高考数学大一轮复习 9.4直线与圆、圆与圆的位置关系课件 理 苏教版.ppt

9 4直线与圆 圆与圆的位置关系 数学苏 理 第九章平面解析几何 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 思想方法 感悟提高 练出高分 1 判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 1 几何法 利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系 相交 相切 相离 d r d r d r 相交 相切 相离 知识拓展 圆的切线方程常用结论 1 过圆x2 y2 r2上一点p x0 y0 的圆的切线方程为x0 x y0y r2 2 过圆 x a 2 y b 2 r2上一点p x0 y0 的圆的切线方程为 x0 a x a y0 b y b r2 3 过圆x2 y2 r2外一点m x0 y0 作圆的两条切线 则两切点所在直线方程为x0 x y0y r2 2 圆与圆的位置关系 d r1 r2 无解 d r1 r2 一组实数解 r1 r2 d r1 r2 两组不同的实数解 d r1 r2 0 d r1 r2 一组实数解 无解 知识拓展 常用结论 1 两圆的位置关系与公切线的条数 内含 0条 内切 1条 相交 2条 外切 3条 外离 4条 2 当两圆相交时 两圆方程 x2 y2项系数相同 相减便可得公共弦所在直线的方程 思考辨析 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 k 1 是 直线x y k 0与圆x2 y2 1相交 的必要不充分条件 2 如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解 则两圆外切 3 如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和 则两圆相交 4 从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程 5 过圆o x2 y2 r2上一点p x0 y0 的圆的切线方程是x0 x y0y r2 6 过圆o x2 y2 r2外一点p x0 y0 作圆的两条切线 切点分别为a b 则o p a b四点共圆且直线ab的方程是x0 x y0y r2 相交但直线不过圆心 4 3 0或6 解析 由x2 y2 2x 4y 4 0得 x 1 2 y 2 2 9 所以圆c的圆心坐标为 1 2 半径为3 由ac bc可知 abc是直角边长为3的等腰直角三角形 题型一直线与圆的位置关系例1已知直线l y kx 1 圆c x 1 2 y 1 2 12 1 试证明 不论k为何实数 直线l和圆c总有两个交点 2 求直线l被圆c截得的最短弦长 思维点拨 解析 温馨提醒 直线与圆的交点个数即为直线方程与圆方程联立而成的方程组解的个数 最短弦长可用代数法或几何法判定 思维点拨 解析 温馨提醒 消去y得 k2 1 x2 2 4k x 7 0 因为 2 4k 2 28 k2 1 0 所以不论k为何实数 直线l和圆c总有两个交点 思维点拨 解析 温馨提醒 2 解设直线与圆交于a x1 y1 b x2 y2 两点 思维点拨 解析 温馨提醒 所以 16 4t t 3 0 解得 1 t 4 且t 0 思维点拨 解析 温馨提醒 4 2 4 11 8 0 思维点拨 解析 温馨提醒 故11k2 4k 8 0对k r恒成立 所以r2 d2 0 即d r 所以不论k为何实数 直线l和圆c总有两个交点 2 解由平面几何知识 思维点拨 解析 温馨提醒 所以点p 0 1 在圆c的内部 即不论k为何实数 直线l总经过圆c内部的定点p 所以不论k为何实数 直线l和圆c总有两个交点 思维点拨 解析 温馨提醒 2 解由平面几何知识知过圆内定点p 0 1 的弦 只有和ac c为圆心 垂直时才最短 而此时点p 0 1 为弦ab的中点 思维点拨 解析 温馨提醒 1 与弦长有关的问题常用几何法 即利用弦心距 半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解 2 利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系 也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系 思维点拨 解析 温馨提醒 跟踪训练1 1 若直线ax by 1与圆x2 y2 1相交 则p a b 在圆上 在圆外 在圆内 以上都有可能 所以点p在圆外 2 2014 江苏 在平面直角坐标系xoy中 直线x 2y 3 0被圆 x 2 2 y 1 2 4截得的弦长为 解析圆心为 2 1 半径r 2 例2 1 过点p 2 4 引圆 x 1 2 y 1 2 1的切线 则切线方程为 题型二圆的切线问题 思维点拨 解析 用待定系数法 先设出切线方程 再求系数 例2 1 过点p 2 4 引圆 x 1 2 y 1 2 1的切线 则切线方程为 题型二圆的切线问题 思维点拨 解析 例2 1 过点p 2 4 引圆 x 1 2 y 1 2 1的切线 则切线方程为 题型二圆的切线问题 当直线的斜率不存在时 直线方程为x 2 此时 圆心到直线的距离等于半径 直线与圆相切 符合题意 当直线的斜率存在时 设直线方程为y 4 k x 2 即kx y 4 2k 0 直线与圆相切 圆心到直线的距离等于半径 思维点拨 解析 例2 1 过点p 2 4 引圆 x 1 2 y 1 2 1的切线 则切线方程为 题型二圆的切线问题 即4x 3y 4 0 答案x 2或4x 3y 4 0 思维点拨 解析 2 已知圆c x 1 2 y 2 2 10 求满足下列条件的圆的切线方程 与直线l1 x y 4 0平行 2 已知圆c x 1 2 y 2 2 10 求满足下列条件的圆的切线方程 与直线l1 x y 4 0平行 解 设切线方程为x y b 0 与直线l2 x 2y 4 0垂直 与直线l2 x 2y 4 0垂直 解设切线方程为2x y m 0 过切点a 4 1 过切点a 4 1 过切点a 4 1 的切线斜率为 3 过切点a 4 1 的切线方程为y 1 3 x 4 即3x y 11 0 思维升华求圆的切线方程的常用方法 1 设出切线方程 由几何性质确定参数值 2 过圆外一点 x0 y0 求切线 既可采用几何法也可采用代数法 几何方法 当斜率存在时 设为k 切线方程为y y0 k x x0 由圆心到直线的距离等于半径求解 代数方法 当斜率存在时 设切线方程为y y0 k x x0 即y kx kx0 y0 代入圆方程 得一个关于x的一元二次方程 由 0 求得k 切线方程即可求出 跟踪训练2 2013 江苏 如图 在平面直角坐标系xoy中 点a 0 3 直线l y 2x 4 设圆c的半径为1 圆心在l上 1 若圆心c也在直线y x 1上 过点a作圆c的切线 求切线的方程 解由题设 圆心c是直线y 2x 4和y x 1的交点 解得点c 3 2 于是切线的斜率必存在 设过a 0 3 的圆c的切线方程为y kx 3 故所求切线方程为y 3或3x 4y 12 0 2 若圆c上存在点m 使ma 2mo 求圆心c的横坐标a的取值范围 解因为圆心在直线y 2x 4上 所以圆c的方程为 x a 2 y 2 a 2 2 1 设点m x y 因为ma 2mo 化简得x2 y2 2y 3 0 即x2 y 1 2 4 所以点m在以d 0 1 为圆心 2为半径的圆上 由题意 点m x y 在圆c上 所以圆c与圆d有公共点 则 2 1 cd 2 1 由5a2 12a 8 0 得a r 解析 答案 思维升华 题型三圆与圆的位置关系 例3 1 已知两圆c1 x2 y2 2x 10y 24 0 c2 x2 y2 2x 2y 8 0 则两圆公共弦所在的直线方程是 两圆的方程相减得 x 2y 4 0 题型三圆与圆的位置关系 解析 答案 思维升华 例3 1 已知两圆c1 x2 y2 2x 10y 24 0 c2 x2 y2 2x 2y 8 0 则两圆公共弦所在的直线方程是 例3 1 已知两圆c1 x2 y2 2x 10y 24 0 c2 x2 y2 2x 2y 8 0 则两圆公共弦所在的直线方程是 题型三圆与圆的位置关系 解析 答案 思维升华 x 2y 4 0 两圆的方程相减得 x 2y 4 0 判断两圆的位置关系时常用几何法 即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系 一般不采用代数法 若两圆相交 则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2 y2项得到 题型三圆与圆的位置关系 解析 答案 思维升华 例3 1 已知两圆c1 x2 y2 2x 10y 24 0 c2 x2 y2 2x 2y 8 0 则两圆公共弦所在的直线方程是 x 2y 4 0 例3 2 两圆x2 y2 6x 6y 48 0与x2 y2 4x 8y 44 0公切线的条数是 解析 答案 思维升华 两圆圆心距 两圆相交 故有2条公切线 例3 2 两圆x2 y2 6x 6y 48 0与x2 y2 4x 8y 44 0公切线的条数是 解析 答案 思维升华 例3 2 两圆x2 y2 6x 6y 48 0与x2 y2 4x 8y 44 0公切线的条数是 2 解析 答案 思维升华 两圆圆心距 两圆相交 故有2条公切线 判断两圆的位置关系时常用几何法 即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系 一般不采用代数法 若两圆相交 则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2 y2项得到 例3 2 两圆x2 y2 6x 6y 48 0与x2 y2 4x 8y 44 0公切线的条数是 2 解析 答案 思维升华 例3 3 已知 o的方程是x2 y2 2 0 o 的方程是x2 y2 8x 10 0 若由动点p向 o和 o 所引的切线长相等 则动点p的轨迹方程是 解析 答案 思维升华 设点p为 x y 由已知条件和圆切线性质得x2 y2 2 x 4 2 y2 6 例3 3 已知 o的方程是x2 y2 2 0 o 的方程是x2 y2 8x 10 0 若由动点p向 o和 o 所引的切线长相等 则动点p的轨迹方程是 解析 答案 思维升华 例3 3 已知 o的方程是x2 y2 2 0 o 的方程是x2 y2 8x 10 0 若由动点p向 o和 o 所引的切线长相等 则动点p的轨迹方程是 解析 答案 思维升华 设点p为 x y 由已知条件和圆切线性质得x2 y2 2 x 4 2 y2 6 判断两圆的位置关系时常用几何法 即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系 一般不采用代数法 若两圆相交 则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2 y2项得到 例3 3 已知 o的方程是x2 y2 2 0 o 的方程是x2 y2 8x 10 0 若由动点p向 o和 o 所引的切线长相等 则动点p的轨迹方程是 解析 答案 思维升华 跟踪训练3 1 圆c1 x2 y2 2y 0 c2 x2 y2 2x 6 0的位置关系为 解析 圆c1 x2 y2 2y 0的圆心为c1 0 1 半径r1 1 c1c2 r2 r1 2 圆c1与c2内切 内切 即 x y x2 y2 2a2 y 0 再由m n 可得半圆和圆有交点 故半圆和圆相交或相切 当半圆和圆相外切时 一 与圆有关的最值问题典例 1 2014 江西改编 在平面直角坐标系中 a b分别是x轴和y轴上的动点 若以ab为直径的圆c与直线2x y 4 0相切 则圆c面积的最小值为 高频小考点8高考中与圆交汇问题的求解 思维点拨 解析 温馨提醒 原点o在圆上 当切点与o连线过圆心时 半径最小 思维点拨 解析 温馨提醒 aob 90 点o在圆c上 设直线2x y 4 0与圆c相切于点d 则点c与点o间的距离等于它到直线2x y 4 0的距离 点c在以o为焦点 以直线2x y 4 0为准线的抛物线上 当且仅当o c d共线时 圆的直径最小为od 思维点拨 解析 温馨提醒 思维点拨 解析 温馨提醒 与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度 面积的最值 求点到直线的距离的最值 求相关参数的最值等方面 解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化 如本例 1 中 将面积问题转化为了点到直线的距离 熟练掌握圆的几何性质是解决问题的根本 思维点拨 解析 温馨提醒 2 2014 北京改编 已知圆c x 3 2 y 4 2 1和两点a m 0 b m 0 m 0 若圆c上存在点p 使得 apb 90 则m的最大值为 思维点拨 解析 温馨提醒 以ab为直径的圆与圆c有交点 思维点拨 解析 温馨提醒 2 2014 北京改编 已知圆c x 3 2 y 4 2 1和两点a m 0 b m 0 m 0 若圆c上存在点p 使得 apb 90 则m的最大值为 根据题意 画出示意图 如图所示 则圆心c的坐标为 3 4 半径r 1 且ab 2m 因为 apb 90 连结op 思维点拨 解析 温馨提醒 2 2014 北京改编 已知圆c x 3 2 y 4 2 1和两点a m 0 b m 0 m 0 若圆c上存在点p 使得 apb 90 则m的最大值为 要求m的最大值 即求圆c上的点p到原点o的最大距离 思维点拨 解析 温馨提醒 2 2014 北京改编 已知圆c x 3 2 y 4 2 1和两点a m 0 b m 0 m 0 若圆c上存在点p 使得 apb 90 则m的最大值为 所以opmax oc r 6 即m的最大值为6 思维点拨 解析 温馨提醒 6 2 2014 北京改编 已知圆c x 3 2 y 4 2 1和两点a m 0 b m 0 m 0 若圆c上存在点p 使得 apb 90 则m的最大值为 与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度 面积的最值 求点到直线的距离的最值 求相关参数的最值等方面 解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化 思维点拨 解析 温馨提醒 6 2 2014 北京改编 已知圆c x 3 2 y 4 2 1和两点a m 0 b m 0 m 0 若圆c上存在点p 使得 apb 90 则m的最大值为 如 2 中 将参数范围转化为了两圆位置关系问题 熟练掌握圆的几何性质是解决问题的根本 思维点拨 解析 温馨提醒 6 2 2014 北京改编 已知圆c x 3 2 y 4 2 1和两点a m 0 b m 0 m 0 若圆c上存在点p 使得 apb 90 则m的最大值为 二 圆与不等式的交汇问题典例 3 设m n r 若直线 m 1 x n 1 y 2 0与圆 x 1 2 y 1 2 1相切 则m n的取值范围是 思维点拨 解析 温馨提醒 圆与不等式的交汇实质上反映了圆的独特性质 即圆内点 圆外点的性质 直线与圆相交 相离的性质 圆与圆的相交 相离的性质等 这些问题反映在代数上就是不等式的形式 思维点拨 解析 温馨提醒 根据圆心到直线的距离是1得到m n的关系 再用基本不等式求解 思维点拨 解析 温馨提醒 直线与圆位置关系的考查 一般是已知位置关系求参数值 基本不等式的考查 一般是给出参数关系 利用基本不等式求最值或范围 而典例 3 却以直线与圆的位置关系给出参数之间的数量关系 利用基本不等式转化 结合换元法把关系转化为一元二次不等式 从而求得m n的取值范围 这一交汇命题新颖独特 考查知识全面 难度中等 需要注意各知识点应熟练掌握才能逐一化解 思维点拨 解析 温馨提醒 思维点拨 解析 温馨提醒 圆与不等式的交汇实质上反映了圆的独特性质 即圆内点 圆外点的性质 直线与圆相交 相离的性质 圆与圆的相交 相离的性质等 这些问题反映在代数上就是不等式的形式 思维点拨 解析 温馨提醒 思维点拨 解析 温馨提醒 思维点拨 解析 温馨提醒 直线与圆位置关系的考查 一般是已知位置关系求参数值 基本不等式的考查 一般是给出参数关系 利用基本不等式求最值或范围 思维点拨 解析 温馨提醒 方法与技巧 1 直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合 代数法 与 几何法 是从不同的方面和思路来判断的 2 求过一点的圆的切线方程时 首先要判断此点是否在圆上 然后设出切线方程 注意 斜率不存在的情形 方法与技巧 3 圆的弦长的常用求法 失误与防范 1 求圆的弦长问题 注意应用圆的性质解题 即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质 可以用勾股定理或斜率之积为 1列方程来简化运算 2 过圆上一点作圆的切线有且只有一条 过圆外一点作圆的切线有且只有两条 若仅求得一条 除了考虑运算过程是否正确外 还要考虑斜率不存在的情况 以防漏解 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 1 2014 湖南改编 若圆c1 x2 y2 1与圆c2 x2 y2 6x 8y m 0外切 则m 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 解析圆c2的标准方程为 x 3 2 y 4 2 25 m 又圆c1 x2 y2 1 c1c2 5 9 2 2013 福建改编 已知直线l过圆x2 y 3 2 4的圆心 且与直线x y 1 0垂直 则l的方程是 3 4 5 6 7 8 9 1 10 2 解析圆x2 y 3 2 4的圆心为点 0 3 又因为直线l与直线x y 1 0垂直 所以直线l的斜率k 1 由点斜式得直线l y 3 x 0 化简得x y 3 0 x y 3 0 3 若圆c1 x2 y2 2ax a2 9 0 a r 与圆c2 x2 y2 2by b2 1 0 b r 内切 则ab的最大值为 2 4 5 6 7 8 9 1 10 3 解析圆c1 x2 y2 2ax a2 9 0 a r 化为 x a 2 y2 9 圆心坐标为 a 0 半径为3 圆c2 x2 y2 2by b2 1 0 b r 化为x2 y b 2 1 圆心坐标为 0 b 半径为1 圆c1 x2 y2 2ax a2 9 0 a r 与圆c2 x2 y2 2by b2 1 0 b r 内切 2 4 5 6 7 8 9 1 10 3 ab的最大值为2 答案2 4 2013 山东改编 过点p 3 1 作圆c x 1 2 y2 1的两条切线 切点分别为a b 则直线ab的方程为 2 3 5 6 7 8 9 1 10 4 直线ab的方程为y 1 2 x 1 即2x y 3 0 解析如图所示 由题意知 2x y 3 0 2 3 4 6 7 8 9 1 10 5 解析设a x1 y1 b x2 y2 将y kx b代入x2 y2 1得 1 k2 x2 2kbx b2 1 0 2 3 4 6 7 8 9 1 10 5 答案1 2 3 4 5 7 8 9 1 10 6 如图中实线所示 2 3 4 5 7 8 9 1 10 6 2 3 4 5 6 8 9 1 10 7 是以原点为圆心 2为半径的圆 2 3 4 5 6 8 9 1 10 7 说明a是pq的中点 q的横坐标x 6 答案 2 3 2 3 4 5 6 7 9 1 10 8 解析方程x2 y2 2ay 6 0与x2 y2 4 1 2 3 4 5 6 7 8 1 10 9 1 求证 oab的面积为定值 2 3 4 5 6 7 8 1 10 9 令y 0 得x1 0 x2 2t 即 oab的面积为定值 2 设直线y 2x 4与圆c交于点m n 若om on 求圆c的方程 2 3 4 5 6 7 8 1 10 9 解 om on cm cn oc垂直平分线段mn 2 3 4 5 6 7 8 1 10 9 圆c与直线y 2x 4相交于两点 圆c与直线y 2x 4不相交 t 2不符合题意 舍去 圆c的方程为 x 2 2 y 1 2 5 2 3 4 5 6 7 8 1 10 9 10 已知矩形abcd的对角线交于点p 2 0 边ab所在直线的方程为x 3y 6 0 点 1 1 在边ad所在的直线上 1 求矩形abcd的外接圆的方程 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 解 lab x 3y 6 0且ad ab 点 1