陕西省西安市第六十六中学高三数学 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件复习课件.ppt

要点梳理1 命题的概念可以 用文字或符号表述的语句叫作命题 其中判断的语句叫真命题 判断的语句叫假命题 1 2命题及充要条件 判断真假 为真 为假 基础知识自主学习 2 四种命题及其关系 1 四种命题 若q 则p 2 四种命题间的逆否关系 逆命题 逆否命题 否命题 3 四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题 它们有 的真假性 两个命题互为逆命题或互为否命题 它们的真假性 3 充分条件与必要条件 1 如果p q 则p是q的 q是p的 2 如果p q q p 则p是q的 4 特别注意 命题的否命题是既否定命题的条件 又否定命题的结论 而命题的否定是只否定命题的结论 相同 没有关系 充分条件 必要条件 充要条件 基础自测1 下列语句是命题的是 求证是无理数 x2 4x 4 0 你是高一的学生吗 一个正数不是素数就是合数 若x r 则x2 4x 7 0 a b c d zxxkw 解析 不是命题 是祈使句 是疑问句 而 是命题 其中 是假命题 如正数既不是素数也不是合数 是真命题 x2 4x 4 x 2 2 0恒成立 x2 4x 7 x 2 2 3 0恒成立 答案c 2 命题 若x2 y2 则x y 的逆否命题是 a 若xy 则x2 y2 c 若x y 则x2 y2 d 若x y 则x2 y2 c 3 2009 江西 下列命题是真命题的为 a b 若x2 1 则x 1c 若x y 则d 若x y 则x2 y2解析得x y a正确 b c d错误 a 4 2008 湖北 若非空集合a b c满足a b c 且b不是a的子集 则 a x c 是 x a 的充分条件但不是必要条件b x c 是 x a 的必要条件但不是充分条件c x c 是 x a 的充要条件d x c 既不是 x a 的充分条件也不是 x a 的必要条件解析由题意知 a b c的关系可用右图来表示 若x c 不一定有x a 而x a 则必有x c x c 是 x a 的必要条件但不是充分条件 b zxxkw 5 2009 四川 已知a b c d为实数 且c d 则 a b 是 a c b d 的 a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件解析 c d cb a c与b d的大小无法比较 当a c b d成立时 假设a b cb 综上可知 a b 是 a c b d 的必要不充分条件 b 题型一命题的关系及命题真假的判断 例1 分别写出下列命题的逆命题 否命题 逆否命题 并判断它们的真假 1 面积相等的两个三角形是全等三角形 2 若q 1 则方程x2 2x q 0有实根 3 若x2 y2 0 则实数x y全为零 写成 若p 则q 的形式 写出逆命题 否命题 逆否命题 判断真假 思维启迪 题型分类深度剖析 解 1 逆命题 全等三角形的面积相等 真命题 否命题 面积不相等的两个三角形不是全等三角形 真命题 逆否命题 两个不全等的三角形的面积不相等 假命题 2 逆命题 若方程x2 2x q 0有实根 则q 1 假命题 否命题 若q 1 则方程x2 2x q 0无实根 假命题 逆否命题 若方程x2 2x q 0无实根 则q 1 真命题 3 逆命题 若实数x y全为零 则x2 y2 0 真命题 否命题 若x2 y2 0 则实数x y不全为零 真命题 逆否命题 若实数x y不全为零 则x2 y2 0 真命题 1 在写一个命题的逆命题 否命题 逆否命题时 首先要看这个命题是否有大前提 若有大前提 必须保留其大前提 大前提不能动 2 原命题和其逆否命题等价 探究提高 知能迁移1写出下列命题的逆命题 否命题和逆否命题 并判断其真假 1 若m n都是奇数 则m n是奇数 2 若x y 5 则x 3且y 2 解 1 逆命题 若m n是奇数 则m n都是奇数 假命题 否命题 若m n不都是奇数 则m n不是奇数 假命题 逆否命题 若m n不是奇数 则m n不都是奇数 假命题 2 逆命题 若x 3且y 2 则x y 5 真命题 否命题 若x y 5 则x 3或y 2 真命题 逆否命题 若x 3或y 2 则x y 5 假命题 题型二充要条件的判断 例2 指出下列命题中 p是q的什么条件 在 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 中选出一种作答 1 在 abc中 p a b q sina sinb 2 对于实数x y p x y 8 q x 2或y 6 3 非空集合a b中 p x a b q x b 4 已知x y r p x 1 2 y 2 2 0 q x 1 y 2 0 首先分清条件和结论 然后根据充要条件的定义进行判断 思维启迪 解 1 在 abc中 a b sina sinb 反之 若sina sinb 因为a与b不可能互补 因为三角形三个内角和为180 所以只有a b 故p是q的充要条件 2 易知 p x y 8 q x 2且y 6 显然q p 但pq 即q是p的充分不必要条件 根据原命题和逆否命题的等价性知 p是q的充分不必要条件 3 显然x a b不一定有x b 但x b一定有x a b 所以p是q的必要不充分条件 4 条件p x 1且y 2 条件q x 1或y 2 所以p q但qp 故p是q的充分不必要条件 探究提高判断p是q的什么条件 需要从两方面分析 一是由条件p能否推得条件q 二是由条件q能否推得条件p 对于带有否定性的命题或比较难判断的命题 除借助集合思想把抽象 复杂问题形象化 直观化外 还可利用原命题和逆否命题 逆命题和否命题的等价性 转化为判断它的等价命题 知能迁移2 2009 安徽 下列选项中 p是q的必要不充分条件的是 a p a c b d q a b且c db p a 1 b 1 q f x ax b a 0 且a 1 的图像不过第二象限c p x 1 q x2 xd p a 1 q f x logax a 0 且a 1 在 0 上为增函数 解析由于a b c d a c b d 而a c b d却不一定推出a b c d 故a中p是q的必要不充分条件 b中 当a 1 b 1时 函数f x ax b不过第二象限 当f x ax b不过第二象限时 有a 1 b 1 故b中p是q的充分不必要条件 c中 因为x 1时有x2 x 但x2 x时不一定有x 1 故c中p是q的充分不必要条件 d中p是q的充要条件 答案a 题型三充要条件的证明 例3 12分 求证方程ax2 2x 1 0有且只有一个负数根的充要条件为a 0或a 1 思维启迪 1 注意讨论a的不同取值情况 2 利用根的判别式求a的取值范围 解题示范证明充分性 当a 0时 方程变为2x 1 0 其根为方程只有一负根 2分当a 1时 方程为x2 2x 1 0 其根为x 1 方程只有一负根 4分当a0 方程有两个不相等的根 且 0 方程有一正一负根 6分必要性 若方程ax2 2x 1 0有且仅有一负根 当a 0时 适合条件 8分当a 0时 方程ax2 2x 1 0有实根 则 4 4a 0 a 1 当a 1时 方程有一负根x 1 10分若方程有且仅有一负根 综上方程ax2 2x 1 0有且仅有一负根的充要条件为a 0或a 1 12分 探究提高 1 条件已知证明结论成立是充分性 结论已知推出条件成立是必要性 2 证明分为两个环节 一是充分性 二是必要性 证明时 不要认为它是推理过程的 双向书写 而应该进行由条件到结论 由结论到条件的两次证明 3 证明时易出现必要性与充分性混淆的情形 这就要分清哪是条件 哪是结论 知能迁移3求证方程x2 ax 1 0的两实根的平方和大于3的必要条件是 a 这个条件是其充分条件吗 为什么 证明设x2 ax 1 0的两实根为x1 x2 则平方和大于3的等价条件是 a 这个条件是必要条件但不是充分条件 1 当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时 必须保留大前提 也就是大前提不动 对于由多个并列条件组成的命题 在写其它三种命题时 应把其中一个 或n个 作为大前提 2 数学中的定义 公理 公式 定理都是命题 但命题与定理是有区别的 命题有真假之分 而定理都是真的 方法与技巧 思想方法感悟提高 3 命题的充要关系的判断方法 1 定义法 直接判断若p则q 若q则p的真假 2 等价法 即利用的等价关系 对于条件或结论是否定式的命题 一般运用等价法 3 利用集合间的包含关系判断 若a b 则a是b的充分条件或b是a的必要条件 若a b 则a是b的充要条件 1 否命题是既否定命题的条件 又否定命题的结论 而命题的否定是只否定命题的结论 要注意区别 2 判断p与q之间的关系时 要注意p与q之间关系的方向性 充分条件与必要条件方向正好相反 不要混淆 失误与防范 一 选择题1 2009 重庆 命题 若一个数是负数 则它的平方是正数 的逆命题是 a 若一个数是负数 则它的平方不是正数 b 若一个数的平方是正数 则它是负数 c 若一个数不是负数 则它的平方不是正数 d 若一个数的平方不是正数 则它不是负数 解析原命题的逆命题 若一个数的平方是正数 则它是负数 b 定时检测 2 2009 浙江 已知a b是实数 则 a 0且b 0 是 a b 0且ab 0 的 a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件解析当a 0且b 0时 一定有a b 0且ab 0 反之 当a b 0且ab 0时 一定有a 0 b 0 故 a 0且b 0 是 a b 0且ab 0 的充要条件 c 3 2008 广东 命题 若函数f x logax a 0 a 1 在其定义域内是减函数 则loga20 a 1 在其定义域内不是减函数b 若loga20 a 1 在其定义域内不是减函数c 若loga2 0 则函数f x logax a 0 a 1 在其定义域内是减函数d 若loga20 a 1 在其定义域内是减函数 解析由互为逆否命题的关系可知 原命题的逆否命题为 若loga2 0 则函数f x logax a 0 a 1 在其定义域内不是减函数 答案a 4 已知a x x 1 1 x r b x log2x 1 x r 则 x a 是 x b 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件解析a x x 2或x 0 b x x 2 x ax b 但x b x a b 5 集合a x x 4 x r b x x5 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件解析a x 4 x 4 若a b 则a 4 a 4a 5 但a 5 a 4 故 a b 是 a 5 的必要不充分条件 b 6 2009 北京 的 a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件解析这说明外还可以取其他的值 所以的充分而不必要条件 a 二 填空题7 若 x 2 5 或x x x4 是假命题 则x的取值范围是 解析x 2 5 且x x x4 是真命题 由得1 x 2 1 2 8 设p 4x 3 1 q x a x a 1 0 若p是q的充分不必要条件 则实数a的取值范围是 解析p x 1 q a x a 1 易知p是q的真子集 9 2009 江苏 设和为不重合的两个平面 给出下列命题 若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线 则平行于 若外一条直线l与内的一条直线平行 则l和平行 设和相交于直线l 若内有一条直线垂直于l 则和垂直 直线l与垂直的充分必要条件是l与内的两条直线垂直 上面命题中 真命题的序号为 写出所有真命题的序号 解析命题 是两个平面平行的判定定理 正确 命题 是直线与平面平行的判定定理 正确 命题 中在内可以作无数条直线与l垂直 但与只是相交关系 不一定垂直 错误 命题 中直线l与垂直可推出l与内两条直线垂直 但l与内的两条直线垂直推不出直线l与垂直 所以直线l与垂直的必要不充分条件是l与内两条直线垂直 答案 10 已知p x 3 2 q x m 1 x m 1 0 若的充分而不必要条件 求实数m的取值范围 解由题意p 2 x 3 2 1 x 5 x5 q m 1 x m 1 xm 1 又 的充分而不必要条件 三 解答题 11 求关于x的方程ax2 2x 1 0至少有一个负实根的充要条件 解 1 a 0适合 2 a 0时 显然方程没有零根 若方程有两异号实根 则a 0 若方程有两个负的实根 则必有解得0 a 1 综上知 若方程至少有一个负实根 则a 1 反之 若a 1 则