价形式f x f x 0是否成立 自主解答 解析 1 由 0 得定义域为 1 1 它关于原点不对称 故f x 为非奇非偶函数 2 由得函数定义域为 1 0 0 1 它关于原点对称 经化简得f x f x f x 为偶函数 3 所给函数的定义域为 0 0 它关于原点对称 当x0 则f x x 2 x x2 x f x 当x 0时 x 0 则f x x 2 x x2 x f x 综上所述 对任意的x 0 0 都有f x f x 故f x 为奇函数 点评 判断函数的奇偶性 一般有以下几种方法 1 定义法 若函数的定义域不是关于原点对称的区间 则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数 若函数的定义域是关于原点对称的区间 再判断f x 是否等于 f x 2 图象法 奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于y轴对称 3 性质法 在公共定义域内 偶函数的和 差 积 商 分母不为零 仍为偶函数 奇函数的和 差仍为奇函数 奇 偶 数个奇函数的积 商 分母不为零 为奇 偶 函数 一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数 特别提醒 1 对函数奇偶性的判断 不能用特殊值法 如存在x0使f x0 f x0 不能判断函数f x 是奇函数 2 分段函数的奇偶性判断 要以整体的观点进行 最好结合图象分析 避免盲目套用定义出现的错误 1 已知函数f x x2 2ax 1 下列判断中正确的个数是 a 0时 f x 为偶函数 a 0时 f x 为非奇非偶函数 f x f x f x 为奇函数 a 0b 1c 2d 3 变式探究 解析 当a 0时 f x x2 1满足偶函数的定义 是偶函数 a 0时 f x x2 2ax 1既不满足偶函数的定义 又不满足奇函数的定义 是非奇非偶函数 f x f x f x 4ax a 0时 f x 是奇函数 a 0时 既是奇函数又是偶函数 综上知 f x f x f x 是奇函数 正确 答案 d 例2 1 已知f x ax2 bx是定义在 a 1 2a 上的偶函数 那么a b的值为 2 2012 深圳调研改编 奇函数f x 其中常数a r 的定义域为 奇 偶 函数性质的应用 解析 1 依题意得 又奇函数的定义域关于原点对称 a 0 函数的定义域为 x 1 x 1且x 0 答案 1 2 x 1 x 1且x 0 点评 利用函数的奇偶性可求函数解析式中参数的范围或最值 主要方法是根据函数奇偶性的定义或奇偶函数图象的对称关系寻找解题的突破口 变式探究 2 2013 河北邯郸一模 已知函数f x ln a为常数 是奇函数 则实数a的值是 a 1b 3c 3d 1 解析 将选项中的数值代入检验知 选项d正确 答案 d 函数奇偶性 单调性的综合应用 例3 设a为实数 函数f x x2 x a 1 x r 1 讨论f x 的奇偶性 2 求f x 的最小值 解析 1 当a 0时 f x x 2 x 1 f x 此时f x 为偶函数 当a 0时 f a a2 1 f a a2 2 a 1 f a f a 且f a f a 函数f x 是非奇非偶函数 2 当x a时 函数f x x2 x a 1 a 若a 则函数f x 在 a 上单调递减 函数f x 在 a 上的最小值为f a a2 1 若a 函数f x 在 a 上的最小值为 当x a时 函数f x x2 x a 1 若a 则函数f x 在 a 上的最小值为若a 则函数f x 在 a 上单调递增 函数f x 在 a 上的最小值f a a2 1 综上所述 当a 时 函数f x 的最小值是 a 当时 函数f x 的最小值是a2 1 当时 函数f x 的最小值是 点评 1 若函数f x 为偶函数 则函数在y轴两侧单调性相反 若函数f x 为奇函数 则函数在原点两侧的单调性相同 2 利用函数的奇偶性把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分 一半 区间上的问题 是简化问题的一种途径 变式探究 3 2013 郑州第二次质检 定义在r上的偶函数f x 在 0 上是增函数 则方程f x f 2x 3 的所有实数根的和为 解析 由函数f x 是偶函数及f x f 2x 3 得f x f 2x 3 又 x 2x 3 0 且函数f x 在 0 上是增函数 所以 x 2x 3 即x 2x 3或x 2x 3 解得x 3或x 1 所以方程f x f 2x 3 的所有实数根的和为3 1 4 答案 4 周期函数的定义及性质的应用 例4 2012 江苏卷 设f x 是定义在r上且周期为2的函数 在区间 1 1 上 f x 其中a b r 若 则a 3b的值为 解析 f x 是定义在r上且周期为2的函数 f 1 f 1 即 a 1 联立 解得a 2 b 4 a 3b 10 答案 10 点评 函数周期性问题应牢牢把握周期函数的定义 并掌握一些常见的确定函数周期的条件 1 若t为函数的一个周期 则nt n z且n 0 也是函数的周期 2 若对任何x d都有f x a f x 则f x 是以2a为周期的函数 3 若对任何x d都有f x a 0 则f x 是以2a为周期的函数 4 若函数f x 有两条对称轴x a x b 则f x 是以2 a b 为周期的函数 变式探究 4 2013 温州第一次适应性文改编 设函数f x 则f 2015 a 64b 27c 9d 8 解析 x 4时 f x f x 4 所以f x 是以4为周期的周期函数 所以f 2015 f 503 4 3 f 3 33 27 故选b 答案 b 函数的周期性 奇偶性 单调性的综合应用 例5 已知函数y f x 是定义在r上的周期函数 周期t 5 函数y f x 1 x 1 是奇函数 又知y f x 在 0 1 上是一次函数 在 1 4 上是二次函数 且在x 2时函数取得最小值 5 1 证明 f 1 f 4 0 2 求y f x x 1 4 的解析式 3 求y f x 在 4 9 上的解析式 1 证明 f x 是以5为周期的周期函数 f 4 f 4 5 f 1 又 y f x 1 x 1 是奇函数 f 1 f 1 f 4 f 1 f 4 0 2 解析 当x 1 4 时 由题意可设f x a x 2 2 5 a 0 由f 1 f 4 0得a 1 2 2 5 a 4 2 2 5 0 a 2 f x 2 x 2 2 5 1 x 4 3 解析 y f x 1 x 1 是奇函数 f 0 0 又知y f x 在 0 1 上是一次函数 可设f x kx 0 x 1 而f 1 2 1 2 2 5 3 k 3 当0 x 1时 f x 3x 从而当 1 x 0时 f x f x 3x 故 1 x 1时 f x 3x 又 当4 x 6时 有 1 x 5 1 f x f x 5 3 x 5 3x 15 当6 x 9时 1 x 5 4 f x f x 5 2 x 5 2 2 5 2 x 7 2 5 f x 点评 1 关于奇偶性 单调性 周期性的综合性问题 关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题 2 掌握以下两个结论 会给解题带来方便 f x 为偶函数 f x f x 若奇函数在x 0处有意义 则f 0 0 变式探究5 2012 北京海淀区期末 已知函数f x x x 2x 则下列结论正确的是 a f x 是偶函数 单调递增区间是 0 b f x 是偶函数 单调递减区间是 1 c f x 是奇函数 单调递减区间是 1 1 d f x 是奇函数 单调递增区间是 0 解析 因为f x x x 2 x x x 2x 所以f x x x 2x是奇函数 排除a b 又x 0时f x x x 2x x2 2x x 1 2 1 在 0 1 上单调递减 1 上单调递增 由奇函数性质可得 递减区间是 1 1 故选c 答案 c 6 2013 山东省实验中学模拟 已知定义在r上的函数y f x 满足以下三个条件 对于任意的x r 都有f x 4 f x 对于任意的a b 0 2 且a b 都有f a f b 函数y f x 2 的图象关于y轴对称 则下列结论正确的是 a f 4 5 f 7 f 6 5 b f 7 f 4 5 f 6 5