积分第一中值定理及其推广证明.doc_第1页
积分第一中值定理及其推广证明.doc_第2页
积分第一中值定理及其推广证明.doc_第3页
积分第一中值定理及其推广证明.doc_第4页
全文预览已结束

下载本文档

版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领

文档简介

2.1积分第一中值定理证明积分第一中值定理:如果函数在闭区间上连续，在上不变号，并且在闭区间上是可积的，则在上至少存在一点，使得成立。证明如下：由于在闭区间上不变号，我们不妨假设，并且记在闭区间上的最大值和最小值为和，即，我们将不等式两边同乘以可以推出，此时对于任意的都会有成立。对上式在闭区间上进行积分，可以得到。此时在之间必存在数值，使得，即有成立。由于在区间上是连续的，则在上必定存在一点，使成立。此时即可得到，命题得证。2.2积分第一中值定理的推广定理：（推广的第一积分中值定理）若函数是闭区间上为可积函数，在上可积且不变号，那么在开区间上至少存在一点，使得成立。推广的第一积分中值定理很重要，在这里给出两种证明方法。证法1：由于函数在闭区间上是可积的，在上可积且不变号，令，很显然在上连续。并且， 。由柯西中值定理即可得到，化简，即，根据上式我们很容易得出，命题得证。证法2：由于函数在上可积且不变号，我们不妨假设。而函数在闭区间上可积，我们令，。假设是在闭区间上的一个原函数，即。我们就可以得到下面等式（2.2.1）此时由于，则会有，由于存在两种可能性，那么下面我们就要分两种情况以下我们分两种情形来进行讨论：(1).如果，由等式（2.2.1）可得出，那么对于都有恒成立。(2).如果，将（2.2.1）除以可得，（2.2.2）我们记 ，（2.2.3）此时我们又分两种情形继续进行讨论：（）如果（2.2.2）式中的等号不成立，即有成立，则此时一定就存在，可以使得，我们不妨假设，这其中。因为，则会有。此时至少存在一点，使得，即有成立，从而结论成立。（）如果（2.2.2）式中仅有一个等号成立时，我们不妨假设，因为，此时一定存在区间（其中），使得，恒有成立，我们可以将（2.2.3）式进行简化，因为，则有（2.2.4）而且我们已知，则。于是（2.2.5）在式子（2.2.5）下必定存在，使得。如果不存在一个，使得，则在闭区间上必定有及成立，从而使得。如果，
人人文库> 全部分类> 生活休闲 > 文化艺术

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论