高考数学 第四章 第三节平面向量的数量积课件 理.ppt

第三节平面向量的数量积 1 平面向量的数量积 1 数量积的定义已知两个非零向量a和b 它们的夹角为 则向量a与b的数量积是数量 记作a b 即a b 2 向量的投影设 为a与b的夹角 则向量a在b方向上的投影是 向量b在a方向上的投影是 a b cos a b cos a cos b cos 3 数量积的几何意义数量积a b等于 的乘积 a的长度 a 与b在a的方向上的投影 b cos 即时应用 1 已知正三角形abc的边长为1 则 方向上的投影为 2 已知 a 1 b 2 a b 1 则向量a b的夹角 等于 解析 1 方向上的投影为 2 又0 180 60 答案 1 2 60 2 平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量a x1 y1 b x2 y2 为向量a b的夹角 x1x2 y1y2 0 即时应用 1 思考 若a b 0 是否说明向量a和b的夹角为钝角 提示 不一定 也可能是平角 2 已知a 1 1 b 2 4 判断下列命题的真假 请在括号内填 真 或 假 a b 若 为向量a b的夹角 则cos 若a a b 则 1 a b 4a b 18 解析 a b 故 真 真 a b 1 1 2 4 2 1 4 1 a a b 2 1 4 1 2 2 0 1 真 a b 3 3 4a b 4 1 1 2 4 6 0 a b 4a b 3 6 3 0 18 真 答案 真 真 真 真 3 平面向量数量积的运算律 1 交换律 a b b a 2 数乘结合律 a b 3 分配律 a b c a b a b a c a b 即时应用 1 思考 a b c与a b c 相等吗 提示 不一定相等 a b b c均为实数 a b c c a b c a 所以 a b c与a b c 不一定相等 2 若非零向量a b满足 a b 2a b b 0 则a与b的夹角为 解析 设a b的夹角为 2a b b 0 2a b b2 0 2 a b cos b 2 0 又 a b 0 0 180 cos 120 答案 120 热点考向1平面向量数量积的运算 方法点睛 1 平面向量的数量积题目类型及求法 1 已知向量a b的模及夹角 利用公式a b a b cos 求解 2 已知向量a b的坐标 利用数量积的坐标形式求解 2 利用数量积求解长度问题的处理方法 1 a2 a a a 2或 2 a b 3 若a x y 则 a 例1 1 2012 新课标全国卷 已知向量a b的夹角为45 且 a 1 2a b 则 b 2 在边长为1的正三角形abc中 设 3 已知向量a 2 1 b 1 k a 2a b 则 a b a b 规范解答 1 a b的夹角为45 a 1 a b a b cos45 2a b 2 b 答案 2 由题意画出图形如图所示 取基底 结合图形可得 答案 3 2a b 2 2 1 1 k 5 2 k 由a 2a b 得a 2a b 10 2 k 0 k 12 b 1 12 a b a b a2 b2 22 12 1 2 122 140 答案 140 互动探究 若本例 2 题条件改为 若d e分别为边bc ac的中点 又该如何求 解析 d e分别为bc ac的中点 变式备选 在 abcd中 ac为一条对角线 若 2 4 1 3 则 解析 8 答案 8 热点考向2平面向量的垂直问题 方法点睛 两向量垂直的判断方法及应用 1 若a b为非零向量 则a b a b 0 若非零向量a x1 y1 b x2 y2 则a b x1x2 y1y2 0 2 一对向量垂直与向量所在的直线垂直是一致的 向量的线性运算与向量的坐标运算是求解向量问题的两大途径 提醒 向量垂直问题体现了 形 与 数 的相互转化 可用来解决几何中的线线垂直问题 例2 已知a a b a b 若 aob是以o为直角顶点的等腰直角三角形 求向量b 解题指南 设出向量b x y 利用列出方程组 求出b 规范解答 方法一 设向量b x y 则 a b a b 由题意可知 从而有 解得或 所以 方法二 设向量b x y 依题意 则 a b a b 0 a b a b 所以 a b 1 a b 0 所以向量b是与向量a相互垂直的单位向量 即有解得 反思 感悟 坐标表示下的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式 从而可以应用方程思想解决问题 利用向量的坐标运算表示向量的平行与垂直关系 好处在于将向量的几何特征转化为代数特征 运算过程也就代数化 从而降低了思维难度 在进行向量的运算时 若能建立坐标系使用坐标运算 应尽量采用坐标运算 变式训练 在平面直角坐标系xoy中 已知点a 1 2 b 2 3 c 2 1 1 求以线段ab ac为邻边的平行四边形两条对角线的长 2 设实数t满足求t的值 解析 1 由题设知 3 5 1 1 则所以故所求的两条对角线的长分别为 2 由题设知 2 1 3 2t 5 t 由 得 0 即 3 2t 5 t 2 1 0 从而5t 11 所以 热点考向3平面向量的夹角的求法 方法点睛 求向量夹角的方法 1 利用向量数量积的定义 其中两向量夹角的范围为0 180 求解时应求出三个量 a b a b 或者找出这三个量之间的关系 2 利用坐标公式 若a x1 y1 b x2 y2 则 3 三角函数法 可以把这两个向量的夹角放在三角形中 利用正余弦定理 三角形的面积公式等求解 提醒 a b 0 0 0 0 是 为锐角 钝角 的必要而不充分条件 例3 1 若向量a 1 2 b 1 1 则2a b与a b的夹角等于 2 若平面向量满足且以向量为邻边的平行四边形的面积为 则与的夹角 的取值范围是 解题指南 1 先求出2a b a b的坐标 再用夹角的坐标公式求夹角 2 利用平行四边形的面积可得出sin 的范围 进而求出夹角 的范围 规范解答 1 选c 2a b 2 1 2 1 1 3 3 a b 1 2 1 1 0 3 2a b a b 3 0 3 3 9 2a b 3 a b 3 又 0 2 由可得 答案 互动探究 若将本例 1 题干中向量a改为 1 k k 1 且2a b与a b的夹角为锐角 则如何求实数k的取值范围 解析 2a b 3 2k 1 a b 0 k 1 k 1 2a b a b均不是零向量 且夹角为锐角 2a b a b 0 即 2k 1 k 1 0 k 当2a b与a b共线时 3 k 1 2k 1 0 0 k 1又k 1 2a b与a b不共线 故k的取值范围为 k 反思 感悟 求两个向量的夹角时 需求出两向量的数量积 两向量的模之积或者它们之间的倍数关系 再求cos 进而求 要注意 0 变式备选 已知a 2 0 b 0 2 c cos sin o为坐标原点 1 求sin2 的值 2 若 且 0 求的夹角 解析 1 cos sin 2 0 cos 2 sin cos sin 0 2 cos sin 2 cos cos 2 sin sin 2 cos2 2cos sin2 2sin 1 2 sin cos sin cos 1 2sin cos sin2 1 2 2 cos sin 即4 4cos cos2 sin2 7 4cos 2即cos 0 又 设 为的夹角 1 2012 湖南高考 在 abc中 ab 2 ac 3 则bc a b c d 解析 选a 即2 3cosa 5 由余弦定理得bc2 ab2 ac2 2ab ac cosa 22 32 2 2 3 2 2013 福州模拟 已知a 2 3 b 4 7 则a在b方向上的投影为 a b c d 解析 选a 设a与b的夹角为 则 a cos 3 2012 安徽高考 设向量a 1 2m b m 1 1 c