高三数学一轮复习 第11篇 第4节 直接证明与间接证明、数学归纳法课件 理.ppt

第4节直接证明与间接证明 数学归纳法 编写意图直接证明与间接证明 数学归纳法 是解决数学问题的重要思想方法 在高考中占据重要地位 但在高考中一般不会直接考查 而往往以其他知识为载体作为一种方法考查相关内容 本节围绕高考命题规律进行设点选题 重点突破分析法 综合法 反证法 数学归纳法 解决数学问题的方法 考点突破 规范答题 夯基固本 夯基固本抓主干固双基 1 直接证明 1 综合法定义 利用已知条件和某些数学定义 公理 定理等 经过一系列的推理论证 最后推导出的证明方法 2 分析法定义 从要证明的结论出发 逐步寻求使它成立的充分条件 直至最后 把要证明的结论归结为 已知条件 定理 定义 公理等 为止的证明方法 知识梳理 所要证明的结论成立 判定一个明显成立的条件 质疑探究1 综合法和分析法有什么区别与联系 提示 1 分析法的特点是从 未知 看 需知 逐步靠拢 已知 其逐步推理 实际上是寻求它成立的充分条件 2 综合法的特点是从 已知 看 可知 逐步推向 未知 其逐步推理 实际上是寻找它成立的必要条件 3 分析法易于探索解题思路 综合法易于过程表述 在应用中视具体情况择优选之 2 间接证明 反证法一般地 假设原命题 即在原命题的条件下 结论不成立 经过正确的推理 最后得出矛盾 因此说明 从而证明了 这样的证明方法叫做反证法 不成立 假设错误 原命题成 立 3 数学归纳法一般地 证明一个与正整数n有关的命题 可按下列步骤进行 1 归纳奠基 证明当n取第一个值n0 n0 n 时命题成立 2 归纳递推 假设时命题成立 证明当时命题也成立 只要完成这两个步骤 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立 上述证明方法叫做数学归纳法 n k k n0 k n n k 1 质疑探究1 数学归纳法两个步骤有什么关系 提示 数学归纳法证明中的两个步骤体现了递推思想 第一步是递推的基础 第二步是递推的依据 两个步骤缺一不可 否则就会导致错误 1 第一步中 验算n n0中的n0不一定为1 根据题目要求 有时可为2或3等 2 第二步中 证明n k 1时命题成立的过程中 一定要用到归纳假设 掌握 一凑假设 二凑结论 的技巧 基础自测 1 命题 对于任意角 cos4 sin4 cos2 的证明 cos4 sin4 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 过程应用了 a 分析法 b 综合法 c 综合法 分析法结合使用 d 间接证法解析 在证明过程中使用了大量的公式和结论 有平方差公式 同角的关系式 所以在证明过程中 使用了综合法的证明方法 b 3 用反证法证明命题 若a b n ab可被5整除 那么a b中至少有一个能被5整除 时 假设的内容应该是 a a b都能被5整除 b a b都不能被5整除 c a b不都能被5整除 d a能被5整除解析 至少有一个 的反面应是 一个都没有 故应选b b d 考点突破剖典例找规律 考点一 综合法 反思归纳 1 用综合法证题是从已知条件出发 逐步推向结论 2 在用综合法证明时 注意逻辑表达清晰 因果关系明确 考点二 分析法 证明 m 0 1 m 0 要证原不等式成立 只需证明 a mb 2 1 m a2 mb2 即证m a2 2ab b2 0 即证 a b 2 0 而 a b 2 0显然成立 故原不等式得证 反思归纳 1 分析法的证明思路 先从结论入手 由此逐步推出保证此结论成立的充分条件 而当这些判断恰恰都是已证的命题 定义 公理 定理 法则 公式等 或要证命题的已知条件时命题得证 2 用分析法证明数学问题时 要注意书写格式的规范性 常常用 要证 欲证 即要证 就要证 等分析到一个明显成立的结论p 再说明所要证明的数学问题成立 考点三 反证法 反思归纳 反证法的证题方法步骤 1 反设 假定所要证的结论不成立 而设结论的反面成立 否定结论 2 归谬 将 反设 作为条件 由此出发经过正确的推理 导出矛盾 与已知条件 已知的公理 定义 定理及明显的事实矛盾或自相矛盾 推导矛盾 3 结论 因为推理正确 所以产生矛盾的原因在于 反设 既然原命题结论的反面不成立 从而肯定了原命题成立 命题成立 考点四数学归纳法 1 分析法与综合法相辅相成 对较复杂的问题 常常先从结论进行分析 寻求结论与条件的关系 找到解题思路 再运用综合法证明 或两种方法交叉使用 2 用分析法证明数学问题时 要注意书写格式的规范性 常采用 要证 只需证 已知 的格式 3 利用反证法证明数学问题时 要假设结论错误 并用假