全国高中数学联赛辽宁省初赛参考答案与评分标准.pdf

1 4 2012014 4 年全国高中数学联赛辽宁省初赛年全国高中数学联赛辽宁省初赛参考参考答案及评分标准答案及评分标准 说明 1 评阅试卷时 请依据本评分标准 选择题和填空题只设 5 分和 0 分两档 其它各题的评 阅 请严格按照本评分标准规定的评分档次给分 2 如果考生的解题方法和本解答不同 只要思路合理 步骤正确 评卷时可参照本评分标 准适当划分档次评分 可以 5 分为一个档次 不要再增加其它中间档次 一 一 选择题选择题 本题满分 30 分 每小题 5 分 1 d 2 c 3 b 4 c 5 a 6 b 二 二 填空题填空题 本题满分 30 分 每小题 5 分 7 1 8 145 00 28 9 266 81 10 2 11 10098 12 1st 三 三 解答题解答题 13 解解 由已知 令0m 得 0 0f 再令mx nx 得 fxf x 所以 f x在r上是奇函数 设 12 xxr 且 21 xx 则 21 0 xx 由 f x 是奇函数和已知可得 0 121212 xfxfxfxfxxf 所以 xf在r上是增函数 5 分 1 2f f mnf mf n 2412 1 12 ff 22 34 24fxy 即 22 34 12 fxyf 从而 1243 22 yxyxa 由 3 0f xf ayf 得 3 0 f xayf 从而 30bx y xay 由 afyfxf 2 2 1 得 2 22yfaxf 从而 2 2cx y yxa 由ab 可求得 3 15 a 10 分 由ac 可求得 2 6 13 a 15 分 所以实数a 的取值范围是 131515 2 633 20 分 2 4 14 14 证明 证明 连接bp qc 则 apcaqppba aqap apqaqp 又pab 为公共角 所以 apc abp 5 分 则 2 apabac 同理 2 aqacab 又 aqap 所以 acababac 则bcbc 共圆 10 分 acoabo 连接ao 则 等腰abo 等腰aco 15 分 则abac 即 abc 是等腰三角形 20 分 1 15 5 解解 取 1pn q 则 11 2 nnn aaaa 1 2 nn aa nn 即 n a是公差为2 首项为2的等差数列 2 n an 5 分 13124 1234 1 1 2121212121 nn n n bbbbb an 2112 1 121 1 2 212121 nn n n bbb an 得 1 1 2 2 21 nn n b n 10 分 11 1 22 2 nn n bn 当1n 时 1 1 3 b a 1 6b 满足上式 11 1 22 nn n bnn 15 分 由题意得 11 3 1 22 nnn n c 假设存在 使 1 nn ccnn 则 1211 3 1 22 3 1 22 nnnnnn 2111 1 22 1 22 332 3 nnnnnnn 1 1 3 24 2 3 nnn c a b b p q c o 3 4 若n为正偶函数时 1 3 24 2 3 nn 恒成立 则 maxmax 31 21 3 22 3 2 33 n n nn max 22 119 2121 14 3 2 3 2 3333 nn 9 14 20 分 若n为正奇数时 1 3 24 2 3 nn 恒成立 则 minmin 31 21 3 22 3 2 33 n n nn min 11 113 2121 8 3 2 3 2 3333 nn 3 8 综上可知 存在实数 93 148 使 nn 时 1nn cc 恒成立 25 分 16 16 解解 设直线l的方程为ykxm aa a xy bb b xy 由题意得 2 2 ykxm ypx 将 代入 得 2 22 0 ppm yy kk 由韦达定理可得 2 ab p yy k 2 ab pm yy k 5 分 2 b a pm y ky 直线 ab 的方程为 a a y yx x 因为点 b 在准线上 则点 b 的纵坐标为 22 aa b aa ypyp y xx aa 与 bb 都平行于x轴 bb yy 即 2 2 a aa pypm kyx 又因为点a在抛物线c上 所以 2 2 aa ypx 4 4 将 代入 可得 2 pk m 10 分 因此 直线l的方程为 2 p yk x 故直线l过定点 0 2 p f 15 分 由抛物线的定义及性质可得 aaaf bbbf 则 aabbafbfab 由 及题意可得 四边形abba 为直角梯形 则 11 22 sabaabbabab 22 1 2 ababab yyxxyy 2 2 11 1 2 ab