梅内劳斯定理与三道中考题.doc

梅内劳斯定理与三道中考题数理天地初中版中考数学高分之路2010年第12期格内劳斯定理臼量迫0固围邹守文(安徽省南陵县金都花园南区B52204241300)梅内劳斯(Menelaus)定理ABC的项点,并且与ABC的三边BC,CA,AB或它们的延长线分别交于点P,Q,R,则BP?啬?篙一1.证明设h,h,h分别是A,B,C到直线z的距离,则BPCQARhh,PCQARBhh例1如图2,ABC中,ACB一90.半径为l的圆A与边AB相交于点D,与边相交于点E,连接DE并延长,与线段BC的延长线交于点P.(1)当B一30.时,连接若直线Z不经过(2)若CE一2,BDBC,求BPD的正图1h.1.一.图2CAP,若AEP与BDP相似,求CE的长;P切值;(3)若tanBPD一,设CEz,ABC的周长为Y,求Y关于z的函数关系式.(2010年上海)本题的解法多种多样,但都离不开梅内劳斯(Menelaus)定理的影子,而且是其基本图形.解(1)略.(2)因为CE一2,AEAD=1,设BDBC一-z,ACB一90.,由勾股定理得AB一AC.+BC,即(z+1)一z+3.,解得Lz一4,所以BDBC=4.因为ABC被直线DEP所截,由Menelaus定理有BP?一1,所以将抛物线1z.向左平移个单位时,AC+CB最短,此时其解析式为一丢(+萼).左右平移抛物线Y一8.|2一,zD2一,/?4/妻.z,因为线段AB和CD的长厶是定值,所以要使四边形ABCD的周长最短,只要使AD+CB最短.方案一:如果将抛物线向右平移,显然有AD+CB>AD+CB,因此不存在某个位置,使四边形ABCD的周长最短.方案二:设抛物线向左平移了b个单位,则A(一4一b,8),B(2一b,2).因为CD=2,所以将点B向左平移2个单位得(一6,2),要使AD十CB最短,只要使AD+DB最短.由于点A关于2C轴对称点为?24?A(一4一b,一8),直线AB的解析式为一5z十6+2.z十D十z?要使AD+DB最短,点D(一4,O)应在直线A,B上,于是b一16.故将抛物线向左平移时,存在某个位置使四边形ABCD的周长最短,.|2一一-2-202一j/一4,/此时抛物线的函数解析式为Y一寺(.2C+).厶,U注解题的关键是将几何图形中的变量化归成经典作图题,从而达成预设目标.综上,许多中考题都与一些经典题存在着众多的关系,它们可以在课本中找到原型.因此,在平时的学习中要认真研究课本习题,充分利用基本题型进行拓展与延伸,那么你从中获得的不仅是数学解题能力的提升,更是数学思维能力的提高.2010年第12期中考数学高分之路数理天地初中版因为一2,一3,AD一1,DB一4,所以4+CP2x丢一1,解得CP一4,所以tanBPD一CE1.(3)因为tanBPD一1,CEz,所以PC一3,由(2),知BP?CE?丽ADl,于是BP:BC+3x,所以BC3x?午-面11,则BC+3x:3BD,BC一3BD一3x.设BDa,则BC一3(n一-z),AB=1+a,在ABC中由勾股定理得AC+BC一AB.,即(+1)+9(口一)一(口+1),化简得(nz)(4a一5x一1)一0.因为a>-z,所以4.一5z+1,一,所以AB一1+口一1+,5x+13x+3BC3一a一3x一3一3x一,所以YAB+BC+AC一1+1+z一3x+3(_z>0).例2已知线段OAJ_OB,点C为OB中点,D为线段0A上一点.连接AC,BD交于点P.(1)如图3,当OAOB,且BD0D为OA中点时,求AP的值;图3(2)当OAOB,且一1时,求tanLBPC的值.(3)当AD:AO:OB:=:1:2时,直接写出tanLBPC的值.(2010年武汉)解(1)因为AC0被直线BD所截,所以由Menelaus定理有CBODAPBO一因为点C为OB中点,所以CB一丢B0.又因为D为OA中点,所以019一AD,11一(2)如图4,延长AC至点H,使CHCA,连接BH.因为C为OB中点,所以BCH0A,所以CBH一090.,BHOA.AP.P-d.因为ABOD被直线BPD所截,图4所以BC?OA?两DP一1.因为点C为OB中点,所以BC一,又因为AD一1,所以两DP一1.设ADt,则OD一3t,OBOA一4t,所以BD一5t,DP=t,PB一4t,所以BPBH一4t,BC一2t,所以BPC一H.于是tanBPc=tanH一器一丢.(3)tanBPC一.例3如图7,已知ABC,延长BC到D,使CDBC.取AB的中点F,连接FD交AC于点E.(1)求的值;图7D(2)若AB一口,FBEC,求AC的长.(20O9年山东潍坊)解(1)因为AABC被直线DEF所截,由Menelaus