历年平面向量高考试题汇集.doc

安徽省安徽省 20122012 届高考届高考平面向量平面向量热点题型预测热点题型预测 题组题组一一 高考数学选择题分类汇编高考数学选择题分类汇编 1 2011 课标文数广东卷 已知向量 a 1 2 b 1 0 c 3 4 若 为实数 a b c 则 A B C 1 D 2 1 4 1 2 解析 因为 a b 1 2 1 0 1 2 又因为 a b c 1 4 2 3 0 解得 1 2 2 2011 课标理数广东卷 若向量 a b c 满足 a b 且 a c 则 c a 2b A 4 B 3 C 2 D 0 解析 因为 a b 且 a c 所以 b c 所以 c a 2b c a 2b c 0 3 2011 大纲理数四川卷 如图 1 1 正六边形 ABCDEF 中 BA CD EF A 0 B C D BE AD CF 解析 所以选 D BA CD EF BA AF BC BF BC CF 4 2011 大纲文数全国卷 设向量 a b 满足 a b 1 a b 则 a 2b 1 2 A B C D 2357 解析 2 a 2b 2 2 4a b 42 3 则 故选 B a 2b a b a 2b 3 5 2011 课标文数湖北卷 若向量 a 1 2 b 1 1 则 2a b 与 a b 的夹角等于 A B C D 4 6 4 3 4 解析 因为 2a b a b 所以 3 3 设 2a b 与 2 4 1 1 3 3 0 3 2a b 2 a b a b 的夹角为 则 cos 又 所以 2a b a b 2a b a b 3 3 0 3 3 2 3 2 2 0 4 6 2011 课标理数辽宁卷 若 a b c 均为单位向量 且 a b 0 a c b c 0 则 a b c 的最大值为 A 1 B 1 C D 2 22 解析 a b c 由于 a b 0 所以上式 a b c 2a2 b2 c2 2a b 2a c 2b c 又由于 a c b c 0 得 a b c c2 1 所以 a b c 1 故选 B 3 2c a b 3 2c a b 7 2011 课标文数辽宁卷 已知向量 a 2 1 b 1 k a 2a b 0 则 k A 12 B 6 C 6 D 12 解析 a 2a b 2a2 a b 0 即 10 k 2 0 所以 k 12 故选 D 8 2011 大纲理数 1 全国卷 设向量 a b c 满足 a b 1 a b a c b c 60 1 2 则 c 的最大值等于 A 2 B C D 1 32 解析 设向量 a b c 的起点为 O 终点分别为 A B C 由已知条件得 AOB 120 ACB 60 则点 C 在 AOB 的外接圆上 当 OC 经过圆心时 c 最大 在 AOB 中 求得 AB 由 3 正弦定理得 AOB 外接圆的直径是 2 的最大值是 2 故选 A 3 sin120 c 9 2011 课标理数北京卷 已知向量 a 1 b 0 1 c k 若 a 2b 与 c 共线 则 33 k 解析 因为 a 2b 3 由 a 2b 与 c 共线 有 可得 k 1 3 k 3 3 3 10 2011 课标文数湖南卷 设向量 a b 满足 a 2 b 2 1 且 a 与 b 的方向相反 则 a 的坐标为 5 解析 因为 a 与 b 的方向相反 根据共线向量定义有 a b 0 所以 a 2 由 2 得 2 2 或 2 舍去 故 a 4 2 a 5 2 2 25 11 2011 课标理数天津卷 已知直角梯形 ABCD 中 AD BC ADC 90 AD 2 BC 1 P 是腰 DC 上的动点 则 3 的最小值为 PA PB 解析 建立如图 1 6 所示的坐标系 设 DC h 则 A 2 0 B 1 h 设 P 0 y 0 y h 则 2 y 1 h y PA PB 5 PA 3PB 25 3h 4y 225 12 2011 课标理数浙江卷 若平面向量 满足 1 1 且以向量 为邻边的平行四边形的面 积为 则 与 的夹角 的取值范围是 1 2 解析 由题意得 sin 1 1 sin 1 2 1 2 1 2 又 0 6 5 6 13 2011 新课标理数安徽卷 已知向量 a b 满足 a 2b a b 6 且 a 1 b 2 则 a 与 b 的夹角 为 解析 设 a 与 b 的夹角为 依题意有 a 2b a b a2 a b 2b2 7 2cos 6 所以 cos 因 1 2 为 0 故 3 14 2011 课标文数福建卷 若向量 a 1 1 b 1 2 则 a b 等于 解析 由已知 a 1 1 b 1 2 得 a b 1 1 1 2 1 15 2011 课标理数湖南卷 在边长为 1 的正三角形 ABC 中 设 2 3 BC BD CA CE 则 AD BE 解析 由题知 D 为 BC 中点 E 为 CE 三等分点 以 BC 所在的直线为 x 轴 以 AD 所在的直线为 y 轴 建立平面直角坐标系 可得 A D 0 0 B E 故 所以 0 3 2 1 2 0 1 3 3 6 AD 0 3 2 BE 5 6 3 6 AD BE 3 2 3 6 1 4 16 2011 课标理数江西卷 已知 a b 2 a 2b a b 2 则 a 与 b 的夹角为 解析 设 a 与 b 的夹角为 由 a 2b a b 2 得 a 2 a b 2 b 2 4 2 2 cos 2 4 2 解得 cos 1 2 3 17 2011 课标文数江西卷 已知两个单位向量 e1 e2的夹角为 若向量 b1 e1 2e2 b2 3e1 4e2 则 3 b1 b2 解析 e1 e2 1 且 e1 e2 所以 b1 b2 e1 2e2 3e1 4e2 3e 2e1 e2 8e 3 2 8 6 1 22 12 2 1 2 18 2011 课标文数全国卷 已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量 k 为实数 若向量 a b 与向量 ka b 垂直 则 k 解析 由题意 得 a b ka b k 2 a b ka b 2 k k 1 a b 1 a b k 1 1 a b 0 a 与 b 不共线 所以 a b 1 所以 k 1 0 解得 k 1 19 10 安徽文数 设向量 1 0 a 1 1 2 2 b 则下列结论中正确的是 A ab B 2 2 a b C ab D ab 与b垂直 解析 所以与垂直 11 22 ab 0ab b A abb 20 10 重庆文数 若向量 则实数的值为 D 3 am 2 1 b 0a b Am A B C 2 D 6 3 2 3 2 21 10 重庆理数 已知向量 a b 满足 则0 1 2 a bab 2ab A 0 B C 4 D 82 2 解析 2ab 22844 2 222 bbaaba 22 10 湖南文数 若非零向量 a b 满足 则 a 与 b 的夹角为 C 2 0ababb A 300 B 600 C 1200 D 1500 23 10 全国卷理数 ABCV中 点D在AB上 CD平方ACB 若CBa uur CAb uu r 1a 2b 则CD uuu r A 12 33 ab B 21 33 ab C 34 55 ab D 43 55 ab 解析 因为CD平分ACB 由角平分线定理得 ADCA2 DBCB1 所以 D 为 AB 的三等分点 且 22 ADAB CBCA 33 所以 2121 CDCA ADCBCAab 3333 选 B 24 10 辽宁文数 平面上三点不共线 设 则的面积等于 O A B OAa OBb OAB A B 22 2 aba b 22 2 aba b C D 22 2 1 2 aba b 22 2 1 2 aba b 2 2 22 111 sin 1cos 1 222 OAB a b Sa ba ba ba ba b ab 22 2 1 2 aba b 25 10 全国卷 ABC 中 点 D 在边 AB 上 CD 平分 ACB 若 a b 1 CB CA a 2 则 A a b B a b C a b D a bbCD 1 3 2 3 2 3 1 3 3 5 4 5 4 5 3 5 CD 为角平分线 1 2 BDBC ADAC ABCBCAab 222 333 ADABab 2221 3333 CDCAADbabab 26 10 山东理数 定义平面向量之间的一种运算 如下 对任意的 令Aa m n bp q 下面说法错误的是 ab mq np A A 若与共线 则 B a b ab 0 Aab ba AA C 对任意的 有 D R a b A ab A 2222 ab ab a b A 解析 若与共线 则有 故 A 正确 因为 而a b ab mq np 0 Abapn qm A 所以有 故选项 B 错误 故选 B ab mq np Aabba AA 27 10 四川理数 设点 M 是线段 BC 的中点 点 A 在直线 BC 外 则 2 16 BCABACABAC AM A 8 B 4 C 2 D 1w w w k s5 u c o m 解析 由 16 得 BC 4 4 2 BC ABACABACBC 而 故2ABACAM AM 28 10 天津文数 如图 在 ABC 中 3BC BD 则 ADAB 1AD AC AD A B C D 2 3 3 2 3 3 3 cos cos sinACADACADDACACDACACBAC sinB3BC 29 10 广东文数 w 若向量 1 1 2 5 3 x 满足条件 8 30 则 C a b c a b c x A 6 B 5 C 4 D 3 30 10 四川文数 设点是线段的中点 点在直线外 MBCABC 2 16BC 则 A 8 B 4 C 2 D 1ABACABAC AM 解析 由 16 得 BC 4w w w k s5 u c o m 2 BC 4 而故2ABACABACBC ABACAM AM 31 10 湖南理数 在中 90 AC 4 则等于Rt ABC C AB AC uu u r uuu r A 16 B 8 C 8 D 16 32 10 湖北理数 已知和点 M 满足 若存在实数 m 使得ABC 0MA MB MC 成立 则 m A 2 B 3 C 4 D 5AB ACAMm 33 09 广东卷文 已知平面向量 a 1x b 2 x x 则向量 ab A 平行于x轴 B 平行于第一 三象限的角平分线 C 平行于y轴 D 平行于第二 四象限的角平分线 解析 ab 2 0 1 x 由 2 10 x 及向量的性质可知 C 正确 34 09 广东卷 理 一质点受到平面上的三个力 123 F F F 单位 牛顿 的作用而处于平衡状态 已知 1 F 2 F成 0 60角 且 1 F 2 F的大小分别为 2 和 4 则 3 F的大小为 A 6 B 2 C 2 5 D 2 7 解析 28 60180cos 2 00 21 2 2 2 1 2 3 FFFFF 所以72 3 F 选 D 35 09 浙江卷理 设向量a b满足 3 a 4 b 0 a b 以a b ab的模为边长构 成三角形 则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 w w w k s 5 u c o A 3 B 4 C 5 D 6 解析 对于半径为 1 的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆 此时只有三个交点 对于圆的位置稍一 右移或其他的变化 能实现 4 个交点的情况 但 5 个以上的交点不能实现 36 09 浙江卷文 已知向量 1 2 a 2 3 b 若向量c满足 cab cab 则c A 7 7 9 3 B 77 39 C 7 7 3 9 D 77 93 解析 不妨设 Cm n 则 1 2 3 1 acmnab 对于 cab 则有 3 1 2 2 mn 又 cab 则有30mn 则有 77 93 mn 37 09 北京卷文 已知向量 1 0 0 1 abckab kR dab 如果 cd 那 A 1k 且c与d同向 B 1k 且c与d反向 C 1k 且c与d同向 D 1k 且c与d反向 a 1 0 b 0 1 若1k 则 c a b 1 1 d a b 1 1 显然 a 与 b 不平行 排除 A B 若1k 则 c a b 1 1 d a b 1 1 即 c d 且 c 与 d 反向 排除 C 故选 D 38 09 山东卷理 设 P 是 ABC 所在平面内的一点 2BCBABP 则 A 0PAPB B 0PCPA C 0PBPC D 0PAPBPC 解析 因为2BCBABP 所以点 P 为线段 AC 的中点 所以应该选 B 39 09 全国卷 文 已知向量 a 2 1 a b 10 a b 5 2 则 b A 5 B 10 C 5 D 25 解析 本题考查平面向量数量积运算和性质 由5 2ab 知 a b 2 a2 b2 2ab 50 得 b 5 选 C 40 09 全国卷 理 设a b c是单位向量 且a b 0 则 acbc 的最小值为 D A 2 B 22 C 1 D 12 解 a b c 是单位向量 2 acbca bab cc AA 12cos 121 abcab c A故选 D 41 09 湖北卷理 已知 1 0 0 1 1 1 1 1 Pa ammR Qb bnnR 是 两个向量集合 则PQ I A 1 1 B 1 1 C 1 0 D 0 1 解析 因为 1 1 1 ambnn 代入选项可得 1 1PQ 故选 A 42 09 全国卷 理 已知向量 2 1 10 5 2aa bab 则 b E F D C B A A 5 B 10 C 5 D 25 解 2222 50 2 520 abaa bbb A 5b 故选 C 43 09 辽宁卷文 平面向量 a 与 b 的夹角为 0 60 2 0 a 1b 则2ab A 3 B 2 3 C 4 D 12 解析 由已知 a 2 a 2b 2 a2 4a b 4b2 4 4 2 1 cos60 4 12 2ab 2 3 44 09 宁夏海南卷理 已知 O N P 在ABC 所在平面内 且 0OAOBOC NANBNC 且PA PBPB PCPCPA 则点 O N P 依次是ABC 的 A 重心 外心 垂心 B 重心 外心 内心 C 外心 重心 垂心 D 外心 重心 内心 0OAOBOCOABCNANBNCOABC 由知为的外心 由知 为的重心 00 PA PBPB PCPAPCPBCA PBCAPB APBCPC 同理 为ABC 的垂心 选 45 09 湖北卷文 若向量 a 1 1 b 1 1 c 4 2 则 c B A 3a b B 3a b C a 3b D a 3b 46 09 湖南卷文 如图 1 D E F 分别是 ABC 的边 AB BC CA 的中点 则 A A 0ADBECF B 0BDCFDF C 0ADCECF D 0BDBEFC 解 ADDBADBEDBBEDEFC 得0ADBECF 故选 A 或0ADBECFADDFCFAFCF 47 09 全国卷 文 设非零向量a b c满足cbacba 则 ba A 150 B 120 C 60 D 30 解析 本小题考查向量的几何运算 考查数形结合的思想 基础题 解 由向量加法的平行四边形法则 知a b可构成菱形的两条相邻边 且a b为起点处的对角线长等 于菱形的边长 故选择 B 48 09 陕西卷文 在ABC 中 M 是 BC 的中点 AM 1 点 P 在 AM 上且满足学2PAPM 则科网 PAPBPC 等于 A 4 9 B 4 3 C 4 3 D 4 9 解析 由2APPM 知 p为ABC 的重心 根据向量的加法 2PBPCPM 则 APPBPC 2 14 2 2cos021 3 39 AP PMAP PM 49 09 宁夏海南卷文 已知 3 2 1 0ab 向量ab 与2ab 垂直 则实数 的值 为 A 1 7 B 1 7 C 1 6 D 1 6 解析 向量ab 3 1 2 2ab 1 2 因为两个向量垂直 故有 3 1 2 1 2 0 即 3 1 4 0 解得 1 7 故选 A 50 09 福建卷文 设 a b c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量 且满足 a与 b不共线 a c a c 则 b c 的值一定等于 A 以 a b为邻边的平行四边形的面积 B 以 b c为两边的三角形面积 C a b为两边的三角形面积 D 以 b c为邻边的平行四边形的面积 解析 假设 a与 b的夹角为 b c b c cos b a cos 90 0 b a sin 即为以 a b为邻边的平行四边形的面积 故选 A 51 09 重庆卷理 已知1 6 2 Aaba ba 则向量a与向量b的夹角是 A 6 B 4 C 3 D 2 解析 因为由条件得 22 2 23cos1 6 cos a baa baa b 所以 1 cos 23 所以 所以 52 09 重庆卷文 已知向量 1 1 2 x ab若a b与 4b2a平行 则实数x的值是 A 2B 0C 1D 2 解法 1 因为 1 1 2 abx 所以 3 1 42 6 42 abxbax 由于ab 与 AB C D E F 42ba 平行 得6 1 3 42 0 xx 解得2x 53 09 安徽卷理 给定两个长度为 1 的平面向量OA 和OB 它们的夹角为120o 如图所示 点 C 在以 O 为圆心的圆弧AB 上变动 若 OCxOAyOB 其中 x yR 则xy 的最大值是 解析 设AOC OC OAxOA OAyOB OA OC OBxOA OByOB OB 即 0 1 cos 2 1 cos 120 2 xy xy 0 2 coscos 120 cos3sin2sin 2 6 xy 54 09 安徽卷理 在平行四边形 ABCD 中 E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点 若 AC AE 其中 R 则 AF 11 22 ACABAD AEADAB AFABAD 33 22 AEAFABADAC 2 3 ACAEAF 4 3 55 09 湖南卷文 如图 2 两块斜边长相等的直角三角板拼在一起 若ADxAByAC 则 x y 解析 作DFAB 设12ABACBCDE 60DEB 6 2 BD 由45DBF 解得 623 222 DFBF 故 3 1 2 x 3 2 y 56 09 天津卷文 若等边 的边长为 平面内一点满足ABC 2 3M 则 12 63 CMCBCA MA MB 解法二 延长交于 则由得AMBCFAMEAFC ME D C B A 及 知 1 3 MEAE FCAC 1 6 CDCB 1 2 CFCB 所以 为的中点 因为等边的边长为 FBCABC 2 3 所以 3AF 1 1 2 3 AMAFMF 7BM 2 cos 7 MF AMB BF 2 cos172 7 MA MBMAMBAMB 解法三 由解法二知为的中点 FBC3AF 以为坐标原点 所在直线为坐标轴建立直角坐标系 则F BC FA 0 2 0 3 3 0MAB 0 1 3 2MAMB 则 0 13 22MA MB 57 08 湖北卷文 设 D E F 分别是 ABC 的三边 BC CA AB 上的点 且2 DCBD 2 CEEA 2 AFFB 则ADBECF 与BC A A 反向平行B 同向平行C 互相垂直D 既不平行也不垂直 由定比分点的向量式得 212 1233 ACAB ADACAB 以上三式相加得所以选 A 12 33 BEBCBA 12 33 CFCACB 1 3 ADBECFBC 58 08 广东卷文 在平行四边形ABCD中 AC与BD交于点OE 是线段OD的中点 AE的延 长线与CD交于点F 若AC a BD b 则AF B A 11 42 ab B 21 33 ab C 11 24 ab D 12 33 ab 59 09 浙江卷 已知a b 是平面内两个互相垂直的单位向量 若向量c满足0 cbca 则 c的最大值是 C A 1 B 2 C 2 D 2 2 60 07 湖北卷 设 4 3 a a在b上的投影为 5 2 2 b在x轴上的投影为 2 且 14 b 则 b B y x F M E D C B A A 214 B 2 2 7 C 2 2 7 D 2 8 61 07 天津卷 设两个向量 22 2cos a和sin 2 m m b 其中m 为 实数 若2 ab 则 m 的取值范围是 6 1 4 8 6 1 1 6 62 06 四川卷 如图 已知正六边形 下列向量的数量积中最大的是 A 123456 PP PP PP A B 1213 PP PP 1214 PP PP C D 1215 PP PP 1216 PP PP 63 09 广东卷文 已知向量 2 sin a与 c