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第四章连续系统的s域分析 第四章连续系统的s域分析 4 5系统微分方程的S域解4 6电路的s域求解4 7连续系统的表示与模拟4 8系统函数与系统特性 频域分析以虚指数信号ej t为基本信号 任意信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和 使响应的求解得到简化 物理意义清楚 但也有不足 1 有些重要信号不存在傅里叶变换 如e2t t 2 对于给定初始状态的系统难于利用频域分析 在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域来解决这些问题 本章引入复频率s j 以复指数函数est为基本信号 任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和 这里用于系统分析的独立变量是复频率s 故称为s域分析 所采用的数学工具为拉普拉斯变换 4 1拉普拉斯变换 一 从傅里叶变换到拉普拉斯变换 有些函数不满足绝对可积条件 求解傅里叶变换困难 为此 可用一衰减因子e t 为实常数 乘信号f t 适当选取 的值 使乘积信号f t e t当t 时信号幅度趋近于0 从而使f t e t的傅里叶变换存在 相应的傅里叶逆变换为 f t e t Fb j f t e t 令s j d ds j 有 4 1拉普拉斯变换 双边拉普拉斯变换对 Fb s 称为f t 的双边拉氏变换 或象函数 f t 称为Fb s 的双边拉氏逆变换 或原函数 二 收敛域 只有选择适当的 值才能使积分收敛 信号f t 的 拉氏逆变换的物理意义 4 1拉普拉斯变换 例1因果信号f1 t e t t 求其拉普拉斯变换 解 可见 对于因果信号 仅当Re s 时 其拉氏变换存在 收敛域如图所示 收敛域 收敛边界 双边拉普拉斯变换存在 使f t 拉氏变换存在 的取值范围称为Fb s 的收敛域 下面举例说明Fb s 收敛域的问题 4 1拉普拉斯变换 例2反因果信号f2 t e t t 求其拉普拉斯变换 解 可见 对于反因果信号 仅当Re s 时 其拉氏变换存在 收敛域如图所示 4 1拉普拉斯变换 例3双边信号求其拉普拉斯变换 求其拉普拉斯变换 解 其双边拉普拉斯变换Fb s Fb1 s Fb2 s 仅当 时 其收敛域为 Re s 的一个带状区域 如图所示 4 1拉普拉斯变换 例4求下列信号的双边拉氏变换 f1 t e 3t t e 2t t f2 t e 3t t e 2t t f3 t e 3t t e 2t t 解 Re s 2 Re s 3 3 2 可见 象函数相同 但收敛域不同 双边拉氏变换必须标出收敛域 4 1拉普拉斯变换 通常遇到的信号都有初始时刻 不妨设其初始时刻为坐标原点 这样 t 0时 f t 0 从而拉氏变换式写为 称为单边拉氏变换 简称拉氏变换 其收敛域一定是Re s 可以省略 本课程主要讨论单边拉氏变换 三 单边拉氏变换 简记为F s f t f t 1 F s 或f t F s 4 1拉普拉斯变换 四 常见函数的单边拉普拉斯变换 4 1拉普拉斯变换 4 1拉普拉斯变换 五 单边拉氏变换与傅里叶变换的关系 Re s 0 要讨论其关系 f t 必须为因果信号 根据收敛坐标 0的值可分为以下三种情况 1 0 2 则F j 1 j 2 4 1拉普拉斯变换 2 0 0 即F s 的收敛边界为j 轴 如f t t F s 1 s 1 j 3 0 0 F j 不存在 例f t e2t t F s 1 s 2 2 其傅里叶变换不存在 4 2拉普拉斯变换性质 4 2单边拉普拉斯变换性质 一 线性性质 若f1 t F1 s Re s 1 f2 t F2 s Re s 2则a1f1 t a2f2 t a1F1 s a2F2 s Re s max 1 2 例f t t t 1 1 s 0 4 2拉普拉斯变换性质 例 如图信号f t 的拉氏变换F s 求图中信号y t 的拉氏变换Y s 解 y t 4f 0 5t Y s 4 2F 2s 二 尺度变换 若f t F s Re s 0 且有实数a 0 则f at Re s a 0 4 2拉普拉斯变换性质 三 时移 延时 特性 若f t F s Re s 0 且有实常数t0 0 则f t t0 t t0 e st0F s Re s 0 与尺度变换相结合 f at t0 at t0 4 2拉普拉斯变换性质 四 复频移 s域平移 特性 若f t F s Re s 0 且有复常数sa a j a 则f t esat F s sa Re s 0 a 例1 已知因果信号f t 的象函数F s 求e tf 3t 2 的象函数 解 e tf 3t 2 4 2拉普拉斯变换性质 五 时域的微分特性 微分定理 若f t F s Re s 0 则f t sF s f 0 f t s2F s sf 0 f 0 f n t snF s 若f t 为因果信号 则f n t snF s 4 2拉普拉斯变换性质 4 2拉普拉斯变换性质 六 时域积分特性 积分定理 4 2拉普拉斯变换性质 例1 4 2拉普拉斯变换性质 例2 教材P159例4 2 9 应用时域积分性质计算f t 的单边拉氏变换 4 2拉普拉斯变换性质 七 卷积定理 时域卷积定理若因果函数f1 t F1 s Re s 1 f2 t F2 s Re s 2则f1 t f2 t F1 s F2 s 复频域 s域 卷积定理 4 2拉普拉斯变换性质 八 s域微分和积分 若f t F s Re s 0 则 例1 t2e 2t t e 2t t 1 s 2 t2e 2t t 4 2拉普拉斯变换性质 例2 例3 4 2拉普拉斯变换性质 九 初值定理和终值定理 初值定理和终值定理常用于由F s 直接求f 0 和f 而不必求出原函数f t 初值定理 设函数f t 不含 t 及其各阶导数 即F s 为真分式 若F s 为假分式化为真分式 则 终值定理 若f t 当t 时存在 并且f t F s Re s 0 0 0 则 4 2拉普拉斯变换性质 例1 例2 4 2拉普拉斯变换性质 初值定理证明 4 3拉普拉斯逆变换 4 3拉普拉斯逆变换 直接利用定义式求反变换 复变函数积分 比较困难 通常的方法 1 查表 2 利用性质 3 部分分式展开 结合 若象函数F s 是s的有理分式 可写为 若m n 假分式 可用多项式除法将象函数F s 分解为有理多项式P s 与有理真分式之和 4 3拉普拉斯逆变换 由于L 1 1 t L 1 sn n t 故多项式P s 的拉普拉斯逆变换由冲激函数构成 下面主要讨论有理真分式的情形 部分分式展开法 若F s 是s的实系数有理真分式 m n 则可写为 式中A s 称为系统的特征多项式 方程A s 0称为特征方程 它的根称为特征根 也称为系统的固有频率 或自然频率 n个特征根pi称为F s 的极点 4 3拉普拉斯逆变换 1 F s 为单极点 单根 特例 F s 包含共轭复根时 p1 2 j K2 K1 4 3拉普拉斯逆变换 f1 t 2 K1 e tcos t t 若写为K1 2 A jB f1 t 2e t Acos t Bsin t t 例1 4 3拉普拉斯逆变换 4 3拉普拉斯逆变换 例2 4 3拉普拉斯逆变换 4 3拉普拉斯逆变换 例3 4 3拉普拉斯逆变换 4 3拉普拉斯逆变换 例4 求象函数F s 的原函数f t 解 A s 0有6个单根 它们分别是s1 0 s2 1 s3 4 j1 s5 6 1 j1 故 K1 sF s s 0 2 K2 s 1 F s s 1 1K3 s j F s s j j 2 1 2 ej 2 K4 K3 1 2 e j 2 K5 s 1 j F s s 1 j K6 K5 4 3拉普拉斯逆变换 2 F s 有重极点 重根 若A s 0在s p1处有r重根 4 3拉普拉斯逆变换 举例 4 3拉普拉斯逆变换 4 3拉普拉斯逆变换 4 4连续系统的S域分析 4 4连续系统的S域分析 4 4连续系统的S域分析 LTI 4 4连续系统的S域分析 连续系统的S域分解步骤 4 4复频域分析 例1已知当输入f t e t t 时 某LTI系统的零状态响应yf t 3e t 4e 2t e 3t t 求该系统的冲激响应 解 h t 4e 2t 2e 3t t 4 4连续系统的S域分析 4 4连续系统的S域分析 4 5微分方程的变换解 描述n阶系统的微分方程的一般形式为 系统的初始条件为y 0 y 0 y n 1 0 取拉普拉斯变换 若f t 在t 0时接入 则f j t sjF s 4 4复频域分析 例1描述某LTI系统的微分方程为y t 5y t 6y t 2f t 已知初始条件y 0 1 y 0 1 激励f t 5cost t 求系统的全响应y t 解 取拉氏变换得 y t 2e 2t e 3t 4e 2t 3e 3t 4 5系统微分方程的S域解 4 5系统微分方程的S域解 4 5系统微分方程的S域解 4 5系统微分方程的S域解 4 6电路的 电路的s域求解 对时域电路取拉氏变换 1 电阻u t Ri t 2 电感 U s sLIL s LiL 0 U s RI s 4 4复频域分析 3 电容 I s sCUC s CuC 0 4 4复频域分析 例如图所示电路 已知uS t t V iS t t 起始状态uC 0 1V iL 0 2A 求电压u t 4 6电路响应的S域分析 S域分析 时域模型 S域模型 应用方程法 等效法建立S域 电路方程 代数方程 求S域解 由反变换得到时域解 1 S域元件模型 R 4 6电路响应的S域分析 L 4 6电路响应的S域分析 C 4 6电路响应的S域分析 2 S域电路模型 用S域元件代替时域元件 S域电路模型 运算电流I s 电压u s 运算阻抗 导纳 3 基本定律S域形式 4 6电路响应的S域分析 4 S域分析步骤 Step1 确定电容初始电压 电感初始电流 Step2 画出S域电路模型 Step3 用方程法 等效法建立S域电路方程 并求出S域响应 Step4 取拉氏反变换 求得时域响应 注意 1 S域电路模型中内电源的参考方向 2 可直接求出完全响应 求时应分别令激励和内电源为零 4 4复频域分析 二 系统函数 系统函数H s 定义为 它只与系统的结构 元件参数有关 而与激励 初始状态无关 h t H s 4 4复频域分析 三 系统的s域框图 求H s X s S 1X s S 2X s 例1描述某LTI系统的微分方程为y t 5y t 6y t 2f t 已知初始状态y 0 1 y 0 1 激励f t 5cost t 求系统的全响应y t 4 4连续系统的S域分析 解 取拉氏变换得 y t 2e 2t e 3t 4e 2t 3e 3t 4 7连续系统的表示与模拟 2 S域方框图表示 由微分方程画出方框图 设零状态系统微分方程 传输算子 系统函数 S域系统方程 引入辅助变量 将式 2 等效写成 画出S域方框图 由S域方框图写出微分方程 1 设右端积分器输出为X s 则左端加法器输出为 2 右端加法器输出 3 3 复合系统 子系统互联 1 子系统串联 t域 s域 2 子系统并联 t域 s域 二 信号流图表示 1 什么是信流图 信号流图 SFG 简称信流图 由美国MIT学院S J Mason教授于1953年提出 信流图是一种由点 有向线段组成的有向加权线图 用以表示线性代数方程组变量间的关系 为方程组求解提供一种直观 简便的解法 LTI系统t域微分方程 s域代数方程 应用SFG表示系统输入输出关系 计算系统函数H s 常用术语 1 节点 代表信号变量的点 2 支路 连接两个节点的有向线段 其方向为信号传输方向 权值表示支路传输函数 3 源点 汇点 仅含输出 输入支路的节点 4 通路 沿支路传输方向 从一个节点到另一个节点之间的路径 5 开路 开通路 一条通路与它经过的任一节点只相遇一次 6 环 闭通路 回路 一条通路的起始和终止节点为同一节点 且与经过的其余节点只相遇一次 信流图规则 支路 信号沿支路方向传输 信号在支路中得到加工 处理 节点 代表信号变量 任一节点信号等于所有输入该节点的支路信号相加 且与其输出支路无关 例 2 系统的信流图表示 1 信流图 方框图对应关系 见下页 信流图是方框图的简化表示 2 由方框图画出信流图 方法 a 由方框图写出诸运算单元 或个子系统 和整个系统输出信号的表达式 b 由节点代表系统输入 输出及内部信号变量 图 信号流图与方框图的对应关系 c 用支路表示各节点信号之间的关系 例 某线性连续系统的方框图表示如下图 画出信流图 解 设左边加法器的输出为X1 s 左边第一和第二个积分器的输出分别为X2 s 和X3 s 则有 三 用Mason公式计算H s 例 求系统函数 解 三阶系统 含三个环 三条开路 例 求系统函数 解 四阶系统含五个一阶环三个不接触二阶环一条开路 四 系统模拟 1 系统模拟概念2 常用模拟组件 数乘器 加法器 积分器 3 模拟形式 1 直接形式 二阶系统 三条开路传输函数之和 且 两不接触环传输函数之和 直接形式1 直接形式2 2 串联形式 三阶系统 模拟信号流图 2 并联形式 三阶系统 模拟信号流图 4 7节到此结束 一 H s 的零点和极点 本节主要研究H s 零 极点分布与系统时域响应 频率特性和稳定性之间的关系 LTI连续系统H s 一般可表示为 m n ai bi为实常数 4 8系统函数与系统特性 二 H s 与时域特性h t 表征系统的时域特性 因h t 等于H s 的拉普拉斯逆变换 故h t 与H t 零 极点密切相关 具体有 1 H s 的零点影响h t 的幅度和相位 2 H s 的极点影响h t 的函数形式 1 左半开平面极点 结论1 H s 在左半平面的极点 无论一阶或高阶极点 对应的h t 均按指数规律衰减 当t趋于无穷大时 h t 趋于零 2 虚轴上极点 i 0 1 r 1 i 0 1 r 1 结论2 H s 在虚轴上的一阶极点 对应的h t 是幅度一定的阶跃函数或正弦函数 H s 在虚轴上的高阶极点 对应的h t 幅度随t的增长而增大 当t趋于无穷大时 h t 值趋于无穷大 3 右半开平面极点 i 0 1 r 1 结论3 H s 在右半开平面极点 无论是一阶或高阶极点 对应的h t 幅度均随t的增长而增大 当t趋于无穷大时 h t 也趋于无穷大 H s 的极点分布与时域函数的对应关系图见下页 图 H s 的极点分布与时域函数的对应关系 三 H s 的