高考数学大一轮总复习 第7篇 第5节 直线、平面垂直关系的判定与性质课件 文 新人教A版.ppt

第5节直线 平面垂直关系的判定与性质 基础梳理 1 直线与平面垂直 1 直线与平面垂直的定义如果直线l与平面 内的一条直线都垂直 我们就说直线l与平面 互相垂直 任意 2 直线与平面垂直的判定定理 两条相 交直线 3 直线与平面垂直的性质定理 平行 a b 质疑探究1 若一条直线a垂直于平面 内的无数条直线 则a 吗 提示 当这无数条直线平行时 不一定有a 2 直线与平面所成的角 1 定义平面的一条斜线和它在平面上的 所成的 叫做这条直线和这个平面所成的角 如图 就是斜线ap与平面 所成的角 2 线面角 的范围 射影 锐角 pao 3 二面角 平面与平面垂直 1 二面角 二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱 两个半平面叫做二面角的面 如图 记作 二面角 l 或二面角 ab 或二面角pabq 二面角的平面角 在二面角 l 的棱l上任取一点o 以点o为垂足 在半平面 和 内分别作 棱l的射线oa和ob 则射线oa和ob构成的 aob叫做二面角的平面角 垂直于 2 平面与平面的垂直 定义 一般地 两个平面相交 如果它们所成的二面角是 就说这两个平面互相垂直 平面与平面垂直的判定定理 直二面角 平面与平面垂直的性质定理 垂直 质疑探究2 若 则 内的任意直线都与 垂直吗 提示 不一定 平面 内只有垂直于交线的直线才与 垂直 1 2014北京海淀区期末 在空间 下列命题正确的是 a 平行直线在同一平面内的射影平行或重合b 垂直于同一平面的两条直线平行c 垂直于同一平面的两个平面平行d 平行于同一直线的两个平面平行 解析 选项a中两直线的射影也可能是两个点 选项a不正确 选项c d中两个平面也可能相交 即选项c d均不正确 由线面垂直的性质定理知选项b正确 故选b 答案 b 2 已知直线a 平面 b 则a与b的位置关系是 a 平行b 垂直c 异面d 以上都有可能解析 因为b 则b一定平行于平面 内的某一条直线c 又a 所以a c 又b c 所以a b 故选b 答案 b 3 2014山东烟台市模拟 设m n是两条不同的直线 是两个不同的平面 给出下列条件 能得到m 的是 a m b m c m n n d m n n 解析 选项a中m垂直于 的交线时才有m 选项b中 时才有m 选项c中m可能与 平行 相交 也可能在 内 当m n n 时 可得m 故选d 答案 d 4 如图所示 四棱锥s abcd的底面为正方形 sd 平面abcd sd ad 则sc与平面sda所成的角为 解析 由题意可得dc 平面sda 则 csd是sc与平面sda所成的角 又sd ad dc 则 csd 45 答案 45 考点突破 直线与平面垂直的判定与性质 思维导引 1 只需证明bd与平面pac内的两条相交直线垂直 2 先确定dg与平面pac所成的角 然后通过解直角三角形求角 3 由线面垂直可得线线垂直 从而得直角三角形 在该直角三角形中求解 解析 1 证明 设点o为ac bd的交点 由ab bc ad cd 得bd是线段ac的中垂线 所以o为ac的中点 bd ac 又因为pa 平面abcd bd 平面abcd 所以pa bd 所以bd 平面apc 1 证明线面垂直的主要方法是线面垂直的判定定理 有时还可用以下结论 两平行线中的一条与平面垂直 则另一条也与这个平面垂直 一条直线垂直于两平行平面的一个 则与另一个也垂直 2 已知线面垂直 可以得到线与平面内任意直线都垂直 即时突破1 2014石家庄二模 如图所示 在多面体abcdef中 四边形abcd为菱形 abc 60 ec 平面abcd fa 平面abcd g为bf的中点 若eg 平面abcd 1 求证 eg 平面abf 2 若af ab 2 求多面体abcdef的体积 1 证明 取ab的中点m 连接gm mc g为bf中点 gm fa ec 平面abcd fa 平面abcd ec fa ec gm 平面cegm 平面abcd cm eg 平面abcd eg cm 连接ac 在正三角形abc中 cm ab 又fa cm eg ab eg fa eg 平面abf 例2 2013年高考北京卷 如图 在四棱锥p abcd中 ab cd ab ad cd 2ab 平面pad 底面abcd pa ad e和f分别是cd和pc的中点 求证 1 pa 底面abcd 2 be 平面pad 3 平面bef 平面pcd 平面与平面垂直的判定与性质 思维导引 1 利用面面垂直的性质定理证线面垂直 2 证明be平行于平面pad内的一条直线可得be 平面pad 3 证明平面pcd内的直线cd与平面bef垂直 可得两平面垂直 证明 1 因为平面pad 底面abcd 且pa垂直于这两个平面的交线ad 所以pa 底面abcd 2 因为ab cd cd 2ab e为cd的中点 所以ab de 且ab de 所以四边形abed为平行四边形 所以be ad 又因为be 平面pad ad 平面pad 所以be 平面pad 3 因为ab ad 而且四边形abed为平行四边形 所以be cd ad cd 由 1 知pa 底面abcd 所以pa cd 又ad pa a 所以cd 平面pad 所以cd pd 因为e和f分别是cd和pc的中点 所以pd ef 所以cd ef 又ef be e 所以cd 平面bef 又cd 平面pcd 所以平面bef 平面pcd 1 判定面面垂直的方法 面面垂直的定义 作两平面构成二面角的平面角 计算其为90 面面垂直的判定定理 a a 2 三种垂直关系的转化 3 面面垂直性质的应用 两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据 运用时要注意 平面内的直线 两个相交平面同时垂直于第三个平面 它们的交线也垂直于第三个平面 1 证明 平面bdc1 平面bdc 2 平面bdc1分此棱柱为两部分 求这两部分体积的比 1 证明 由题设知bc cc1 bc ac cc1 ac c 所以bc 平面acc1a1 又dc1 平面acc1a1 所以dc1 bc 由题设知 a1dc1 adc 45 所以 cdc1 90 即dc1 dc 又dc bc c 所以dc1 平面bdc 又dc1 平面bdc1 故平面bdc1 平面bdc 空间角的求法 思维导引 1 pad即是异面直线所成的角 2 证明ad 平面pdc 3 过点p作平面abcd的垂线 垂足设为点e 解直角三角形peb 2 证明 由于底面abcd是矩形 故ad cd 又由于ad pd cd pd d 所以ad 平面pdc 而ad 平面abcd 所以平面pdc 平面abcd 解决直线与平面所成角的问题 关键是找出斜线在平面上的射影 将直线与平面所成的角转化成线线所成的角 然后在直角三角形中解出所求角的大小 解 1 由题设知 ac bd 又pd 平面abcd ac 平面abcd 所以ac pd 而pd bd d 所以ac 平面pdb 又ac 平面aec 所以平面aec 平面pd