湖北省荆州市沙市第五中学高中数学 生活中的优化问题举例课件 新人教A版选修22.pptVIP

3 4生活中的优化问题举例 生活中经常遇到求利润最大 用料最省 效率最高等问题 这些问题通常称为优化问题 通过前面的学习 知道 导数是求函数最大 小 值的有力工具 本节我们运用导数 解决一些生活中的优化问题 问题1 海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动 通常需要张贴海报进行宣传 现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报 要求版心面积为128dm2 上下边各空2dm 左右空1dm 如何设计海报的尺寸 才能使四周空白面积最小 解 设版心的高为xdm 则宽为 此时四周空白面积为 学校或班级举行活动 通常需要张贴海报进行宣传 现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报 要求版心面积为128dm2 上下边各空2dm 左右空1dm 如何设计海报的尺寸 才能使四周空白面积最小 解 设版心的高为xcm 则宽为 此时四周空白面积为 求导数 有 解得 x 16 x 16舍去 因此 x 16是函数s x 的极小值点 也是最小值点 所以 当版心高为16dm 宽为8dm时 能使四周空白面积最小 答 当版心高为16dm 宽为8dm时 海报四周空白面积最小 练习1 一条长为l的铁丝截成两段 分别弯成两个正方形 要使两个正方形的面积和最小 两段铁丝的长度分别是多少 则两个正方形面积和为 由问题的实际意义可知 问题2 饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗 你是否注意过 市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些 你想从数学上知道它的道理吗 是不是饮料瓶越大 饮料公司的利润越大 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料 瓶子制造成本是0 8 r2分 其中r是瓶子的半径 单位是厘米 已知每出售1ml的饮料 制造商可获利0 2分 且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm 瓶子半径多大时 能使每瓶饮料的利润最大 瓶子半径多大时 每瓶饮料的利润最小 解 由于瓶子的半径为r 所以每瓶饮料的利润为 知识背景 令 解 由于瓶子的半径为r 所以每瓶饮料的利润为 令 因此 当r 2时 f r 0 它表示f r 单调递增 即半径越大 利润越高 当r 2时 f r 0 它表示f r 单调递减 即半径越大 利润越低 1 半径为2时 利润最小 这时f 2 0 表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本 此时利润是负值 2 半径为6时 利润最大 练习2 在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长相等的正方形 再把它的边沿虚线折起 如图 做成一个无盖的方底铁皮箱 箱底边长为多少时 箱子容积最大 最大容积是多少 x h 解设箱底边长为x 则箱高为 箱子容积为 由 解得x1 0 舍 x2 40 x h 解设箱底边长为x 箱子容积为 由 解得x1 0 舍 x2 40 当x 0 40 时 v x 0 当x 40 60 时 v x 0 函数v x 在x 40处取得极大值 这个极大值就是函数v x 的最大值 答当箱箱底边长为40cm时 箱子容积最大 最大值为16000cm3 练习3 某种圆柱形的饮料罐的容积一定时 如何确定它的高与底半径 使得所用材料最省 r h 解设圆柱的高为h 底面半径为r 则表面积为s r 2 rh 2 r2 又v r2h 定值 即h 2r 可以判断s r 只有一个极值点 且是最小值点 答罐高与底的直径相等时 所用材料最省 问题3 如何使一个圆形磁盘储存更多信息 解 存储量 磁道数 每磁道的比特数 设存储区的半径介于r与r之间 由于磁道之间的宽度必须大于m 且最外面的磁道不存储任何信息 所以磁道数最多可达 r r m 由于每条磁道上的比特数相同 为了获得最大的存储量 最内一条磁道必须装满 即每条磁道上的比特数可达到 所以 磁道总存储量为 1 它是一个关于r的二次函数 从函数的解析式可以判断 不是r越小 磁盘的存储量越大