内蒙古赤峰市2018_2019学年高一数学下学期期末考试试题理（含解析）.docx

内蒙古赤峰市2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题 理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则的真子集的个数为（ ）A. 3B. 4C. 7D. 8【答案】A【解析】【分析】先求出的交集，再依据求真子集个数公式求出，也可列举求出。【详解】，所以的真子集的个数为，故选A。【点睛】有限集合的子集个数为个，真子集个数为。2.下列函数中，既是偶函数又在上是单调递减的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先判断各函数奇偶性，再找单调性符合题意的即可。【详解】首先可以判断选项D，不是偶函数，排除；然后，由图像可知，在上不单调，在上单调递增，只有选项C：符合，故选C。【点睛】本题主要考查函数的性质，奇偶性和单调性。3.函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用函数性质以及特殊值即可判断。【详解】依据函数是偶函数，偶函数关于轴对称，排除A，D；又 且 知，选项C符合题意，故选C。【点睛】本题主要考查函数图象及其性质。4.已知，则在方向上的投影为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】在方向上的投影为，选A.5.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】A【解析】【分析】依据立体几何有关定理及结论，逐个判断即可。【详解】A正确：利用“垂直于同一个平面的两条直线平行”及“两条直线有一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面”，若且，则 ，又，所以，A正确；B错误：若，则不一定垂直于平面；C错误：若，则可能垂直于平面，也可能平行于平面，还可能在平面内；D错误：若，则可能在平面内，也可能平行于平面，还可能垂直于平面；【点睛】本题主要考查立体几何中的定理和结论，意在考查学生几何定理掌握熟练程度。6.圆上的一点到直线的最大距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出圆心到直线距离，再加上圆的半径，就是圆上一点到直线的最大距离。【详解】圆心（2,1）到直线的距离是，所以圆上一点到直线最大距离为，故选D。【点睛】本题主要考查圆上一点到直线距离最值的求法，以及点到直线的距离公式。7.中国古代数学名著算法统宗中有这样一个问题：“三百七十里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行数里，请公仔细算相还”.其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问从第几天开始，走的路程少于30里（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】由题意知，本题考查等比数列问题，此人每天的步数构成公比为的等比数列，由求和公式可得首项，进而求得答案。【详解】设第一天的步数为，依题意知此人每天的步数构成公比为的等比数列，所以，解得， 由，解得,故选B。【点睛】本题主要考查学生的数学抽象和数学建模能力。8.在正方体，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】依据异面直线所成角的定义，将直线AB平移，就得到异面直线与所成角，解三角形，即可求出异面直线与所成角的正切值。【详解】如图，将直线AB平移至DC，所以(或其补角)即为异面直线与所成角，在中，设正方体棱长为2，则,，故选C。【点睛】本题主要考查异面直线所成角的求法。9.已知，则下列等式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：相除得，又，所以.选B.【考点定位】指数运算与对数运算.【此处有视频，请去附件查看】10.已知三棱锥中，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A. B. 4C. D. 【答案】B【解析】【分析】依据题中数据，利用勾股定理可判断出从而可得三棱锥各面都为直角三角形，进而可知外接圆的直径，即可求出三棱锥的外接球的表面积【详解】如图，因为 , 又，,从而可得三棱锥各面都为直角三角形，CD是三棱锥的外接球的直径，在中，, 即 ，故选B。【点睛】本题主要考查学生空间想象以及数学建模能力，能够依据条件建立合适模型是解题的关键。11.函数，当上恰好取得5个最大值，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出取最大值时的所有的解，再解不等式，由解的个数决定出的取值范围。【详解】设，所以，解得 ，所以满足的值恰好只有5个， 所以的取值可能为0,1,2,3,4，由 ，故选C。【点睛】本题主要考查正弦函数的最值以及不等式的解法，意在考查学生的数学运算能力。12.在直角中，线段上有一点，线段上有一点，且，若，则（ ）A. 1B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】依照题意采用解析法，建系求出目标向量坐标，用数量积的坐标表示即可求出结果。【详解】如图，以A为原点，AC，AB所在直线分别为轴建系，依题设A(0,0),B(0,2),C(3,0),M(1,0),，由得， ， 解得，所以 ， ， ，故选D。【点睛】本题主要考查解析法在向量中的应用，意在考查学生数形结合的能力。二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.13.已知关于的不等式的解集为，则_【答案】-2【解析】 为方程两根,因此 14._。【答案】【解析】【分析】本题首先可根据同角三角函数关系式化简得出，然后根据两角差的正弦公式化简得出，最后根据二倍角公式以及三角函数诱导公式即可得出结果。【详解】，故答案为【点睛】本题考查根据三角函数相关公式进行化简求值，考查到的公式有、以及，考查化归与转化思想，是中档题。15.若直线L1:y=kx -与L2:2x+3y-6=0的交点M在第一象限,则L1的倾斜角a的取值范围是 . 【答案】【解析】试题分析：联立两直线方程得解得，因两直线的交点在第一象限，得，解得，设直线l的倾斜角为，则，故考点：1.直线与直线交点；2.直线倾斜角与斜率.16.设函数是定义在上的偶函数，且对称轴为，已知当时，则有下列结论：2是函数的周期；函数在上递减，在上递增；函数的最小值是0，最大值是1；当时，.其中所有正确结论的序号是_.【答案】【解析】【分析】依据题意作出函数的图像，通过图像可以判断以下结论是否正确。【详解】作出函数的图像，由图像可知2是函数的周期，函数在上递减，在上递增，函数的最小值是0.5，最大值是1,当时， ，故正确的结论有。【点睛】本题主要考查函数的图像与性质以及数形结合思想，意在考查学生的逻辑推理能力。三、解答题：共6小题，共70分,解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.已知函数.（1）若函数的周期，且满足，求及的递增区间；（2）若，在上的最小值为，求的最小值.【答案】（1），；（2）2.【解析】【分析】（1）由函数的性质知，关于直线对称，又函数的周期，两个条件两个未知数，列两个方程，所以可以求出，进而得到的解析式，求出的递增区间；（2）求出的所有解，再解不等式，即可求出的最小值。【详解】（1），由知，对称轴，又，,由，得，函数递增区间为；（2）由于，在上的最小值为，所以，即，所以，所以.【点睛】本题主要考查三角函数解析式、单调区间以及最值的求法，特别注意用代入法求单调区间时，要考虑复合函数的单调性，以免求错。18.设等差数列满足.（1）求数列通项公式；（2）若成等比数列，求数列的前项和.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）利用等差数列性质先求出的值，进而得到公差，最后写出数列的通项公式；（2）依照题意找出（1）中符合条件的数列，再用等差数列前项和公式求出数列的前项和。【详解】（1）因为等差数列，且，所以所以，又，所以，于是或设等差数列的公差为，则或，的通项公式为：或；（2）因为成等比数列，所以所以数列的前项和.【点睛】本题主要考查等差数列的性质、通项公式的求法以及等差数列前项和公式，注意分类讨论思想的应用。19.在中，角对应的边分别是，且.（1）求角；（2）若，求取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依照条件形式，使用正弦定理化角为边，再用余弦定理求出，从而得出角的值；（2）先利用余弦定理找出的关系，再利用基本不等式放缩，求出的取值范围。详解】（1）由及正弦定理得，由余弦定理得，又，所以（2）由及，得，即所以，所以，当且仅当时，等号成立，又，所以.【点睛】本题主要考查利用正余弦定理解三角形，以及利用基本不等式求等式条件下的取值范围问题，第二问也可以采用正弦定理化边为角，利用“同一法”求出的取值范围。20.已知圆圆心坐标为点为坐标原点，轴、轴被圆截得的弦分别为、.（1）证明：的面积为定值；（2）设直线与圆交于两点，若，求圆的方程.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用几何条件可知，为直角三角形，且圆过原点，所以得知三角形两直角边边长，求得面积；（2）由及原点O在圆上，知OCMN，所以 ,求出 的值，再利用直线与圆的位置关系判断检验，符合题意的解，最后写出圆的方程。【详解】（1）因为轴、轴被圆截得的弦分别为、，所以经过，又为中点，所以，所以，所以的面积为定值.（2）因为直线与圆交于两点，所以的中垂线经过，且过，所以的方程，所以，所以当时，有圆心，半径，所以圆心到直线的距离为，所以直线与圆交于点两点，故成立；当时，有圆心，半径，所以圆心到直线的距离为，所以直线与圆不相交，故（舍去），综上所述，圆的方程为.【点睛】本题通过直线与圆的有关知识，考查学生直观想象和逻辑推理能力。解题注意几何条件的运用可以简化运算。21.如图，已知平面，为矩形，分别为的中点，.（1）求证：平面；（2）求证：面平面；（3）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】(1)利用线面平行的判定定理，寻找面PAD内的一条直线平行于MN，即可证出；（2）先证出一条直线垂直于面PCD，依据第一问结论知，MN也垂直于面PCD，利用面面垂直的判定定理即可证出；（3）依据等积法，即可求出点到平面的距离。【详解】证明：（1）取中点为，连接分别为的中点，是平行四边形，平面，平面，平面证明：（2）因为平面，所以，而, 面PAD，而面 ，所以,由,为的终点，所以由于平面，又由（1）知，平面，平面，平面平面解：（3），则点到平面的距离为（也可构造三棱锥）【点睛】本题主要考查线面平行、面面垂直的判定定理以及等积法求点到面的距离，意在考查学生的直观想象、逻辑推理、数学运算能力。22.定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称函数是上的有界函数，其中称为函数的上界.已知函数.（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围；（3）若，函数在上的上界是，求的解析式.【答案】（1）不是；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）通过判断函数的单调性，求出的值域，进而可判断在上是否为有界函数；（2）利用题中所给定义，列出不等式，换元，转化为恒成立问