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第十六章 机械波16-1 一波源作简谐振动，周期，振幅，当时，振动位移恰为正方向的最大值设此方程以的速度沿直线传播，试求(1)此波的波函数；(2)距波源和处质点的振动方程和初相；(3)距波源15m和处质点振动的相位差分析波源的周期和频率就是机械波的周期和频率，对于平面波，在忽略传播过程中的能量损失的情况下，波源的振幅就是波的振幅，如果已知波速或波长以及波源的初相，就能给出波函数由上一章的讨论可知，当给出振动的初始位置和运动方向时，振动的初相就确定了由波函数可以获得波线上任一点的振动方程；以及任一时刻波线上各点的位移，即波形波线上相位差为质点间的距离（也可视为两个相邻的相位相同点间的距离）为一个波长解 (1)波源的角频率为初始时波源振动达正方向的最大值，即，波源的振动方程为已知，波函数为(2)由波函数得处振动方程为该处质点初相为 处振动方程为该处质点初相为或(3)两点相位差为 处质点相位超前16-2 已知平面波波函数式中、以米计，以秒计，试求(1)波长、周期、波速；(2)在处质点的振动方程；(3)在时，该处质点的位移和速度这是原点处的质点在哪一时刻的运动状态？再经过后该运动状态传至何处？分析 本题强调这样的概念：波的传播过程是振动状态（或相位）的传播过程在单位时间内振动状态（或相位）传播的距离称为波的传播速度，也称为相速度，即本书中的波速（以区别于反映振幅或能量传播的群速度）波在介质中传播时，波线上各质点仍在各自的平衡位置附近振动，并不跟随波前进，质点的振动速度为解 (1)将波函数与简谐波的标准形式对比，得(2)由波函数得处的振动方程为(3)由波函数得时处质点的位移为该时刻该质点振动速度为是原点处质点在时刻的振动状态 再经过该运动状态传播的距离即传至距该处或距原点处16-3 如图16-3，一平面简谐波在空间传播，已知波线上某点P的振动规律为,根据图中所示的两种情况，分别列出以O为原点的波函数分析 本题可以沿两条思路求解：(1)由于波线上各点的相位依次落后, 根据两点间的距离可以判断O点比P点相位超前多少或落后多少, 因已知P点的振动方程，就能写出O点的振动方程，再写出以O为原点的波函数(2) 从P点的振动方程直接写出以P为原点的波函数，根据波函数的物理意义写出O点的振动方程，再写出O为原点的波函数下面给出第一种解法y y v v l l O P x P O x 图16-3解 (1)第一种情况，波沿x轴正向传播，O点的相位比P点超前, 所以O点的振动方程为 以O为原点的波函数为(2)第二种情况，波沿x轴负向传播，O点在P点右侧，O点的相位比P点超前，所以O点的振动方程为 以O为原点的波函数为16-4 一平面余弦波在时的波形如图16-4（a）所示(T为周期), 此波以v=36m/s的速度沿x轴正向传播, (1)画出t=0时刻的波形图；(2) 求O、P点的振动初相；写出O点的振动方程及以O为原点的波函数.分析 波形曲线，即y-x图，给出了某一时刻波线上各点的位移已知波速时，从 时的波形可以推出t=0或t=T时的波形，从而可得O点的振动方程, 进而求出O为原点的波函数y/m 0.2 O P 0.4 x/m-0.2（a） y/m 0.2 0.4 O P x/m （b） 图16-4解 (1) 时刻的波形沿x轴负向移动即为t=0时的波形，或沿x轴正向移动即得t=T时的波形，如图16-4(b)(2) 由图16-4(a)得 又对O点有，t=0时，有 （1） （2）由(1)式得，由(2)式得，所以应取对P点， t=0时，有 (3) (4)因A=0.2m，由(3)式得，满足(4)式(3)波的角频率 O点的振动方程为 m以O为原点的波函数为 m 16-5 一平面波在t=0时的波形曲线如图16-5中曲线(I)所示，波沿x轴正向传播，经过t=0.5s后, 波形变为曲线(II). 已知波的周期s, 试由图中所给条件, 求(1)波函数；(2)A点的振动方程分析 从波形曲线(I)可以求出振幅、波长以及O点的初相. 但另一个重要的常数需结合两条波形曲线考虑. 从图上不难看出, 在0.5s内波形在x轴正向移动0.1m，于是可以计算出波速再根据周期、波长、波速间的关系求出周期，进而求出角频率. y/m A () O 0.2 0.4 x/m ()图16-5 解 由图16-5知, A=0.1m, m, m/s s rad/s对O点 (1) (2) 由(1)式得，由(2)式得，所以应取故O点的振动方程为 m以O为原点的波函数为 m(2)将m代入上式，得A点的振动方程为 m 16-6 一平面波的波函数为 ，式中x，y以m为单位，t以s为单位, 试求:（1）波的振幅、频率、波长和波速；（2）何时原点处第一次出现波峰；（3）当t=1s时，最靠近原点的两个波峰位置. 分析 本书约定波函数以余弦函数表示, 因此可先把题目给的波函数化为余弦函数分列在原点两侧的第一个波峰应是最靠近原点的波峰 解 (1)波函数化为余弦函数形式为 m (2) 将x=0, y=A代入波函数，当第一次出现波峰时，有 得 t=0.01s (3) 将t=1s代入波函数得t=1s时的波形方程欲出现波峰需满足条件： 得最靠近原点的两波峰位置为16-7 沿x轴负向传播的平面简谐波在t=2s时的波形如图16-17(a), 波速v=0.5m/s, 求O点的振动方程及此波的波函数.y/m y/m t=0时 0.5 0.5 -1 O 1 x/m O 1 x/m (a) 图16-7 (b)分析 由已知条件算出T=4s. 欲从t=2s时的波形求出t=0时的波形, 只需将t=2s时的波形曲线沿x轴负向移动半个波长即得. 从t=0时的波形便可求出振动方程的几个常数.解 从图16-7(a)知 可得t=0时的波形如图16-7(b). 从图知O点将向下运动，于是O点在t=0时有 (1) (2) 由(1)式得，由(2)式得，所以应取O点的振动方程为 m以O为原点的波函数为 m16-8 一平面简谐波沿x轴负向传播, 波长为 P处质点元的振动规律如图16-8. (1)求P点的振动方程; (2)设OP=d, 求此波以O为原点的波函数.分析振动曲线是描绘波线上某点位移与时间关系的曲线，即y-t图通过振动曲线可知P点的初始条件有了P点的初始条件，可得P点的振动方程由于波沿x轴负向传播，因而O点的相位比P点落后解 (1)由振动曲线知P点在t=0时有 (1) (2) yp/m A 0 1 2 3 t/s -A d x O P 图16-8 由(1)式得，满足(2)式因T=4s，则rad/s所以P点的振动方程为 m(2)波沿x轴负向传播, P点相位比O点超前,所以O点的振动方程为 m有 以O为原点的波函数为m16-9图16-9 (a)是一平面简谐波在t=0时的波形曲线. P点位于波线上x=1m处, 图(b)是P处质点元的振动曲线. 求以O为原点的波函数.y/m y/m 0.2 P O 1 2 x/m O 0.1 0.2 t/s -0.2(a) (b) 图16-9 分析 题目已给出t=0时的波形曲线，似乎问题很简单，但由于没给出波的传播方向，这样从波形曲线无法判定t=0时O点的运动方向从题目给出的距O点为1 m处P点的振动曲线可以判明，当t稍微大于零时其位移为正，因而t=0时P点将向上运动再观察波形图上x=1.5m处的质点，当t=0时位于最大位移处，此后一定要向下运动回到平衡位置既然t=0时P点将向上最大位移处运动， 而1.5m处质点已从最大位移返回，便可判断出P点(1m处)的相位比1.5m处质点落后，所以波沿x轴负向传播解 从图16-9(a)知 m, T=0.2s, A=0.2m.从图16-9 (b)P点的振动曲线并结合波形曲线(a), 判断出波沿x轴负向传播, 因而t=0时O点向下运动，O点初相由下两式决定： (1) (2) 由(1)式得，由(2)式得，所以应取得波函数为 m S1 S2 30m xP o P x图16-10 16-10 两相干波源S1、S2具有相同的振幅、频率和初相位已知振幅A=0.01m, 频率为100Hz, 初相位为零. 两波源相距30m, 相向发出二简谐波, 波长为5m. 试求: (1)两波源的振动方程; (2)在两波源连线中点处的合振动方程.分析 相干波在相遇点的合振幅是各列波在相遇点引起的振动的合成解 (1) 已知 rad/s所以S1、S2的振动方程为(2) 如图16-10, 取S1为坐标原点, 向右为正. 第一列波到达波源连线中点P的振动方程为第二列波到达P点的振动方程为所以P点的合振动方程式为 m16-11 一简谐空气波, 沿直径为0.14m的圆柱形管传播, 波的平均强度为W/m2, 频率为300Hz, 波速为300m/s. 求: (1)波的平均能量密度和最大能量密度; (2)每两个相邻同相面间的波中含有的能量.分析 本题涉及的概念有: 能量密度、平均能量密度、平均能流、能流密度或波的强度. 从能量密度看到, 介质单位体积中的能量不守恒, 随时间作周期变化, 在给定时刻能量又随单位体积平衡位置坐标x作周期变化，因此波的传播既是振动相位的传播又是能量的传播，因此而称为行波解 (1)平均能量密度为 平均强度为 能量密度为 最大能量密度为 (2)相邻同相面间隔的距离为一个波长，即 m相邻同相面间的波中含有能量16-12 一简谐波在弹性介质中传播, 波速m/s, 振幅A=1.010-4m, 频率Hz. 若介质的密度, 求: (1)该波的能流密度; (2) 若有一平面面积s=4.010-4m2, 波速v与该平面法线en的夹角为， 求一分钟内通过该面积的平均能流.解 (1)能流密度为(2)一分钟内通过垂直于波传播方向的平均能流为16-13 若太阳能电池板的接收面积为13cm2, 当正对太阳时, 电池板产生0.45V电压, 并提供0.20A电流. 设太阳光的能流密度为1.0103W/m2, 求太阳能转变为电能的效率.分析 1s内太阳能电池板产生的电能与1s内电池板吸收的太阳能之比就是能量转换效率本题提供的太阳的能流密度是一常识性数据解 1 s内太阳能电池吸收的太阳能为产生的电能为 E = 0.20.45 J = 0.09 J所以转换效率为 A P B x x图16-1416-14 两相干平面波波源A、B相距20m, 作同频率、同方向和等振幅的振动， 它们所发出的波的频率为100Hz，波速为200m/s，相向传播, 且A处为波峰时, B处为波谷, 求AB连线上因干涉而静止的各点的位置.分析 两相干波等振幅，所以相干减弱点的振幅为零，即因干涉而静止A处为波峰时B处恰为波谷, 表明波源A与波源B的相位差为解 两相干平面波波长为m两平面波相向传播，相遇点在两波源之间，设P在A、B间，距离波源A为x，如图16-14，设波源B相位比波源A超前，有相遇点为干涉静止时需满足条件为得 所以AB连线上因干涉而静止点的位置为x = k+10 m 16-15 如图16-15, 两列波长均为的相干简谐波, 分别通过图中的O1和O2点, 通过O1点的简谐波在M1M2平面反射后与通过O2点的简谐波在P点相遇. 假定波在M1M2平面反射时有半波损失, O1和O2两点的振动方程分别为和, 且O1m+mP=8, O2P=3, 求: (1)两列波分别在P点引起的振动的振动方程; (2)P点的合振幅(设介质无吸收). M1 m M2 PO1 O2 图16-15 分析 通过O1的简谐波在M1M2平面的m点反射，反射时有半波损失，即对于通过O1的简谐波, M1M2平面是波密介质, 反射时反射波的相位改变介质无吸收，即表明振幅保持不变解 (1) s 在M1M2面上反射有半波损失, 所以通过O1点的简谐波在P点的振动方程为 通过O2点的简谐波在P点的振动方程为 (2)由(16-22)式, P点合振动的振幅为16-16 如图16-16(a), 三列波长均为的简谐波, 各自通过S1、S2、S3后在P点相遇，求P 点的振动方程. 设三列简谐波在 S1、S2、S3 振动的振动方程分别为,且S2P=4,S1P=S3P=5, 并设介质无吸收.分析振动的合成采用旋转矢量法最简便本题可用旋转矢量法先求第一、二个振动的合振动，再与第三个合成. 以此类推可作多个振动的合成解 三列简谐波在P点的振动方程分别为先将第一列波在P点引起振动的旋转矢量A1与第三列波在P点引起振动的旋转矢量A3合成，合旋转矢量为A13, 如图16-16(b). 合振动方程为 再将A13与A2合成, 合旋转矢量为A合, 如图16-16（c）.合振动方程为 P S1 S2 S3 (a) A1 O x A13 A3（b）A2 O x A13 A合 （c）图16-1616-17 沿弦线传播的一入射波的波函数为设波在x=L处(B点)反射, (1)反射点为自由端, 写出以B为原点的反射波的波函数; (2)反射端为固定端又如何?分析 考虑在自由端反射的反射波无半波损失，在固定端反射的反射波有半波损失，结合波函数的物理意义, 可写出B点的振动方程沿入射波的传播方向, 波线上各点相位依次落后，且注意到入射波的波函数是以O为原点B点的坐标为xB=L，于是以B为原点的反射波传到坐标x点时, 传播距离是L-x. . . x O B L图16-17 解 (1)如图16-17, 反射点B为自由端时, 反射波无半波损失，B点坐标xB=L，B点振动方程为反射波沿BO方向传播, BO间各点的相位均落后于B点, BO上坐标为x的任一点t时刻相位为所以B点为自由端时, 以其为原点的反射波波函数为(2)当反射点B为固定端时, 反射波有半波损失，以B为原点的反射波波函数为16-18 两列波在同一直线上传播, 波速均为1 m/s.它们的波函数分别为 式中各量均采用国际单位制. (1)试说明在直线上形成驻波, 并给出波腹、波节的位置; (2)求在x=1.2m处的振幅. 分析 两列在同一直线上沿正反方向传播的等振幅相干波叠加形成驻波驻波波函数为 为振幅项结合书上对驻波的讨论, 可总结出驻波区别于行波的两个特点：在驻波中无能量传播, 无相位传播解 两波函数改写为 所以这两列波是在同一直线上沿正反方向传播的等振幅的相干波，在直线上叠加形成驻波，(16-24)式给出驻波波函数的形式为与已知条件比较，知 得 s ， Hz， m.所以驻波波函数为 m当 x 满足时出现波腹, 即 (k=0,1,2,.)解出x=k m出现波腹. 当 x 满足时出现波节, 即 (k=0,1,2,.)解出 m出现波节. (2)x=1.2m处的振幅为 m .16-19 如图16-19, 位于x=0 处的波源O作简谐振动, 产生振幅为A, 周期为T,波长为的平面简谐波. 波沿x轴负向传播, 在波密介质表面B处反射. 若t=0时波源位移为正最大, 且OB=L, 求:(1)入射波的波函数; (2)以B为原点的反射波的波函数; (3)设L=, 证明BO间形成驻波, 并给出因干涉而静止的点的位置. B O xL图16-19 分析 将入射波的波函数写出后与习题16-17 联系应不难求解. 解题时需十分留心的是题目已把坐标取定, B点的坐标.解 (1)波源的初相由下式给出 (1) (2)从(1)式解出 满足(2)式, 故 所以以O为原点, 沿x轴负向传播的入射波波函数为 (2)B点坐标xB=-L, 且B点为波密介质表面一点, 在B点反射的反