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第二章 5 理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练 考点一 考点二 提示 是复合函数 问题2 试说明y 3x 2 2如何复合的 提示 令u g x 3x 2 则y u2 u 3x 2 y f u f g x 3x 2 2 问题3 试求y 3x 2 2 f u u2 g x 3x 2的导数 提示 y 9x2 12x 4 18x 12 f u 2u g x 3 问题4 观察问题3中导数有何关系 提示 y f g x f u g x 1 复合函数的概念对于两个函数和 给定x的一个值 就得到了u的值 进而确定了y的值 这样y可以表示成x的函数 称这个函数为函数和的复合函数 记作 其中u为中间变量 2 复合函数的求导法则复合函数y f x 的导数为 y x y f u u x ax b y f u u x y f x f x f u x 利用复合函数求导法则求复合函数导数的步骤 1 适当选取中间变量分解复合函数为初等函数 2 求每层的初等函数的导数 最后把中间变量转化为自变量的函数 思路点拨 先分析函数是怎样复合而成的 找出中间变量 分层求导 一点通 求复合函数导数的步骤 确定中间变量 正确分解复合关系 即明确函数关系y f u u g x 分步求导 弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导 要特别注意中间变量对自变量的求导 即先求f u 再求g x 计算f u g x 并把中间变量转化为自变量的函数 整个过程可简记为 分解 求导 回代 三个步骤 熟练以后可以省略中间过程 1 函数y cos2x的导数为 a y sin2xb y sin2xc y 2sin2xd y 2sin2x解析 y cos2x 2sin2x 答案 c 2 函数f x 2x 1 5 则f 0 的值为 解析 f x 5 2x 1 4 2x 1 10 2x 1 4 f 0 10 答案 10 一点通 将复合函数的求导与导数的实际意义结合 旨在巩固函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率 体现导数揭示物体某时刻的变化状况 4 已知某质点的位移s与移动时间t满足s t et 1 则质点在t 1时的瞬时速度为 解析 s t et 1 et 1 tet 1 当t 1时 s 1 2 答案 2 答案 2 6 设曲线y eax在点 0 1 处的切线与直线x 2y 1 0垂直 则a 解析 y a eax 且y eax在点 0 1 处的切线与直线x 2y 1 0垂直 k 2 f 0 a 即a 2 答案 2 求复合函数的导数应处理好以下环节 1 中间变量的选择应是基本函数结构 2 关键是正确分析函数的复合层次 3 一
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