2017年北大附中高考数学三模试卷（理科）（含解析）

2017年北大附中高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1（5分）已知集合，则ABCD2（5分）复数在复平面上对应的点位于虚轴上，则实数的值为A1B2CD3（5分）下列四个函数中，在其定义域内既是奇函数又是单调递增函数的是ABCD4（5分）设等比数列的前项和为则“”是“”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件5（5分）在某校冬季长跑活动中，学校要给获得一二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过200元，已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于，且获得一等奖的人数不能少于2人，那么下列说法中错误的是A最多可以购买4份一等奖奖品B最多可以购买16份二等奖奖品C购买奖品至少要花费100元D共有20种不同的购买奖品方案6（5分）正方体中为棱的中点（如图），用过点，的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为ABCD7（5分）将3个男生和3个女生排成一列，若男生甲与另外两个男同学不相邻，则不同的排法总数有A144B216C252D2888（5分）已知实数序列，满足：任何连续3项之和均为负数，且任何4项之和均为正数，则的最大值是A4B5C6D7二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.9（5分）已知，是曲线为参数）上的任意两点，则的最大值是10（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出的结果是4，则输入的的取值范围是11（5分）若抛物线的焦点到其准线的距离是2，则；若也是双曲线的焦点，则其渐近线方程为12（5分）已知向量，满足且，则与的夹角为 13（5分）用，表示，中的最大值，若函数为偶函数，且时，则的极值点的个数为14（5分）已知函数，若函数的图象关于直线对称，且在区间上是单调函数，则的最大值是三、解答题：本题共6小题，共80分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15（13分）已知的三个内角，的对边分别是，且的面积（）求角的大小；（）若，且，求边的取值范围16（13分）某单位招聘职工，招聘过程包括笔试和面试两轮，规定通过笔试后方可参加面试，面试合格即被录用，且两轮测试是相互独立的已知甲、乙、丙三人到该单位来应聘，且甲、乙、丙三人通过笔试的概率分别是0.5，0.6，0.4，面试合格的概率分别是0.6，0.5，0.75（）求恰有两人通过笔试的概率；（）将甲、乙、丙三人被录用的人数记为，求随机变量的分布列和数学期望17（14分）如图所示，在四棱锥中，已知四边形为矩形，平面平面，且，平面平面（）求证：；（）求二面角的大小；（）当时，在直线上是否存在点，使得？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由18（13分）已知函数，为自然对数的底数（）当时，判断函数零点的个数；（）当时，求函数的最小值19（14分）椭圆，离心率，分别是左右顶点，且，已知点，过的直线交椭圆于点，直线，相交于点，直线交轴于点（）求椭圆的方程；（）求20（13分）已知集合，其中，将中所有不同值的个数记为（A）（）设集合，4，6，4，8，求，；（）设集合，4，8，证明：；（）求（A）的最小值2017年北大附中高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1（5分）已知集合，则ABCD【考点】16：子集与真子集【专题】11：计算题；37：集合思想；：定义法；：集合【分析】先分别求出集合和，由此能求出结果【解答】解：集合，或，故选：【点评】本题考查两个集合的关系的判断，考查子集定义、不等式性质等基础知识，是基础题2（5分）复数在复平面上对应的点位于虚轴上，则实数的值为A1B2CD【考点】：复数的运算【专题】38：对应思想；：数学模型法；：数系的扩充和复数【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得值【解答】解：在复平面上对应的点位于虚轴上，即故选：【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3（5分）下列四个函数中，在其定义域内既是奇函数又是单调递增函数的是ABCD【考点】：函数奇偶性的性质与判断【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；51：函数的性质及应用【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于，为正切函数，是奇函数，但不是增函数，不符合题意；对于，不是奇函数，不符合题意；对于，为反比例函数，是奇函数，但不是增函数，不符合题意；对于，有，为奇函数，且，在其定义域上为增函数，符合题意；故选：【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性4（5分）设等比数列的前项和为则“”是“”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件【专题】15：综合题；55：点列、递归数列与数学归纳法【分析】分公比和两种情况，分别由推出成立，再由也分和两种情况推出，从而得出结论【解答】解：当公比时，由可得，即成立当时，由于，再由可得，即成立故“”是“”的充分条件当公比时，由成立，可得当时，由成立可得，再由，可得故“”是“”的必要条件综上可得，“”是“”的充要条件，故选：【点评】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义和判断，不等式性质的应用，属于基础题5（5分）在某校冬季长跑活动中，学校要给获得一二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过200元，已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于，且获得一等奖的人数不能少于2人，那么下列说法中错误的是A最多可以购买4份一等奖奖品B最多可以购买16份二等奖奖品C购买奖品至少要花费100元D共有20种不同的购买奖品方案【考点】：计数原理的应用【专题】12：应用题；34：方程思想；48：分析法；：排列组合【分析】设获一等奖和二等奖的人数分别为，由题意得到，解得，即可分别判断即可【解答】解：设获一等奖和二等奖的人数分别为，由题意得：，解得，故取2，3，4，故最多可以购买4份一等奖奖品，最多可以购买16份二等奖奖品，购买奖品至少要花费元，故，正确，当时，有6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，共有11种，当时，有9，10，11，12，13，14，共有6种，当时，有12，共有1种，故共有种，故不正确，故选：【点评】本题考查了不等式组在实际生活种的应用，关键是求出，的范围，属于中档题6（5分）正方体中为棱的中点（如图），用过点，的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为ABCD【考点】：简单空间图形的三视图【专题】29：规律型【分析】根据剩余几何体的直观图即可得到平面的左视图【解答】解：过点，的平面截去该正方体的上半部分后，剩余部分的直观图如图：则该几何体的左视图为故选：【点评】本题主要考查空间三视图的识别，利用空间几何体的直观图是解决本题的关键比较基础7（5分）将3个男生和3个女生排成一列，若男生甲与另外两个男同学不相邻，则不同的排法总数有A144B216C252D288【考点】：排列、组合及简单计数问题【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；：排列组合【分析】根据题意，分2种情况讨论：、3个男同学均不相邻，用插空法分析可得此时的排法数目，、另外两个男同学相邻，将这两个男同学看成一个整体，用捆绑法分析可得此时的排法数目，进而由分类计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：、3个男同学均不相邻，将三名女同学全排列，有种排法，排好后有4个空位，在4个空位中，任选3个，安排3个男同学，有种安排方法，此时共有种不同的排法；、另外两个男同学相邻，将这两个男同学看成一个整体，考虑2人的顺序，有种情况，将三名女同学全排列，有种排法，排好后有4个空位，在4个空位中，任选2个，安排甲和这2个男同学，有种安排方法，此时共有种不同的排法；则共有种不同的排法；故选：【点评】本题考查排列、组合的应用，注意剩下2名男生的可以相邻也可以不相邻，需要分情况讨论8（5分）已知实数序列，满足：任何连续3项之和均为负数，且任何4项之和均为正数，则的最大值是A4B5C6D7【考点】81：数列的概念及简单表示法【专题】15：综合题；38：对应思想；：转化法；54：等差数列与等比数列【分析】任何3个连续项之和都是负数，且任何4个连续项之和都是正数，可得，这与每连续3项的和都是负的矛盾，从而可得到结论【解答】解：由，则，则，则，即有，与每连续3项的和都是负的矛盾，项数故这样的一个数列最多能包含5项故选：【点评】本题考查了数列的概念及简单表示法，考查了学生分析问题的能力，是中档题二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.9（5分）已知，是曲线为参数）上的任意两点，则的最大值是4【考点】：参数方程化成普通方程【专题】11：计算题；35：转化思想；：转化法；：推理和证明【分析】推导出曲线是以为圆心，以为半径的圆，由此能求出的最大值【解答】解：曲线为参数），曲线的普通方程为，曲线是以为圆心，以为半径的圆，是曲线为参数）上的任意两点，的最大值是故答案为：4【点评】本题考查弦长的最大值的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题10（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出的结果是4，则输入的的取值范围是【考点】：程序框图【专题】39：运动思想；：算法和程序框图【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算，并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：第一次执行循环体后，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，满足退出循环的条件；故的取值范围是：，故答案为：，【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题11（5分）若抛物线的焦点到其准线的距离是2，则4；若也是双曲线的焦点，则其渐近线方程为【考点】：抛物线的性质【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求得抛物线的焦点，准线，则焦点到准线的距离为，由题意即可得到的值利用抛物线的焦点坐标求出，然后求解双曲线的渐近线方程【解答】解：抛物线的焦点，到其准线为，则焦点到准线的距离为2，可得，所以，也是双曲线的焦点，可得，解得，双曲线的其渐近线方程：故答案为：4；【点评】本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的焦点和准线方程，同时考查点到直线的距离，属于基本知识的考查12（5分）已知向量，满足且，则与的夹角为【考点】：数量积表示两个向量的夹角【专题】1：常规题型；49：综合法；：平面向量及应用【分析】利用向量乘法展开，整理原式得【解答】解：由已知向量，满足且，整理原式得，解得：，所以，向量与的夹角为，故答案为：【点评】本题主要考查了向量的数量积与夹角公式，属基础题13（5分）用，表示，中的最大值，若函数为偶函数，且时，则的极值点的个数为2【考点】：利用导数研究函数的极值【专题】31：数形结合；34：方程思想；53：导数的综合应用；56：三角函数的求值【分析】令，可得：时，函数单调递减；时，函数单调递增时，函数取得极小值，（1）令，可知：，（2）因此存在，使得，即可得出极值点的个数时，由于函数为偶函数，即可得出函数极值点的个数【解答】解：令，可得：时，此时函数单调递减；时，此时函数单调递增时，函数取得极小值，（1）令，可知：，（2）因此存在，使得，可知：时，只有时，函数取得极值可知：时，由于函数为偶函数，因此函数只有两个极值点为故答案为：2【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题14（5分）已知函数，若函数的图象关于直线对称，且在区间上是单调函数，则的最大值是【考点】：三角函数中的恒等变换应用【专题】35：转化思想；57：三角函数的图象与性质【分析】利用和与差和辅助角公式化简，根据直线对称，且在区间上是单调函数可得，建立不等式关系，求解即可【解答】解：函数，函数的图象关于直线对称，即，又在区间上是单调函数，则，即当时，可得的最大值为：故答案为：【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键三、解答题：本题共6小题，共80分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15（13分）已知的三个内角，的对边分别是，且的面积（）求角的大小；（）若，且，求边的取值范围【考点】：三角形中的几何计算【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形【分析】（）根据正弦定理，建立条件关系，即可求出角的大小；（）根据正弦定理表示出，根据三角函数的图象和性质即可得到结论【解答】解：（）的三个内角，的对边分别是，且的面积，（），由正弦定理得，即，由，得，又由，知，故，【点评】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，要求熟练掌握相应的定理，考查三角函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题16（13分）某单位招聘职工，招聘过程包括笔试和面试两轮，规定通过笔试后方可参加面试，面试合格即被录用，且两轮测试是相互独立的已知甲、乙、丙三人到该单位来应聘，且甲、乙、丙三人通过笔试的概率分别是0.5，0.6，0.4，面试合格的概率分别是0.6，0.5，0.75（）求恰有两人通过笔试的概率；（）将甲、乙、丙三人被录用的人数记为，求随机变量的分布列和数学期望【考点】：离散型随机变量的期望与方差【专题】11：计算题；49：综合法；：概率与统计【分析】甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试包括三种情况，这三种情况是互斥的，分别记甲、乙、丙三个同学笔试合格为事件、，表示出满足条件的事件，由互斥事件的概率和相互独立事件同时发生的概率得到结果分别记甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格为事件，由题意知变量可能的取值是0，1、2、3，结合变量对应的事件写出分布列，即可得出期望【解答】解：甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试包括三种情况，这三种情况是互斥的，表示事件“恰有两人通过笔试”由互斥事件的概率和相互独立事件同时发生的概率得到（E）解法一：分别记甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格为事件，则（A）（B）（C）由题意知变量可能的取值是0，1、2、3，解法二：因为甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格的概率均为，得到，根据二项分布的期望公式得到【点评】本题考查了互相独立与互斥事件概率计算公式、二项分布列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17（14分）如图所示，在四棱锥中，已知四边形为矩形，平面平面，且，平面平面（）求证：；（）求二面角的大小；（）当时，在直线上是否存在点，使得？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由【考点】：二面角的平面角及求法【专题】15：综合题；35：转化思想；44：数形结合法；：空间位置关系与距离【分析】（1）由四边形为矩形，可得，由线面平行的判定可得平面，再由面面平行的性质可得；（）证明平面，可得，即为二面角的平面角，等于；（）当时，四边形为正方形，若上存在点，使得，可得，得到由（）知，平面，则平面平面，取中点，连接，则，可得平面，进一步得到平面，则由，即可求得【解答】（）证明：四边形为矩形，而平面，平面，平面，又平面，且平面平面，；（）解：由四边形为矩形，可得，而平面平面，且平面，平面平面，平面，则平面，即为二面角的平面角，等于；（）解：当时，四边形为正方形，若上存在点，使得，连接，则，可得平面，则由（）知，平面，则平面平面，取中点，连接，则，可得平面，则，平面，则此时，由，可得故在直线上存在点，使得，的长为1【点评】本题考查空间中直线与平面的位置关系，考查二面角的平面角的求法，考查空间想象能力与逻辑思维能力，是中档题18（13分）已知函数，为自然对数的底数（）当时，判断函数零点的个数；（）当时，求函数的最小值【考点】：利用导数研究函数的最值【专题】33：函数思想；：分类法；53：导数的综合应用【分析】（）求得的导数，注意，可得单调区间、最值，结合单调性和定义域，可得零点个数；（）讨论，去绝对值，求得单调性，可得最小值【解答】解：（）当时，函数，导数为，当时，递增；当时，递减，可得处取得最小值，且为，则的零点个数为1；（）当时，在，递减，可得（e）取得最小值，且为；当时，导数为，在，递增，可得取得最小值，且为；当，可得时，导数为，在，递减，当，可得，导数为，在，递增，可得（a）取得最小，且为综上可得，当时，的最小值为；当，的最小值为；当时，的最小值为【点评】本题考查导数的运用：求单