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第12课时导数与函数的最值及在实际生活中的应用 2014高考导航 本节目录 教材回顾夯实双基 考点探究讲练互动 名师讲坛精彩呈现 知能演练轻松闯关 基础梳理1 函数的最值假设函数y f x 在闭区间 a b 上的图象是一条 的曲线 则该函数在 a b 上一定能够取得 与 若函数在 a b 内是 的 该函数的最值必在 处取得 连续不间断 最大值 最小值 可导 极值点或区间端点 2 解决优化问题的基本思路 课前热身1 函数f x 12x x3在区间 3 3 上的最小值是 a 9b 16c 12d 11解析 选b 由f x 12 3x2 0 得x 2或x 2 又f 3 9 f 2 16 f 2 16 f 3 9 函数f x 在 3 3 上的最小值为 16 4 函数f x x ex在区间 0 1 上的最小值为 解析 f x 1 ex 函数f x 在区间 0 1 单调递减 最小值为f 1 1 e 答案 1 e5 函数f x x3 3ax a在 0 1 内有最小值 则a的取值范围是 解析 y 3x2 3a 令y 0 可得a x2 又 x 0 1 0 a 1 答案 0 1 规律小结 求函数y f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤如下 1 求函数y f x 在 a b 内的极值 2 将函数y f x 的各极值与端点处的函数值f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 规律小结 对于类似本题中不等式证明而言 我们可以从所证不等式的结构和特点出发 结合已有知识 构造一个新的函数 再借助导数确定函数的单调性 利用单调性实现问题的转化 从而使不等式得到证明 用导数方法证明不等式 其步骤一般是 构造可导函数 研究单调性或最值 得出不等关系 整理得出结论 规律小结 利用导数解决生活中的优化问题时 1 既要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示 还要注意确定函数关系式中自变量的定义区间 2 一定要注意求得函数结果的实际意义 不符合实际的值应舍去 3 如果目标函数在定义区间内只有一个极值点 那么根据实际意义该极值点就是最值点 函数的最值与极值的辨析最值是一个整体性概念 是指函数在给定区间 或定义域 内所有函数值中最大的值与最小的值 在求函数的最值时 要注意最值与极值的区别 极值是指某一点附近函数值的比较 因此 同一函数在某一点的极大 小 值 可以比另一点的极小 大 值小 大 而最大 最小值是指闭区间 a b 上所有函数值的比较 因而在一般情况下 两者是有区别的 极大 小 值不一定是最大 小 值 最大 小 值也不一定是极大 小 值 但如果连续函数在区间 a b 内只有一个极值 那么极大值就是最大值 极小值就是最小值 数学思想函数思想在证明不等式中的应用 答案 c 感悟提高 解决该题的方法利用了函数思想 所谓函数思想 是用运动和变化的观点 集合与对应的思想分析和研究具体问题中的数量关系 建立函数关系或构造函数 运用函数的图
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