高中数学 2.4.2.1抛物线的简单几何性质课件 新人教A版选修21 .ppt

2 4 2抛物线的简单几何性质第1课时抛物线的简单几何性质 抛物线的简单几何性质 x 0 y r x 0 y r x r y 0 x r y 0 x y o 0 0 1 1 判一判 正确的打 错误的打 1 抛物线是中心对称图形 2 抛物线的范围是x r 3 抛物线是轴对称图形 解析 1 错误 在抛物线方程中 以 x代x y代y 方程发生了变化 故抛物线不是中心对称图形 故此说法错误 2 错误 抛物线的方程不同 其范围就不一样 如y2 2px p 0 的范围是x 0 y r 故此说法错误 3 正确 抛物线y2 2px p 0 的对称轴为x轴 抛物线x2 2py p 0 的对称轴为y轴 故此说法正确 答案 1 2 3 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 顶点在原点 对称轴为y轴且过 4 1 的抛物线方程是 2 已知点 2 3 与抛物线y2 2px p 0 的焦点的距离是5 则p 3 抛物线y 2px2 p 0 的对称轴为 解析 1 由已知可设抛物线的方程为x2 ay 将点 4 1 代入 得a 16 故方程为x2 16y 答案 x2 16y 2 y2 2px p 0 的焦点为由题意得解得p 4或p 12 舍去 答案 4 3 由y 2px2 p 0 得故对称轴为y轴 答案 y轴 要点探究 知识点抛物线的简单几何性质1 抛物线的标准方程与对称性 焦点位置的关系 2 抛物线的图象具有的特征抛物线是轴对称图形 其对称轴为x轴或y轴 只有一个顶点 一个焦点 一条准线 并且离心率为1 3 在标准方程形式下抛物线的性质与椭圆 双曲线的比较 知识拓展 抛物线的通径 微思考 1 影响抛物线开口大小的量是什么 是如何影响的 提示 参数p影响抛物线开口大小 p值越大 抛物线的开口越开阔 p越小 开口越扁狭 2 点p x0 y0 与抛物线y2 2px p 0 的关系有哪些 分别满足什么条件 提示 点p x0 y0 在抛物线y2 2px p 0 内部 y02 2px0 点p x0 y0 在抛物线y2 2px p 0 上 y02 2px0 点p x0 y0 在抛物线y2 2px p 0 外部 y02 2px0 即时练 已知抛物线y2 6x 判断下列点与该抛物线的关系 1 p1 1 2 p2 2 3 3 p3 1 3 解析 将点的坐标分别代入抛物线y2 6x的方程 可知p1在抛物线上 p2在抛物线内部 p3在抛物线外部 题型示范 类型一焦半径和焦点弦问题 典例1 1 2014 石家庄高二检测 过抛物线y2 4x的焦点作直线交抛物线于a x1 y1 b x2 y2 若x1 x2 6 那么 ab 等于 a 10b 8c 6d 4 2 已知抛物线y2 2px p 0 直线l经过其焦点且与x轴垂直 并交抛物线于a b两点 若 ab 10 p为抛物线的准线上一点 则 abp的面积为 a 20b 25c 30d 50 解题探究 1 题 1 过焦点的弦问题一般如何处理 2 题 2 中焦点到准线的距离等于多少 探究提示 1 过焦点的弦问题一般可转化为焦半径问题求解 2 焦点到准线的距离等于p 自主解答 1 选b 由抛物线y2 4x 得p 2 设抛物线的焦点为f 则 ab af fb x1 x2 p 6 2 8 2 选b 因为直线l过抛物线y2 2px p 0 的焦点且与x轴垂直 并且交抛物线于a b两点 则 ab 2p 10 所以p 5 故抛物线的方程为y2 10 x p为抛物线的准线上一点 p到直线ab的距离为p 5 则 abp的面积为 10 5 25 方法技巧 1 抛物线的焦半径 1 抛物线的焦半径是指以抛物线上任意一点与抛物线焦点为端点的线段 2 抛物线的焦半径公式 p x0 y0 为抛物线上一点 f为焦点 若抛物线y2 2px p 0 则 pf 若抛物线y2 2px p 0 则 pf 若抛物线x2 2py p 0 则 pf 若抛物线x2 2py p 0 则 pf 2 过焦点的弦长的求解方法设过抛物线y2 2px p 0 的焦点的弦的端点为a x1 y1 b x2 y2 则 ab x1 x2 p 然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立 消元 由根与系数的关系求出x1 x2即可 变式训练 抛物线的顶点在原点 以x轴为对称轴 经过焦点且倾斜角为135 的直线被抛物线所截得的弦长为8 试求抛物线的方程 解题指南 联立方程组 由过焦点的弦长公式表示出弦长 解方程求出参数值 从而得出抛物线的标准方程 解析 若抛物线开口向右 如图 设抛物线的方程为y2 2px p 0 则直线方程为 设直线交抛物线于a x1 y1 b x2 y2 两点 则由抛物线定义得 ab af fb ac bd 即x1 x2 p 8 又a x1 y1 b x2 y2 是抛物线和直线的交点 由消去y 得所以x1 x2 3p 将其代入 得p 2 所以所求抛物线的方程为y2 4x 当抛物线的开口向左时 同理可求得抛物线的方程为y2 4x 综上 抛物线的方程为y2 4x或y2 4x 补偿训练 ab是过抛物线y2 2px p 0 焦点f的一条弦 且 af 1 bf 求抛物线及直线ab的方程 解题指南 设出a b两点的坐标 根据抛物线定义可分别表示出 af 和 bf 进而可求得 af bf 求得x1 x2的表达式 表示出 af bf 建立等式求得p 则抛物线方程可得 再由 ab 得sin2 从而利用特殊角的三角函数求出直线ab的斜率 由点斜式方程写出直线ab的方程 解析 设a x1 y1 b x2 y2 则 af bf 则 af bf x1 x2 p 所以x1 x2 因为 af bf 所以过焦点的直线斜率存在且不为0 则可设ab的方程为 又因为a b两点是直线ab与抛物线的交点 则所以x1 x2 由 af bf 得即所以抛物线方程为y2 x 设直线ab的倾斜角为 又根据两点间的距离公式得 ab 2 y2 y1 2 x2 x1 2 tan2 1 x2 x1 2 由于直线ab过点设直线ab的方程为与抛物线方程联立得到 tan2 x2 tan2 2 px p2tan2 0 那么 x2 x1 2 x2 x1 2 4x1x2 4p2 tan2 1 那么 ab 2 tan2 1 x2 x1 2 tan2 1 4p2 tan2 1 所以 ab 由 ab 得所以所以 60 或120 得所以直线ab的方程为 类型二抛物线性质的应用 典例2 1 抛物线y2 4x的焦点为f 准线为l 点a是抛物线上一点 且 afo 120 o为坐标原点 ak l 垂足为k 则 akf的面积是 2 已知正三角形aob的一个顶点o位于坐标原点 另外两个顶点a b在抛物线y2 2px p 0 上 求这个三角形的边长 解题探究 1 题 1 由题设条件 要求 akf的面积 只需求出什么 2 题 2 三角形的另两个顶点应满足什么关系 探究提示 1 根据题设条件 要求 akf的面积 只需求出点a的坐标即可 2 根据抛物线的对称性及三角形为正三角形 故a b两点应关于x轴对称 自主解答 1 如图 设a x0 y0 过a作ah x轴于h 在rt afh中 fh x0 1 由 afo 120 得 afh 60 故 所以点a的坐标为将此代入抛物线方程可得3x02 10 x0 3 0 解得x0 3或x0 舍 故s akf 答案 2 如图所示 设正三角形oab的顶点a b在抛物线上 且坐标分别为 x1 y1 x2 y2 y12 2px1 y22 2px2 又因为 oa ob 所以x12 y12 x22 y22 即x12 x22 2px1 2px2 0 所以 x1 x2 x1 x2 2p 0 因为x1 0 x2 0 2p 0 所以x1 x2 2p 0 所以x1 x2 即a b两点关于x轴对称 则 aox 30 所以ab x轴 所以y1 x1tan30 又因为x1 所以y1 而 ab 2y1 即为所求边长 延伸探究 题 2 中若 aob为直角三角形 且 aob 90 判断直线ab是否恒过定点 解析 直线ab恒过定点 2p 0 设由oa ob 故koa kob 1 得 即y1 y2 4p2 所以直线ab的方程为即 将y1 y2 4p2代入上式得故直线ab恒过定点 2p 0 方法技巧 利用抛物线的性质可以解决的问题 1 对称性 解决抛物线的内接三角形问题 2 焦点 准线 解决与抛物线的定义有关的问题 3 范围 解决与抛物线有关的最值问题 4 焦点 解决焦点弦问题 变式训练 已知直线l过坐标原点 抛物线c顶点在原点 焦点在x轴正半轴上 若点a 1 0 和点b 0 8 关于l的对称点都在c上 求直线l和抛物线c的方程 解题指南 先设出抛物线的标准方程和直线l的方程 根据a b 分别是a b关于l的对称点 进而可知a a l 进而可得直线a a的方程 把两直线方程联立求得交点m的坐标 进而根据m为aa 的中点 求得a 点的坐标和b 点的坐标 分别代入抛物线方程求得p的表达式 最后联立求得k 进而求得p 则直线和抛物线的方程可得 解析 依题设抛物线c的方程可写为y2 2px p 0 且x轴和y轴不是所求直线 又l过原点 因而可设l的方程为y kx k 0 设a b 分别是a b关于l的对称点 因而a a l 直线a a的方程为 由 联立解得aa 与l的交点m的坐标为 又m为aa 的中点 从而点a 的横坐标为纵坐标为同理得点b 的横 纵坐标分别为 又a b 均在抛物线y2 2px p 0 上 由 得由此知k 1 即同理由 得即从而整理得k2 k 1 0 解得 但当时 由 知这与点a 在抛物线y2 2px p 0 上矛盾 故舍去所以则直线l的方程为将代入 求得所以直线方程为抛物线方程为 补偿训练 已知a b是抛物线y2 2px p 0 上两点 o为坐标原点 若 oa ob 且 aob的垂心恰是此抛物线的焦点 求直线ab的方程 解析 如图所示 设a x0 y0 由题意可知b x0 y0 又是 aob的垂心 则af ob 所以kaf kob 1 即所以y02 又y02 2px0 所以因此直线ab的方程为 类型三抛物线中的定值与最值问题 典例3 1 2014 太原高二检测 已知抛物线y2 2px p 0 的经过焦点的弦ab的两端点坐标分别为a x1 y1 b x2 y2 则的值一定等于 a 4b 4c p2d p2 2 抛物线y 4x2上一点到直线y 4x 5的距离最短 则该点的坐标是 a 1 b 0 0 c 1 2 d 1 4 解题探究 1 题 1 x1 x2可否用y1y2表示 2 题 2 中抛物线的方程是否是标准方程 抛物线上的任意一点到直线y 4x 5的距离如何表示 探究提示 1 能 由a b在抛物线上 故所以2 已知的方程不是标准形式 可化为可设抛物线上的一点为 x 4x2 则其到直线的距离为 自主解答 1 选b 由抛物线y2 2px p 0 得焦点坐标为设过焦点的弦ab所在直线方程为由消去x得 y2 2pmy p2 0 所以y1 y2 p2 由a x1 y1 b x2 y2 在抛物线上 故所以 2 选a 方法一 设抛物线上点的坐标为 x 4x2 其中x r 由点到直线的距离公式得所以当时 d最小 这时点的坐标为 方法二 设与y 4x 5平行的抛物线y 4x2的切线方程为y 4x m 由得4x2 4x m 0 再由 16 4 4 m 0得m 1 这时切点为切点到y 4x 5的距离最小 方法技巧 抛物线中最值的求解策略 1 可借助于抛物线的有关知识转化为函数的最值求解 但要注意抛物线的范围 2 当条件中有关于抛物线上的点p到焦点f的距离问题一定要考虑抛物线的定义 注意点p到f的距离与点p到准线距离的转化 变式训练 过抛物线y ax2 a 0 的焦点f的直线交抛物线于p q两点 若线段pf与fq的长分别是p q 则等于 解析 选c 抛物线y ax2的标准形式为所以焦点取特殊情形 即直线pq平行于x轴 则p q 如图所示 由于 pf pm 所以故 补偿训练 已知直线l1 4x 3y 6 0和直线l2 x 1 抛物线y2 4x上一动点p到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 解析 选a 直线l2 x 1为抛物线y2 4x的准线 由抛物线的定义知 p到l2的距离等于p到抛物线的焦点f 1 0 的距离 故本题转化为在抛物线y2 4x上找一个点p 使得p到点f 1 0 和直线l1的距离之和最小 最小值为f 1 0 到直线l1 4x 3y 6 0的距离 即dmin 故选择a 规范解答 抛物线的性质在求最值中的应用 典例 12分 已知抛物线x2 4y 点p是抛物线上的动点 点a的坐标为 12 6 求点p到点a的距离与点p到x轴的距离之和的最小值 审题 抓信息 找思路 解题 明步骤 得高分 点题 警误区 促提升失分点1 若在 处求错焦点坐标 导致结果出错 则本例将不得分 失分点2 若 处不明白题意 不能充分利用抛物线的定义对距离进行转化 则会使得下一步无法解答 最多得4分 失分点3 若不能将到x轴距离转化为到焦点距离 处则无法利用图形判断a p f三点共线时 pa pf 取最小值 最多得8分 悟题 提措施 导方向1 定义的应用意识涉及抛物线上点到准线的距离问题 一般考虑用点到焦点的距离进行转化 如