（电路与系统专业论文）网络拓扑结构对于股市模型的影响研究[电路与系统专业优秀论文].pdf

摘要 作为一门新兴科学，近年来，关于复杂网络的研究已经越来越深入，其应用 也越来越广泛。在很多领域，包括因特网、生物信息学、社会学等方面，人们都 开始利用复杂网络来进行一些新的研究。而金融物理模型因为其特有的复杂性也 一直是物理学家们关注的焦点所在。其中，少数者博弈模型是一个简单而又内涵 深刻的金融博弈模型，己被越来越多的研究人员接受，成为目前金融复杂性研究 的热点之一。 本文则是将两者结合在一起，利用复杂网络建立股票市场中股民之间的相互 关系，在此之上，采用一定的规则，建立股民在同时接收来自邻居股民的局域信 息以及来自股市的全局信息的情况下，做出买卖股票的选择的一种股市模型；研 究了不同的网络拓扑结构对于系统动力学行为( 包括系统收益及个体成功率) 的 影响；并在模型中引入价格定义，产生股价序列。数值模拟结果显示，系统总收 益与网络拓扑结构及记忆长度 t 有关，且由于局域信息的加入，经纪人之间的协 作比基本m g 模型的经纪人之间协作明显提高，系统收益也明显增加；而个体 成功率则与节点的度存在一定的正相关性， 节点的度越大，个体成功率越高， 反之越小。结果表明，在真实的金融市场中，局域的信息传输与经纪人之间的博 弈竞争，可以提高社群整体的协作性，对于整个社会的获益优化是有利的。 关键字：少数者博弈：复杂网络：局域信息：股市模型 a b s t r a c t a san e ws u b j e c t ，n o w a d a y s ，t h ec o m p l e xn e t w o r ki sr e s e a r c h e do nm o r ea n d m o r ed e e p l nw h i c hi sa l s oa p p l i e dm o r ea n dm o r ew i d e l y i nm a n ya r e a s ，i n c l u d i n g i n t e m e t ，b i o i n f o r m a t i c s ，s o c i o l o g y , e t c ，p e o p l eh a v eb e g u nt od os o m en e wr e s e a r c h e s w i t hi t e c o n o p h y s i c sm o d e l s ，b e c a u s eo fi t s p a r t i c u l a rc o m p l e x i t y ，a r ea l w a y s f o c u s e do nb yp h y s i c i s t f o re x a m p l e ，m i n o r i t yg a m e ，w h i c hi sas i m p l ea n d s i g n i f i c a n t ，h a sb e c o m ev e r yh o t a st h ei n t e g r a t i o no f t h ea b o v e ，am o d e lo f m i n o r i t yg a m ew h e r et h ea g e n t sm a k e d e c i s i o n sa c c o r d i n gt ob o t hg l o b a li n f o r m a t i o na n dl o c a li n f o r m a t i o ni sp r o p o s e d i n t h em o d e l ，t h ea g e n t sm a k ed e c i s i o n st ob ei nm i n o r i t yo ft h e i rn e i g h b o r i n ga g e n t s w i t hp r o b a b i l i t yp ，a n da c tb yt h eb a s i cm i n o r i t yg a m ew i t hp r o b a b i l i t y1 - pa te a c h t i m es t e p t h es i m u l a t i o nr e s u l t si n d i c a t et h a tt h es y s t e mp r o f i ti sr e l a t e dt ot h e n e t w o r kt o p o l o g ya n dm e m o r yl e n g t hm ，a n da f t e rt h ei n d u c t i n go fl o c a li n f o r m a t i o n ， t h es y s t e mp e r f o r m sb e t t e rt h a nt h eb a s i cm i n o r i t yg a m ew i t hpi nac o n s i d e r a b l e r a n g e i na d d i t i o n ，i ti sf o u n dt h a tt h ew i n n i n gr a t eo ft h ea g e n t si nt h es y s t e mi s r e l a t e dt ot h ed e g r e eo ft h en o d e si nt h en e t w o r k ，t h eg r e a t e rt h ed e g r e ei s ，t h em o r e i n f o r m a t i o nt h ea g e n to b t a i n s ，t h em o r eh ew i n s k e y w o r d s ：m i n o r i t yg a m e ；c o m p l e xn e t w o r k ；l o c a li n f o r m a t i o n ；s t o c km a r k e tm o d e 4 1 1 复杂性科学 第一章绪论 复杂性科学及复杂性问题的研究兴起于2 0 世纪七八十年代。它是一门不依 赖牛顿式的宇宙观一隐喻世界如钟表的一般规律而可预测的科学，它要探讨的是 是在复杂系统中，各组成部分之间相互作用所突现出的特性。 1 1 1 复杂性科学的起源 复杂性作为一门学科，及现代唤醒复杂性兴趣的起源地是维也纳，1 9 2 8 年 贝塔朗菲( v o nb e r t a l a n f f y ) 完成描述生物有机体系统的毕业论文。在此之前的若干 年，怀特海( a l f r e dn o r t hw h i t e h e a d ) 在科学和现代世界上以“有机体的哲学” 一文，描述了相类似的见解，自此以后的2 0 年，在这方面做出的实质性贡献的 人及其著作有：马卡洛兹和匹兹( m c c u l l o c ha n dp i t t s ) 的神经网络( n e u r a ln e t w o r k ) 、 冯诺依曼的细胞自动机( c e l l u l a ra u t o m a t a ) 和复杂性以及维纳( n w e i n e r ) 的控制论 ( c y b e r n e t i c ) 。到了5 0 年代以后，复杂性科学的研究进入了一个相对缓慢的研究 阶段。在这一阶段，p r i g a g i n e 的耗散结构理论( d i s s i p a t i v es t r u c t u r et h e o r y ) 、 h a k e n 的协同学( s y n e r g e t i c s ) 、t h o m 的突变论( m o r p h o g e n s i s ) 、e i g e n 的超循 环论( h y p e r c y c l et h e o r y ) 以及混沌、分形等理论的发展都为复杂性科学的进一 步深入研究奠定了一定的理论基础。在复杂性科学的萌芽阶段，研究者们希望用 复杂性科学试图解答一切常规学科范畴无法解答的问题。现在看来这个目标似乎 过于大了。 1 1 2 复杂性科学在国内外的研究现状 国外关于复杂性的研究，很早的时候就己经开始了。人工智能与认知心理 学研究的先驱、中科院外籍院士、诺贝尔经济学奖获得者h s i m o n 于1 9 6 9 年首 次出版人工科学一书。该书的最后一章题目为“复杂性的构造”，作者谈到： “在科学和工程中，对系统的研究的活动越来越受到欢迎。它受欢迎的原因，与 其蜕是适应了处理复杂性的知识体系与技术体系的任何大发展的需要，还不如说 是它适应了对复杂性进行综合和分析的迫切需要。 第一次世界大战后，爆发了对复杂性科学的早期研究，所用的题目是：整体 论( h o l i s m ) ，经验的整体( g e s t a l t s ，格式塔) ，创造性进化( c r e a t i v ee v o l u t i o n ) ；在 第二次世界大战后所出现的题目是：信息( i n f o r m a t i o n ) ，控制论( c y b e m e t i c s ) ， 反馈( f e e d b a c k ) 一般系统( g e n e r a ls y s t e m ) ；近年来爆发了复杂性研究的第三次 热潮，主要题目是：突变理论( c a t a s t r o p h et h e o r y ) 、复杂性和混沌( c o m p l e x i t y a n dc h a o s ) 、复杂性和演化( c o m p l e x i t ya n de v o l u t i o n ) 遗传算法( g e n e t i c a l g o r i t h m s ) 、原胞自动机( c e l l u l a ra u t o m a t a ) 、人工生命( a r t i f i c i a ll i f e ) 和开放 复杂巨系统( o p e nc o m p l e xg i a n ts y s t e m s ) 等等。 1 9 8 4 年在美国成立了一个叫做s a n t af ii n s t i t u t e 的关于复杂性科学的研究 所，由三位诺贝尔奖获得者发起，他们是夸克理论创建者m g e l l m a n n 、凝聚态 物理学家r w a n d e r s o n 、物理经济学家k j a r r o w 。集中了一批不同领域、不同 学科的青年科学家，开展跨学科、跨领域的研究，他们称作复杂性研究，这里既 有自然界复杂性，也有人类社会以及人自身的复杂性。并提出了复杂适应系统的 概念，如生命系统、免疫系统、生态系统、人脑系统、经济系统等。1 9 9 2 年， m m i t c h e l lw a l d r o p 出版了c o m p l e x i t y - - t h ee m e r g i n gs c i e n c ea tt h ee d g eo f o r d e ra n dc h a o s 。作者在这本书中描述了美国s a n t af ii n s t i t u t e 关于复杂性的研 究情况。s a n t a f ii n s t i t u t e 的成立成为了复杂性科学研究的一个新的里程碑。圣菲 研究所是现在最有影响力的复杂科学研究学派之一，它每年在世界各地举办一次 s a n t af ii n s t i t u t e 的暑期学校，向世界各地的从事复杂性研究的优秀研究生宣传他 们的工作，同时所有学生也在会议上汇报他们的研究方向和想法。 除了圣菲研究所之外，还有很多学者在进行复杂性和复杂系统方面的研究。 现在全世界对复杂系统的研究过程中已经形成了很多学派，仅在美国，就已经形 成了5 个学派：系统动力学学派、适应性系统学派、混沌学派、结构基础学派、 暧昧学派等等。 在我国，关于复杂性的研究是系统科学的研究发展起来的。1 9 8 1 年我国著 名科学家、中科院院士钱学森提出了三个崭新的科学技术大部门：系统科学、思 维科学和人体科学。1 9 9 0 年自然杂志第一期发表了钱学森、于景元、戴汝 为三人署名的一篇论文“一个科学新领域开放的复杂巨系统及其方法论”， 第次提出了开放复杂巨系统的概念。并从2 0 世纪8 0 年代到9 0 年代先后提出 了具体研究复杂性与复杂系统的方法：“从定性到定量综合集成方法”以及“从 定性到定量综合继承研讨厅体系”，并把运用这套方法的集体称为总体设计部。 1 9 9 1 年1 月，在中科院张焘等同志的倡议下，并得到一些老科学家的热情 支持，由院长周光召主持，举行过一次“复杂性科学学术讨论会”。之后又召开 过多次主题为复杂性的“香山会议”。2 0 0 1 年6 月在中国矿业大学举行了“首 届全国管理复杂性研讨会”，2 0 0 2 年8 月在上海交通大学召开了“全国第二届复 杂性科学学术讨论会”。这几次会议对推动国内关于复杂性科学的研究起到了积 极作用。 近年来，复杂性科学的研究已经吸引了国内不同领域、不同学科的专家开展 跨领域、跨学科的研究工作。大到经济系统、生物系统，小到军事系统、电力系 统等等均已成为人们重要的研究对象。复杂性的研究报告已经占据了很多学科会 议的一席之地。从2 0 0 4 年起，s a n t af ii n s t i t u t e 除了在每年在国外举办次暑期 学校之外，还特意在中国大陆开办一次暑期学校，吸引中国以及东南亚地区的优 秀研究生参加，由此可见，中国的复杂性研究已经引起世界的关注。 1 2 复杂性与复杂系统 1 2 1 什么是复杂性 复杂性研究的范围很广，几乎涉及到科学的方方面面、各个领域，是一门新 兴的学科。正是由于这门科学还处在萌芽阶段，对复杂性科学的研究又分别从不 同科学分支领域中各自发展起来，由于角度各异，所以各学科的研究者们对复杂 性的定义往往存在明显的分歧。由于科学界对复杂性科学的研究才刚刚开始，导 致对这个问题的答案可以说是众说纷纭。 s f i 的科学家先后运用自组织、混沌、涌现、自适应复杂系统这些概念来研 究复杂性。他们认为“事实上，所有的复杂系统都有种能力，能使秩序和混沌 达到某种特别的平衡，在这个我们称之为混沌边缘的平衡点上，系统的组成 分子从来不会真正锁定在一个位置上，但也从来不会分解开来，融合在混沌之 中。” 知识广博，被誉为“杂家”的司马贺教授的看法是：复杂性是我们生活的世 界，以及与其共栖的系统关键特征。 著名科学家钱学森对复杂性的看法是：复杂性是开放的复杂巨系统的动力学 特性。 1 2 2 复杂性与复杂系统 复杂性寓于系统之中，是系统的复杂性。把复杂性和复杂系统结合起来，也 便于从系统科学的角度研究复杂性。实际上，s f i 在后来的复杂性研究中，也广 泛使用系统的概念。 复杂适应系统( c o m p l e xa d a p t i v es y s t e m ，c a s ) 就是这类系统的结构能适应 环境的变化，调整自身结构，从而涌现出新功能。如生物体系统的演化。这里， 运用了混沌对初始边界条件的异常敏感性，通过自组织调整自身结构，导致系统 演化涌现。 系统科学是从事物的整体与部分，全局与局部以及层次关系的角度来研究客 观事物的( 包括自然的、社会的以及人自身) 。能反映事物整体与部分、局部与 全局以及层次关系的最重要的基本概念是系统。 复杂巨系统如生物系统、人体系统、人脑系统、地理系统、社会系统、星系 统等。社会系统是最复杂的系统了，又称作特殊复杂巨系统，这些系统又都是开 放的，和环境有物质、能量和信息的交换，所以又称作开放的复杂巨系统。 一般可以从复杂系统的如下性质去理解复杂性： 1 1 层次性。复杂系统内部具有若干层次，组成系统的元素本身也是复杂系 统，形成“系统子系统子子系统”的层层嵌套结构。系统层次 的划分可以有多种依据，如可根据组织形式将人体系统分成细胞组织器 官系统( 呼吸、消化系统等) 人体等层次，按空间尺度可将客观世界分 为渺观微观宏观宇观等层次。 2 1 整体性。即整体大于各组成部分之和，具有完全不同于元素的性质。每 个层次上的局部都不能说明整体，低层次的规律不能说明高层次的规律。复杂系 统的整体性源于元素的非线性联系，因此要求在研究复杂系统时采用整体论方 法，而不能完全依赖于经典科学所采用的分析还原方法。 3 ) 多样性。一方面是指系统元素的多样性，不但处于不同层次的元素往往 具有完全不同的结构、功能，同一层次的不同元素也有着差异程度不一的属性空 间。另一方面是指元素间联系方式的多样性，元素之间、不同层次的元素之间相 互关联、相互作用，作用的方式是多种多样。系统的多样性意味着某个元素载有 的其他元素的信息较少，给研究带来很大困难，是造成主观复杂性的重要因素多 样性决定人们在研究和描述复杂系统时必须从多个维度进行。 4 1 开放性。所谓开放性是指系统边界与外部环境的相互作用。系统不断与 外界环境交换物质流、能量流、信息流，并最终向更好的适应环境的方向发展变 化。许多复杂系统的外部环境本身也是一个复杂系统。 5 ) 动态演化。系统随时问而变化，经过系统内部以及系统与外部环境间的 相互作用，不断适应、调节，通过自组织作用，经过不同的阶段和不同的过程， 向更高级的有序化发展，涌现出独特的整体行为和特征。系统的演化是由底层元 素诱发，越低层的元素越活跃。当有少量元素变化时，系统整体不发生大的变化， 体现出鲁棒性。但当有大量元素改变行为时，系统稳定性被破坏，向另一种状态 演化。因此。系统演化具有阶段性，呈现出渐变与突变相交替的过程。 1 3 经济复杂系统金融市场的研究 在经济领域存在着大量内部蕴涵复杂性现象的系统，典型的如交易市场和股 市等。以股市为例，其中包含为数众多的股民、机构、上市公司以及管理者，他 们在股市中扮演不同的角色，起着不同的作用。单就某个个体而言，他的参与目 的、投资策略、思维方式往往并不复杂，也比较容易分析：但是在这些众多的股 市参与者的共同作用下，股票市场从整体上呈现了与单个参与者完全不同的性 状。我们不可能从个体入手，将个体的特征、性质累加组合得到股市整体的特征 和性质。股票市场作为市场经济下主要的资本资源流通控制工具，在宏观经济中 占有重要的作用。它具有复杂系统的几个特点： 1 1 丌放性：股票市场在现代经济中处于枢纽地位，处于复杂的环境当中， 受到各种外部环境的影响。系统本身及其子系统与周围的环境之间有各种各样及 其复杂的交换。 2 ) 复杂性：在股票市场这个大系统中有大量的子系统而且种类繁多，各子 系统之间有交互作用。予系统内部还存在着大量的各个不同的个体，系统内部个 体之间、不同系统内部的个体之间也存在复杂的相互影响。如此种种就形成了股 市内部的错综复杂的关系 3 ) 层次性：从已经认识得比较清楚的子系统到可以宏观观测的整个系统之 间层次很多，甚至有多少层次也不清楚。 股市的整体运行趋势千变万化，绝非通过研究个体行为并简单相加可以解释 的，近年来的研究表明在股市中存在着典型的混沌、分形等非线性现象，其中包 含着明显的复杂性。因此股市作为一个有代表意义的经济系统，被公认为是一个 复杂系统。本文就是以股票市场作为研究复杂系统的依托，研究网络拓扑结构对 于金融复杂系统的影响。 1 3 1 演化经济学 长期以来，新古典经济学一直占据着西方经济学界的主流地位，2 0 世纪7 0 年代以来，西方经济学界在经济理论上开始陷入持久的危机，而这场危机的主体 正是新古典经济学。 许多经济分析与预测、解释、评价或界定经济变化过程有关。因此可以认 为评价一个经济学理论是否适当应当主要由它对如下这些现象的说明来评定， 例如企业和整个行业对市场情况的外生变化的反应，或者出它怎样说明创新的来 源和结果。新古典理论倾向于以特定的方式论述第一个问题，而忽视或机械地论 述第二个问题。 随着复杂系统研究的开展，以及一系列跨越学科之间界线的学术交流活动的 开展，生物学和物理学等自然科学的革命性进展也给经济系统研究带来了新的思 想，并促进了新的经济理论的兴起，新的经济学科演化经济学在2 0 世纪8 0 年代诞生了，它的诞生标志了经济学理论发展崭新的阶段。 演化经济学是一门借鉴生物进化的思想方法和自然科学多领域的研究成果， 研究经济现象和行为演变规律的学科。它将技术变迁看作众多经济现象背后的根 本力量，以技术变迁和制度创新为核心研究对象，以动态的、演化的理念来分析 和理解经济系统的运行与发展。演化经济学( e v o l u t i o n a r ye c o n o m i c s ) 是2 0 世纪 8 0 年代以来现代西方经济学创新的一个重要理论分支，它已成为当今国外经济 学界最热门、最前沿的研究领域。 演化经济理论分析框架具有如下三个特征： 1 ) 理论分析表述为一个动态的演化过程，研究某一变化着的系统的运行， 或解释某一系统为何及如何到达目前这一状态。 2 )理论解释既包括随机性又具有系统筛选机制，系统的演化结果既有一定 的不确定性，在很大程度上又是带有因果性的。 3 )通过系统筛选机制生存下来的特征具有一定的惯性，因而很多变量( 特 征) 在相对较长的时间内有着个非常清楚的轨迹或模式和组织的行为方式。 2 0 世纪9 0 年代以来，演化经济学理论在有关技术创新的研究领域得到了广泛 应用。学者们针对学习、模仿等技术扩散过程，经验的渐进积累过程以及学习模 式等问题构建了演化模型，并由此建立了从微观范畴到宏观领域的技术创新理 论；此外，演化经济理论在社会规则和制度的起源与变化、经济演化过程中路径 依赖现象、技术的变化及其对人口和社会福利的影响、经济行为主体的行为动机 及其理解等几个方面的研究也从不同层次上展开。同时，一些诸如自组织理论、 演化博奕论、实验经济学、混沌理论和非线性动力学等分析工具也在演化经济模 型中不断涌现，使得研究对象的复杂性与分析工具之间有了很好的协调。 近几年的发展趋势表明，演化经济学理论已经成为分析和描述复杂经济现象 的重要方法，对现代经济学的发展产生了深远影响，以动态演化的眼光理解社会 经济过程的思想已得到越来越多的经济学家的承认，对技术变迁的研究已经成为 各种经济学流派共同关心的问题。演化经济学已成为2 0 世纪末在社会科学中最重 要、最激动人心并取得重大进展的学术领域之一。 1 3 2 经济物理学 1 9 9 5 年，s t a n l e y 等人比照生物物理学、地球物理学和天体物理学的提法，第一 次使用经济物理学( e c o n o p h y s i c s ) 一词命名了一个新的交叉学科。因为社会学家 所面i 自的种种难题，比如hs i m o n 在他的书中提到的“由于许多至关重要的复杂 社会过程无法像其他过程那样进行还原分析，因此，社会科学是真正的“硬”科 学( h a r ds c i e n c e s ) 。”以及r l e w o n t i n 说的“我对社会学家所处的位置相当同 情，他们面对着最复杂和顽抗的有机体的最复杂和困难的现象，却不能像自然科 学家那样具有操纵他们所研究的对象的自由。”，物理学家开始用他们所掌握的 精密科学的定量语言阐述并研究社会经济系统中的各种问题，揭示社会经济现象 中的普适性和规律。用非线性动力学、统计物理理论、复杂网络理论建立社会及 经济系统的各种模型，揭示各种普适现象的机制是经济物理学所要达到的目标。 物理学向经济学的大进军使得一门介于物理学与经济学之间的新学科经济 物理学诞生了。 这样原本属于经济学中的问题，诸如如何描述经济系统的状态和变化过程、 各个参数间有何依赖关系、不同系统是否具有某些普遍的和特有的性质、是否遵 循某种机制或规律等等，成为一些兴趣广泛的物理学家研究的范畴。金融市场是 一个典型的具有大量相互作用单元的强涨落复杂系统。研究复杂物理系统所获得 的经验可能会给出经济学中的新结果。理解金融市场动力学的困难，不仅在于它 的内部元素的复杂性，更在于有许多难于捉摸的外部因素作用于市场。即使是同 一国家甚至同一地域的两个市场，都可能有明显的不同。但金融市场的某些观察 量，如：交易价格、成交量、交易频率和市场指数值的统计性质对于十分不同的 金融市场看起来却有令人惊讶的相似性。这意味着金融市场作为复杂动力学系统 可能存在“普适”的行为与规律。 对于复杂的客观世界，人们认识和改造它的必由之路无疑是模型( m o d e l ) 和 建模( m o d e l l i n g ) 。人们在某个阶段对某一客观事物的认识总是有限的，即总是 从有限的某个部分或某个方面去描述和反映该事物，并从其无限属性中选出当前 关注的主要的若干属性，从而形成关于它的一个适当“版本”，这就是所谓的“模 型”，形成该适当“版本”的方法和过程则称为建模。在生物、社会、经济等领 域中，虽然它们的模型很难建立，但是其研究途径仍未脱离此范畴。早在1 9 0 0 年，b a c h e l i e r 就抓住了自己认为的金融时间序列的普适特征，即收益波动的方差 随时间尺度线性增长，并提出市场价格的波动行为可以借用布朗运动来描述，在 数学上布朗运动又被称为随机游走模型( r a n d o mw a l km o d e l ) 。尽管当今数理金 融的主流仍坚持b a e h e l i e r 的随机游走模型，但是实证研究已经表明它并不能很 好地刻面价格的波动机理。为了更好地理解理解金融市场的动力学行为，也为了 更好地揭示其产生机制，非常需要一个好的模型，现实生活中针对风险控制、期 权定价等多方面的应用对它的需要程度更是迫切。在这种情况下各种各样的模型 应运而生，包括基于m u l t i a g e n t 的金融物理模型、基于元胞自动机的金融物理 模型、伊辛( i s i n g ) 模型、逾渗模型、回归模型等等。 将物理学方法应用于各种金融价格的统计分析和经济复杂系统的动力学模 拟将对金融市场的预测和经济系统的宏观调控有直接的指导意义。寻求适应性复 杂系统的动力学模型，模拟金融市场经纪人之间的自适应竞争行为，构造金融市 场的微观物理模型，将开拓新的经济学研究方法，并对复杂性科学的探索也将有 深远的理论意义。 1 4 本文的主要工作 以公认的复杂系统一股票市场为对象，本文主要研究网络拓扑结构对于股市 复杂性的影响，主要包括以下两方面的内容： 1 利用少数者博弈思想进行股市建模研究 2 研究网络拓扑结构对于股票市场的影响 第一部分：利用少数者博弈思想进行股市建模研究 近年来，人们对具有竞争目标的相互作用个体的动力学系统的研究越来越感 兴趣。许多自然和社会现象中的自适应复杂性，可以通过多经纪人相互竞争作用 的非线性动力学系统来描绘和模拟，股票市场就是一个很好得范例。 1 )研究自适应社会和竞争博弈的网络模型，把争当少数者博弈基本模型 ( m i n o r i t yg a m em g ) 应用到基于复杂网络的股票市场建模中； 2 )利用此股市模型迸一步研究这种自适应社会和竞争博弈的网络模型 的网络动力学。 3 ) 研究这模型的小世界结构，高聚集性，以及连接度的分布特征如何 影响争当少数者博弈的自适应演化动力学行为。 第二部分：研究网络拓扑结构对于股票市场的影响 1 )相应的利用少数者博弈的思想分别在规则网络和随机网络上建立股市 模型，并与基于复杂网络的股市相比较 2 ) 研究复杂网络拓扑结构( 即网络度分布特征) 对股市模型的影响，包 括对于系统收益及个体成功率的影响。 第二章复杂网络 2 1 复杂网络的起源 面对自然界存在的大量的复杂系统，人们开始尝试通过行行色色的网络对其 加以描述，一个典型的网络是由节点以及连接两个节点之间的边所组成，其中节 点用来代表真实系统中不同的个体，而边用来表示个体间的关系，往往是两个节 点之间具有某种特定的关系则连一条边，反之则不连边。而这样的网络的例子更 是举不胜举：i n t e m e t 可以描述为通过各种物理的或者无线的连接把路由器和计 算机连接在一起的网络( 图2 1 a ) ；万维网是一个网页通过超链接来连接的巨大 的虚拟网络( 图2 1 b ) ；谣言和信息就是在以人通过各种关系构成的社会网络上 传播的；细胞可以很好的描述为化学反应连接化学物的网络；大脑是神经细胞元 的网络；全球经济是由各国的国家经济构成的网络，而国家经济又是其市场的网 络，市场又是相互联系、相互影响的生产者与消费者构成的网络；食物网和代谢 路径可以用网络来描述( 图2 2 ) ，同样语言中单词之间的关系、交谈中的话题甚 至解决一个数学问题的策略都可以用网络来描述。 图2 1 ：( a ) i n t e r a c t 网络结构( b ) 万维网( w w w ) 网络结构 复杂网络在自然科学和技术领域的普遍存在性自然而然的引发了一系列关 于网络结构的研究，包括它是如何产生以及如何约束与控制网络动力学行为的， 而这些在传统学科的研究中都是很大程度上被忽视的。比如说，社会网是如何做 为疾病传播的媒介? 金融危机是如何通过全球金融网络扩散的? 在不断变化、不 确定的外界环境中，一个特定的组织中最有效及鲁棒性最强的结构又是什么? 诸 如此类的问题，我们每天都在面对，并等待我们去揭晓与解决。 图2 2 ：( a ) 食物网( b ) 代谢网 大概有一个世纪之久，对于物理或者非物理系统及过程的模型的建立都坚信 一个假设，就是系统或者过程中的个体之间相互作用的模式可以移植到规则的甚 至可能是通用的结构中，比如欧几里得格子。在十九世纪五十年代后期，两位数 学家，e r d 6 s 和r 6 n y i ( e r ) 在传统的数学图论之上取得了很大的突破。他们首次 使用拥有复杂的拓扑结构的随机图来描述网络，而他们的工作也奠定了随机网络 理论的基础，被接下来四十年甚至是现在的进一步深入的研究工作所引用。尽管 直觉清楚的告诉我们众多实际生活中的复杂网络并不是完全规则或者完全随机 的，但是e r 随机图模型做为唯一明智而且严格的途径，控制了科学家们关于复 杂网络的思想达近半个世纪之久。这种现象在本质上来说，是因为缺少超强的计 算能力以及关于真实世界中的大尺度网络的非常详细的拓扑结构信息。 在过去的几年里，由于在资源获取方面计算机的广泛应用，其超强的计算能 力使得各种关于拥有复杂拓扑结构的真实网络的大型数据库不断出现。而这些数 据库都是直接对公众开放的，这种开放性使得很多人们都能直接面对大量的真实 统计数据，这也就大大地激发了他们对于揭露各种复杂网络之间的共同特性的兴 趣。这也直接导致了近期的两个重大发现，即绝大多数复杂网络都拥有的一一小 世界效应及无尺度特性。 2 2 复杂网络的一些基本概念 近十年来，人们提出并研究了大量用于衡量复杂网络特性的特征量，其中三 个重要的概念一一平均路径长度、簇系数、度分布在近期关于复杂网络的学习研 究以及复杂网络理论的发展中扮演了重要的角色。事实上，w a t t s 和s t r o g a t z 在 他们关于小世界网络的工作中，最初是想尝试着构造一个象随机图一样具有小的 平均距离，但又象规则格子一样具有大的簇系数的复杂网络模型，不曾想就演化 成了一种新的复杂网络模型。另一方面，无尺度网络的发现是基于人们对于众多 真实网络的度分布均满足幂律形态的关注，虽然幂律分布在物理以及其他系统及 过程中已经被研究了很长一段时间。接下来便简要介绍一下这三个重要个概念。 2 2 1 平均路径长度 在一个网络中，两个节点f 、j 之间的 距离d 被定义为连接两点的最短路径上 的边的数目；网络的直径d 则被定义为网 络中任意两点之间的距离的最大值；而网 络的平均路径长度工则是网络中两点间的 平均距离( 在网络上所有的节点对上进行 平均) ( 见右图) 。在这里，l d = l 决定 了网络的有效大小。比如，在人们的友谊网中，e 就代表了在连接两个个体的最 短的友谊链条上的平均友谊数。很明显，上d 1 ，而且当且仅当网络中的任意 两个个体都直接相连的时候( 即网络为全连通图) o ( n - 1 ) 。复杂网络在这个领 域最重要的发现之一就是大多数大尺度的真实复杂网络的平均路径长度都很小， 即使它的连边数比节点数相同的全连通网络的连边数少很多，这种“小”通常被 人们称为小世界效应。 2 2 2 簇系数 在你的友谊网络里面，你的朋友的朋友很有可能直接就是你自己的朋友，或 者说你的两个朋友很有可能也互为朋友。这种特性叫做网络的簇，人们定义网络 的簇系数c 为节点的邻居中互为邻居的节点对的比例( 即节点的邻居中互为邻居 的概率) 。假设一个网络中的节点f 有女条连边分别把它们连向其余置个不同的节 点，这t 个节点就是节点f 的邻居，而且很显然，这t 个节点之间最多存在i 条连 边，这时，节点i 的每一个邻居都跟节点f 的其余邻居相连。节点f 的簇系数e 定 义为置个节点之间真实存在的连边数巨与可能存在的连边的总数k , ( k i - 1 ) 2 的 比值，即 c ，= 蕊 而整个网络的簇系数c 则为所有e 在i 上的平均，即 ( 2 1 ) c c = -( 2 2 ) 、。 其中n 为网络总的节点数。在友谊网中，c 反映了个体i 的朋友牛互为朋友的程 度，因而，c 衡量了个典型友谊派系里的小集团特性。对于任意c ，都有c 1 ， 当且仅当此网络为全连通网络，即网络中任意一个个体都认识网络中的其他个体 时p ( k ) = p - ( 等等。在完全随机的网络中，c n ，与大多数大尺度网络相比 都是比较小的。人们发现真实世界中的大多数大尺度网络都有聚集的趋势，所以 它们的簇系数都远大于o ( n 。) ，虽然也明显的小于1 。 2 2 3 度分布 最简单和最集中的研究一个节点的特性就是度的概念。节点i 的度艇为它的 连边的总数，t 在所有i 上的平均即称为网络的平均度，且表示为 。而节点度 的分布由一个分布函数p ( ) 来表示，它给出了在网络中随机选择一个节点拥有k 条连边的概率。 在规则的网格中节点的度序列是单一的，所有节点都拥有相同的连边数，因 此它的度分布曲线为一个单脉冲曲线( 有一个非常尖锐的峰值) 。网络中任意一 点随机性的加入都将加宽这个脉冲，直到网络完全随机的时候，其度序列服从泊 松分布( 见图2 3 a ) ，即： 眦) ：p 州等 ( 2 。) 从泊松分布的曲线形状来看，它在最高点( ) 处往两边呈指数型下降，因此，在 k ( 女) 的时候，在网络中找到一个节点有条边的概率很小，甚至可以忽略。 图2 3 ：( a ) 高斯分布( b ) p o w e r - l a w 分布 在过去的几年里，大量的实证数据表明，对于大多数大尺度的真实网络而言， 它们的度分布都是明显偏离泊松分布的。特别地，有一部分网络，包括万维网、 因特网以及代谢网，它们的度分布可以精确的描述为一种幂律( p o w e r - l a w ) 分布 的形式： p ( ) k 1( 2 4 ) 这种幂律分布比指数分布下降的更缓慢，这也就允许了网络中存在少数节点有非 常大的度( 见图1 3 b ) 。比如说，假设有一个节点总数为1 0 0 0 0 0 网络，它的度分 布遵循幂律分布，且指数为2 。那么，网络中将有1 9 的节点( 或者说近l l l l l 个节点) 度为3 ，而有1 1 0 0 0 0 的节点( 即1 0 个节点) 度为1 0 0 。因为幂律分布 与网络的尺度无关，所以拥有幂律分布的网络我们称为“无尺度网络( s c a l e f r e e n e t w o r k ) ”。 图2 , 4 ( a ) 美国高速公路圈( b ) 美国航空路线图 关于指数网络和无尺度网络之间的显著区别，我们可以参见图2 4 中的美国 高速公路图和航空路线图。在公路图中，节点为各个城市，连边为连接它们的高 速公路。这是一个相当均衡的网络：每个主要城市都至少有一条通往高速公路系 统的链接，当然也没有城市会有上百条高速公路。而航空路线图则彻底与公路图 不同。航空图中的节点为各个机场，而连线为它们之间的航班。在图中有一些中 心节点，包括芝加哥、达拉斯、丹佛、亚特兰大和纽约等，它们拥有的航班几乎 可以直接到达美国其它任意的机场。但是大多数机场的节点度都是小的，它们仅 仅有一个或者几个航班飞往一个或几个处于中心节点的机场。 小世界和无标度特性是在许多真实世界的复杂网络中普遍存在的，表2 1 提 供了一些实例，可能会引起人们对于电路与系统的共同体的兴趣( 比如，因特网 中无尺度特性的发现推动了- - e 0 新的网络拓扑产生器的发展。) 表2 1 一些实证网络的小世界效应和无标度特性 其中，w w w 和m e t a b o l i cs y s t e m 为有向网络。 网络 网络大小簇系数 平均路径长度度分布指数 i n t e m e t ( d o m a i n ) 3 2 7 1 1 0 2 43 5 62 1 i n t e r n e t ( r o u t e o 2 2 8 2 9 8o 0 39 5 12 1 w w w 1 5 3 1 2 7o 1 13 1 y 。= 2 1y 。m = 2 4 5 e m a |5 6 9 6 9 o 0 34 9 51 8 l s o f t w a r e1 3 7 6o 0 66 3 92 5 e l e t r o n i cc i r c u i t s 3 2 90 3 43 1 72 5 l a n g u a g e 4 6 0 9 0 2 0 4 3 72 6 72 7 m o v i ea c t o r s2 2 5 2 2 6 0 7 93 6 52 3 m a t h c o a u t h o r s h i p 7 0 9 7 50 5 99 5 02 5 f o o d w e b15 4o1 53 4 011 3 m e t a b o l i cs y s t e m7 7 83 2 v i n ；yo _ 2 2 2 3 复杂网络模型 测量复杂网络的一些基本属性，象平均路径长度工、簇系数c 、度分布p ( k ) 是理解其结构的第一步。下一步，就是研究构造一个与其拥有相似统计特性的拓 扑结构的数学模型，从而获得可以进行数学分析的平台。 2 3 1 规则网络 众所周知，全连通网络( g l o b a l l yc o u p l e dn e t w o r k ) 拥有最小的平均路径长度 l = l 以及最大的簇系数c = 1 ( 见图2 5 a ) 。仅管全连通网络模型拥有与许多真实 网络相同的小世界和聚簇特性，但是也很容易看出它的局限性：全连通网络拥有 的连边数为n ( n 一1 ) 2 ，而大多数大尺度的真实网络却是非常稀疏的，其总边数 大概在级别，而不是2 。 固o - 弋 骖过 -。p (n)0-)( c ) 图2 5 ：( a ) 全连通网络( b ) 最近邻居连接网络( c ) 星型网络 一个普遍研究的，稀疏而且规则的网络模型是晟近邻居连接网络模型 ( n e a r e s t - n e i g h b o rc o u p l e dn e t w o r k l a t t i c e ) 。它是一个规则图，里面的节点仅仅和 少数的几个邻节点相连。这里的l a t t i c e 很容易让人想起二维的正方形的格子，但 是事实上它们可以是其他的几何形状。最小的l a t t i c e 是一维结构的，像是一组手 拉手的人一样。一个n e a r e s t - n e i g h b o rl a t t i c e 符合周期性边界条件，它由n 个排成 环状的节点组成。每个节点i 和它的邻节点i + l ，f + 2 ，i k 2 ，k 在这里 是个偶数( 见图2 5 b ) 。对于一个大的芷值，这样的网络是高度成簇群的，最近 邻居连接网络模型的簇系数为： 耻黼丢 s ， 即便这样，最近邻居连接网络模型并不是一个小世界网络。相反，它的平均 路径长度是： 厶。：，。，。o c z s ， 这就解释了为什么一些在这样的局部连接网络中需要全局联系的动力学过程很 难完成( 例如同步) 。 最近邻居连接网络模型的度分布是一个与k 有关的d e l t a 函数。例如： 雕，= i 警 亿， 那么到底有没有一个规则网络既稀疏而聚簇，又具有小的平均路径长度呢。答案 是有! 最简单的一个例子就是星形连接网络( 见图2 5 c ) 。它有一个中心节点， 其他n 一1 个节点都连且仅连接在中心节点上。它的平均路径长度是： k 小端观a s 一。 ( 2 s ) 集群系数为： c s 。= 1 n r - 1 斗1 ，a s _ 观 ( 2 9 ) 星形模型具有稀疏，聚簇，小世界和一些真实网络所具备的其他特性。从这点上 来说，它作为一个真实网络的模型较之规则l a t t i c e 模型更好。 2 3 2 随机网络 与完全规则网络一个完全相反的方向，完全随机图的研究，是4 0 年前的e r d 6 s a n d r o n y i 1 9 6 0 1 开始的。试想一下，你将一大堆纽扣( 数量n 1 ) 洒落在地板 上，用同样的概率p ，你用一根线将任意两个纽扣连接起来。结果就是一个具有 个节点，p n ( n 一1 ) 2 个边的e r 图的真实例子( 见图2 6 ) 。随机图的主要目 标就是确定什么样的连接概率p 下会有什么样的现象发生。e r d g sa n dr 6 n y i l * j 最 大的发现就是许多随即图的重要特性出现的都非常突然。举个例子，如果你拿起 一颗纽扣，那么接着会有多少颗会一起被捡起? e r d 6 sa n d r 6 n y i 推导出，如果概 率p 增大到一定的极限，p ，l n ( n ) n ，那么几乎所有的随机图都是连通的，意 思就是你会拿起所有的纽扣，即使是随机的每次拿起一颗。 随机图的平均度为： c 一等t 亿 设l 。为随机网络的平均路径长度。显然，大约有( k ) 个节点的的距离是 三。a 或者接近于它。因此，“( k ) ，也就是i 。a i i n ( 两n ) 。这种平均路径长度 随着