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第一课时二元一次不等式 组 表示的平面区域 3 3二元一次不等式组与简单的线性规划问题 把握热点考向 应用创新演练 第三章不等式 考点一 考点二 考点三 理解教材新知 知识点一 知识点二 第一课时二元一次不等式 组 表示的平面区域 1 方程x y 1 0表示直线 问题1 试判断点a 1 0 b 1 1 c 1 1 与直线的位置关系 提示 a在直线上 b c不在直线上 问题2 试判断上述三点的坐标满足不等式x y 1 0吗 提示 c点的坐标满足 而a b不满足 问题3 c点在直线x y 1 0的哪个方向的区域内 提示 在直线x y 1 0的右下方 问题4 直线x y 1 0右下方的点都满足x y 1 0吗 试举例 提示 满足 如 0 2 2 0 等 1 直线y kx b把平面分成两个区域 y kx b表示直线的平面区域 y kx b表示直线的平面区域 2 二元一次不等式组所表示的平面区域 即各个不等式所表示的平面区域的公共部分 上方 下方 已知点o 0 0 a 1 0 b 3 1 c 2 5 和直线x y 2 0 问题1 试判断上述四点与直线的位置关系 提示 o a在直线左下方 b c在直线的右上方 问题2 o a b c点坐标代入x y 2时符号如何 提示 点o与点a 点b与点c符号相同 问题3 能否用o点来判断不等式x y 2 0表示的平面区域 提示 能 点o的坐标满足不等式x y 2 0 则点o所在区域的一侧便是 确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法 常用的一种方法是 选点法 任选一个不在直线上的一点 检验它的坐标是否满足所给的不等式 若适合 则该点所在一侧为不等式所表示的平面区域 否则 直线的另一侧为不等式所表示的平面区域 1 ax by c 0表示的是直线ax by c 0的某一的平面区域 一定要注意不包括边界 ax by c 0表示的是直线ax by c 0及直线某一侧的平面区域 一定要注意包括边界 2 对于直线ax by c 0的同一侧的所有点 x y 实数ax by c的符号相同 所以只需在直线某一侧任取一点 x0 y0 代入ax by c 由ax0 by0 c值的符号即可判断出ax by c 0表示的是直线哪一侧的点集 当c 0时 此点常选 0 0 例1 画出不等式2x y 6 0表示的平面区域 思路点拨 画直线2x y 6 0 再找点测试 最后确定区域 精解详析 先画直线2x y 6 0 画成实线 取原点 0 0 代入2x y 6 2 0 0 6 6 0 原点在2x y 6 0表示的平面区域内 不等式2x y 6 0表示的区域如图阴影部分所示 一点通 画平面区域的注意事项 1 边界虚实要分清 一般地 ax by c 0 0 表示的区域包括直线ax by c 0 该直线要画成实线 ax by c 0 0 表示的区域不包括直线ax by c 0 该直线要画成虚线 2 测试点选取要恰当 一般地选原点 0 0 0 1 或 1 0 如果测试点的坐标满足不等式 则所求区域为包括测试点的直线一侧 否则在直线的另一侧 最后将区域用阴影表示出来 1 图中的平面区域 阴影部分 用不等式表示为 答案 2x 3y 8 0 2 已知点a 0 0 b 1 1 c 2 0 d 0 2 其中不在不等式2x y 4所表示的平面区域内的点是 解析 代入验证知c 2 0 不在平面区域内 答案 c 2 0 精解详析 不等式x y 5 0表示直线x y 5 0上及右下方的点的集合 x y 1 0表示直线x y 1 0上及右上方的点的集合 x 3表示直线x 3上及左方的点的集合 所以不等式组表示的平面区域如图所示 一点通 不等式组对应的平面区域的边界就是各个不等式所对应的直线 边界虚实要画清 测试点可以选一个 也可以选多个 最后把区域用阴影部分表示出来 3 如图 能表示平面中阴影区域的不等式组是 4 由直线x y 2 0 x 2y 1 0和2x y 1 0围成的三角形区域 包括边界 用不等式组表示为 解析 画出三条直线 并用阴影表示三角形区域 如图所示 解 不等式x 3表示直线x 3左侧点的集合 不等式2y x 即x 2y 0表示直线x 2y 0上及其左上方点的集合 不等式3x 2y 6 0表示直线3x 2y 6 0上及其右上方点的集合 不等式3y0表示直线x 3y 9 0右下方点的集合 综上可得 不等式组表示的平面区域是如图所示的阴影部分 思路点拨 画出平面区域确定其形状 再求其面积 精解详析 一点通 求区域面积的注意事项 1 求平面区域的面积 先要画出不等式组表示的区域 然后根据区域的形状求面积 2 求面积时 注意与坐标轴垂直的直线及区域端点坐标 这样易求底与高 必要时分割区域为特殊图形 6 已知点p 1 2 及其关于原点的对称点中有且只有一个在不等式2x by 1 0表示的平面区域内 则b的取值范围是 解 画出不等式组表示的平面区域如下 1 确定二元一次不等式所表示的平面区域 对于在直线ax by c 0同一侧的所有点 x y 实数ax by c的符号相同 所以c 0时 取特殊点 0 0 代入不等式中 如果不等式成立 说明原点所在区域为所求区域 如果不满足不等式 则另外一个区域为所求区域 如果c 0 直线过原点 原点坐标代入无法进行判断 则可另选一个易计算的点 1 0 0 1 等进行判断 2 画平面区域的步骤 1 画线 画出不等式所对应的方程所表示的直线 如果原不等式中带等号 则画成实线 否则 画成虚线 2 定侧 将某个区域位置明显的特殊点的坐标代入不等式 根据 直线定界
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