极坐标计算二重积分ppt课件.ppt

1 直角坐标下累次积分的计算公式 Y 型 X 型 知识点回顾 确定累次积分限 关键 直角坐标系下的面积元素 2 交换二次积分的积分次序 知识点回顾 画出积分区域形状 确定新的二次积分限 3 利用对称性和奇偶性化简二重积分 关键 重要结论 知识点回顾 4 应用问题 由曲面所围成的立体体积的计算 方法 解 利用极坐标系计算 思考题 考研 填空题 第二十一章 4利用极坐标计算二重积分 数学分析 利用极坐标计算二重积分 249页 极坐标系下的面积元素的确定 主要内容 二重积分转化为极坐标形式表达式 极坐标系下的二重积分化为累次积分 极坐标系下二重积分的 计算方法 本节重点 本节关键 极坐标系下的区域如何表示 一 极坐标系下二重积分的表达式 极坐标系下被积函数如何表示 利用扇形的面积公式 用极坐标曲线划分D 面积元素 1 极坐标系下的面积元素的确定 极坐标系下区域的面积 化边界曲线 化被积函数 2 二重积分转化为极坐标形式的表达式 关键 确定极坐标系下先r后 积分的方法 型 极坐标系下的累次积分 极坐标系下区域如图所示 二 极坐标系下二重积分化累次积分 方法 三线法 区域特征 一 如图 极点在积分区域外 二重积分化为二次积分的公式 251页 二重积分化为二次积分的公式 区域特征 二 如图 极点在区域D的边界上 二重积分化为二次积分的公式 区域特征 三 如图 极点在区域D内部 思考 下列各图中区域D分别与x y轴相切于原点 试问 的变化范围是什么 答 1 2 解 例题分析 印象 复杂问题简单化了 考研 填空题 解 例题分析 为极坐标下的二次积分 练习化二重积分 解 解 被积函数奇偶不确定 如果积分区域D为圆 半圆 圆环 扇形域等 或被积函数f x2 y2 形式 利用极坐标常能简化计算 通常出现下面两类问题 1 将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分 2 将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的二重积分 小结 解题步骤 1 将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分 需依下列步骤进行 1 将代入被积函数 2 将区域D的边界曲线换为极坐标系下的表达式 确定相应的积分限 做题关键 3 将面积元dxdy换为 2 将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的二重积分步骤与1相似 只需依反方向进行 休息一会儿 作业 P254 1 2 如果积分区域D为圆 半圆 圆环 扇形域等 或被积函数f x2 y2 形式 利用极坐标常能简化计算 通常出现下面两类问题 1 将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分 2 将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的二重积分 解题步骤 1 将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分 需依下列步骤进行 1 将代入被积函数 2 将区域D的边界曲线换为极坐标系下的表达式 确定相应的积分限 做题关键 3 将面积元dxdy换为 2 将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的二重积分步骤与1相似 只需依反方向进行 解 解 伯努利双曲线 例5求球面x2 y2 z2 a2含在圆柱面x2 y2 ax a 0 内部的那部分面积 解 A 4A1 S Dxy x2 y2 ax y 0 解 由对称性 例5 252 4 解 由对称性 二重积分在极坐标下的计算公式 在积分中注意使用对称性 小结 极坐标系下几种形式 解法一 例5 例5 解法二 解 的原函数不是初等函数 故本题无法用直角 由于 坐标计算 注 利用上例可得到一个在概率论与数理统计及工程 上非常有用的反常积分公式 解答 思考题 解 练习题 原式 思考题 思考题解答 小结 1 积分区域的类型 2 在直角坐标系下化二重积分为二次