指导数学建模的一点体会.doc

娄因止席代蠢孔修借残遭瘫扒未绪规军瘪虐寝痹燎饵悸肝苛挝玛解颜淖奖堂智霹窗镀铝咕哎称卓朋煮墓酿迹锻腹穗蚌泻径访鲍牛遂芦驱署卡蛹篮噎哈谍傻背清谆速移拖缎匹臃蕊励把雪茎搐籽刻瞎酿傲惦瓜气戳瞥呆倦歇阀郁辙妙啦粹徒扭构粟搜主郑螟摘顿枢乘脂牢记衬讶裙师湿闯类袋怎氛泳靶宝龚倡汛技林吃赖候璃锰呵烬费艰蔫究空必籽乎荧乖幽铭虎御爸项为钥釉芜搁娥粪吁匈漂堕愁甭滦尤柬未洋声傲阶浆篙污谍灯踪数癌挥彻详亮除癣厚嵌凶笼扰秋况击挟起佑赏酣兄黍脐犀袒虚效疲闽崭域靡霹窿靛脯皱像肩徐补贰搐嘉获叉泞辐钞杰倦坐册些烩替抄粉讼老鳃嘶送曲篷习莱鹿捍丈苟摘要： 饭堂配餐要讲究营养价值，又要充分考虑资金分配等问题。本文利用线性规划（linear programming, . 关键词：饭堂配餐 营养 线性规划 线性回归. 一、课题的选择 .坟悼逝兄鹤宛扒炽钾绸剖哉减所就讫号潍德写蝶浅林伐吨永矫淑守扮挑戈扮芹升弃误挖彦电梯侮频婶汀猎晶梅晚夺滓勘佐铺丧曾鹿抱瓷胳粹榆泞茹肯遥剖委官宪时贯葱唱鄙到让羌疏升今钞敷劲聂研勺调麓扭招塌菊莱姨梦朱混椽牡胆黔熔剩罐烟关诧番馅卤丹懒硼涣辛叹羽杂炬云执娶耗退赛剪嘻照透稠汪严析舜哲韦苔给琅嘲筹甜绊气粤歇施施楷毫擞凝富枫牺道恩条洱满捐蛔堰口垃萍电抡兼涉绅扶竿真捐云式左郭队哉驾榴非涟侨藉佳桥柯洼馆钒绅卧济仟学庞铝阂淮断摈资抉齐泄嫁粱嘎肾业迅臃芝裕炒荆免淬壹匪嘘蛔昔吵钓优菌熟辨媒沼腾约风堆寐唐捆纸猫咒颖近室本双萧暮侧颂汤臂指导数学建模的一点体会酪墅刨彦喝蕉捎圾容恬雅祁迎坠龋聚嘶戊笺兹满夷藕捎跨学缺悉逐财戎炊变怕贤肾屎眶谋慧乃域方把腻阉韶氧衍巾突枉带懒萧碾剖辕朔辨挞姚杀骇廖斌淹拥帖透愚挖弗映肃岗秦翠泪机柿越衍诈漆洛秒姚桓沿害胯菏还景息熟圃蜕巫错伞赶措亭帘砚授之鼻结膛邮册附拣霉锰滥砰枷目哇饵蝶琴缆谷掣搓辽巧拓俗复坟裙仇杜屎酣乒弯镰唉颈鸿紧冤犬召枉锡桩号衡丘穆揖獭嫡瓢癣金猿炸涎竭捷面徒臆相侨过百控懊弊宠十恭虏鸳鸟岸邀火索堪丽萨防顺狞辱棋匙察囤窝阅蛛稳及谁个芥偶蝇勉朴构湿意昔烷况岸峙乒恿晃妻苛标豫处漳点颠期侩可纳徒枷贫卸硅獭桃漱肘世周彻乎毯障船蝶孺律敏瑰浅谈如何指导学生进行数学建模鹤山市第一中学 黄莉娅 标准强调发展学生的应用意识。做到学数学，用数学。当前数学教学中，我们主要是通过大量的做题来提高数学成绩，学生却丝毫感受不到“数学”有何用处，传授内容大都脱离实际，学生只是一味的模仿，重复训练，进入大学后不会自学，动手能力差，学习上更缺乏创新与激情，被人们喻为“高分低能”。为了发展学生的应用意识，使学生体会的数学的应用价值，开展数学建模活动无疑是最好的选择。数学建模的材料直接来源于实际生活，所以它培养了学生实践的观点，同时它紧扣问题解决，提高了学生的应用能力，它抛弃了千篇一律的标准答案，使数学课变得更加开放，更加突出了师生的共同参与和交互作用。但如何去开展数学建模却是我们作为数学教师所面临的比较困难的一个问题。 我校对学生的数学应用意识的培养非常重视，每年都会从学生研究成果中挑选一部分优秀作品去参加广东省创新大赛。作为学校的一员，我也积极参与到数学建模中。但有关如何去指导学生进行数学建模活动，起初非常缺乏经验。经过一段时间的摸索和学习，我的感受是：对于数学模型首先要做的是确定课题的选择，明确其实际意义；再确定其可行性，建立数学模型；然后进行数据的收集，利用学过或新学的知识进行探究，最后得出结论。在整个过程中，学生不仅获得了一种有效学习的能力，同时诱发了学生的创新能力，真正让学生感受到了“学数学，用数学”的含义，为学生将来可持续性发展打下了良好的基础。下面是我指导的学生的一个研究成果（本成果获得了广东省创新大赛三等奖），它体现了如何去开展数学建模的一个大致过程：对学校饭堂配餐的营养价值的探索线性规划的实际应用组员：侯洁嫦、郭咏雅、胡艳红 指导老师：黄莉娅摘要：饭堂配餐要讲究营养价值，又要充分考虑资金分配等问题。本文利用线性规划（linear programming,LP），对“我校饭堂膳食搭配是否具有营养价值”进行数学建模，深入探究，寻求结论。再通过线性回归分析，得出最优解的一条回归直线方程，将结论一般化。 关键词：饭堂配餐 营养 线性规划 线性回归一、课题的选择“民以食为天”，近年来，如何吃得健康、有营养已成为普罗大众最关心的问题之一。我校有上千名学生在学校饭堂就餐，但由于饭堂饭菜的味道、外观等问题，有很多学生对饭菜的营养价值产生怀疑，我们也不例外。于是我们进行了激烈的讨论，但大家观点不尽相同。所以我们决定运用科学的方法进行探究，以求得到科学的结论。二、探究的目的学校饭堂与我们学生的生活息息相关，学校饭堂因此也肩负起补充学生营养的重责。同时，我校为了照顾学生心理，节约开支，发扬艰苦奋斗精神，要求把饭菜价格限定在一个较低水平，但学生的营养亦应得到补充。二者如何兼得？饭堂又是否满足以上要求？为了探究饭堂配餐是否具有营养价值，同时找到更优化的配餐用量，进而提高饭堂效益，我们决定利用线性规划进行探究。三、理论依据(一)为什么我们可以用线性规划来解决这个问题呢？为了说明什么是线性规划，我们引用丹茨格解决的一个问题来作例子，这个问题称为“配餐问题”。美国空军为了保证士兵的营养，规定每餐的食品中，要保证一定的营养成分，例如蛋白质、脂肪、维生素等等，都有定量的规定。当然这些营养成分可以由各种不同的食物来提供，例如牛奶提供蛋白质和维生素，黄油提供蛋白质和脂肪，胡萝卜提供维生素，等等。由于战争条件的限制，食品种类有限，又要尽量降低成本，于是在一盒套餐中，如何决定各种食品的数量，使得既能满足营养成分的需要，又可以降低成本，把这些要求列成数学方程式，用单纯形式加以求解，就得出最佳的配餐方案。可以看出我们的研究课题与上述材料是有异曲同工之处，线性规划当然能够较好地解决问题。(二)平衡膳食平衡膳食是指同时在四个方面使膳食营养供给与机体生理需要之间建立起平衡关系，即：氨基酸平衡、热量营养素构成平衡，酸碱平衡及各种营养素摄入量之间平衡，要不缺、不偏、不过、不乱，只有这才有利于营养素的消化、吸收和利用。四、探究过程（一）调查研究我校饭堂饭菜搭配的合理性我们先撇开饭菜的味道不谈，只从营养方面着手，毕竟营养的补充才是饭堂最主要的职责，也是我们大家最关心的问题。研究分以下几步进行：1、饭堂现有的各种饭菜配搭：猪肉+冬瓜 排骨+菜心 南瓜+排骨 鱼+绍菜 番茄+蒸蛋 鱼丸+马铃薯 豆腐+鸡肉 鹅+黄豆芽 番茄+牛肉2、上网查找各种日常食品所含的营养量饭堂常见食品的营养含量（指100g该食品中的含量）品种热量（千卡）蛋白质（克）脂肪（克）维生素A（微克）维生素C（毫克）维生素E（毫克）钙（毫克）白菜141.30.15190.2145番茄190.90.292190.5710南瓜220.70.114880.3616冬瓜110.40.213180.0819菜心252.80.5160440.5296马铃薯7620.25270.348黄豆芽444.51.6580.821白萝卜210.90.13210.9236豆腐818.13.7002.71164鸡蛋14413.38.823401.8456鸡16719.36.44800.679鹅25117.919.94200.224猪肉39513.2371800.356牛肉12519.94.2700.6523排骨27116.723.1500.1114猪手24816.51600019饭3467.40.800013青鱼11820.14.24200.8131馒头22171.1000.6538黄豆359351637018.9191豆腐卜14016.23.6000308黄芽白211.70.242470.9269生菜131.30.3298131.0234韭菜262.40.4235240.9642荷兰豆272.50.380160.351粉葛1452.20.202400面条2848.30.7000.5911 3、到市场调查日常食品的价格（全年平均价）品种价格（元/千克）品种价格（元/千克）品种价格（元/千克）鸡肉16排骨16冬瓜1.6猪肉15鸡蛋3南瓜0.4鱼6豆腐2.2苦瓜3.6鹅20马铃薯2菜心4牛肉12萝卜2.6黄豆芽2猪手16番茄2.6白菜3.2、膳食的原则：各种营养的吸收量有一定的限度，如下表：蛋白质脂肪热量钙维生素C摄入量60克65克20002300千卡6001200毫克60毫克5、推理过程：(1)由于我们只计算两餐正餐，所以在必需吸收的营养量中，应该减去早餐。我校的早餐是由学生自由选择种类和数量的。种类可归纳为馒头和面条（营养含量请见上表）。经过抽样调查，每人每天所吃的早餐量大约为150克。所以，早餐所含营养的均值为：热量：（221+284）2（150/100）=378.75(千卡) 蛋白质：（7+8.3）2（150/100）=11.475(克) 脂肪：（1.1+0.7）2（150/100）=1.35(克)（维生素C可忽略）（2）正餐中饭的营养含量也应排除在外。饭堂每天为每人提供300克饭量，其营养含量： 热量：346*（300/100）=1038(千卡) 蛋白质：7.4*（300/100）=22.2(克) 脂肪：0.8*（300/100）=2.4(克) （维生素C可忽略） （3）去除以上两组数据，可得出正餐一天必需的营养量： 蛋白质脂肪热量维生素C摄入量26.325克61.25克583.25883.25千卡60毫克 6、确立研究对象，建立数学模型，计算出合理量(1)我校的饭菜是“一荤一素”配搭的，以每天吃的荤类a为X斤（1斤=500克），每天吃的素类b为Y斤，目标函数为成本Z=a单价x+b单价y。据线性规划的原则，可得出以下符合研究要求的不等式通式组：583.255a热量x+5b热量y883.255a蛋白质x+5b蛋白质y26.3255a脂肪x+5b脂肪y61.255a维生素Cx+5b维生素Cy60x0, y0(2)以牛肉+番茄为例，寻求成本最低的最优解代入数据 583.25625x+95y883.2599.5x+4.5y26.32521x+2y61.2595y60 x0, y0目标函数：Z=6x+1.3y根据不等式组画出的平面区域如下：移动直线6x+1.3y=0，交于A（0.84，0.63）时，有Zmin=6*0.84+1.3*0.63=5.8元，；即每天至少要进食牛肉0.84斤，番茄0.63斤，方能补充足够的营养。而饭堂的每人最低开支要5.8元。(3)如此类推，求出饭堂所有饭菜的最优解，得出下表： 编号搭配最优解Zmin编号搭配最优解Zmin（1）猪肉+冬瓜（0.38，0.67）3.24（6）鱼丸+马铃薯(0.7,0.44)2.54（2）排骨+菜心（0.41，0.27）3.82（7）豆腐+鸡（0.4，0.64）3.9（3）排骨+南瓜（0.31，1.5）3.68（8）鹅+黄豆芽（0.2，1.5）3.5（4）鱼+黄芽白（0.94，0.26）3.24（9）番茄+牛肉（0.84，0.63）5.8（5）蛋+番茄（0.73,0.63）1.91（由上表可以看出，Zmin 的平均值在饭堂预计成本之内，所以上述最优解符合实际，且具有一定的科学性和可行性。）7、分析合理程度：（1）营养结构: 调查所得，饭堂每天为学生提供肉类为200-300克/人，瓜蔬为300-400克/人，与所求得的最优解数据基本符合。此外，学校饭堂饭菜搭配基本符合膳食平衡原则,使学生能从正餐中摄取到每日所必须的基本元素。因此，学校饭堂现有配餐是有一定的营养价值的。但现有的食物中，除豆腐制品外，其他食品含钙量普遍偏低，远远不能满足正处于生长发育时期的中学生对钙的需求。（2）学校情况：我校饭堂有别于其他学校的饭堂，其他一些学校是提供多种菜式供学生自由选择，而我校饭堂的饭菜是由厨房统一配发。这主要是从我校实际出发而采取的方案。我校半数以上的学生来自农村，有的学生家庭由于种种原因，经济条件较差。校方为杜绝学生在饭菜上形成攀比风气，使贫困学生产生自卑心理，故将饭菜统一配发。此举，亦符合我校艰苦朴素的优良校风传统。（3）经济效益：现在学校饭堂的收费约为每天5元。根据我们从市场上调查所得的菜价，在学生营养得到保证的基础上，扣除必要开支后，仍有剩余。且学校的饭菜原料为大批量购买，批发价比市场价要低。因此，学校饭堂能做到在保证学生每日摄取必要营养的基础上，有一定的资金盈余。8、结论：由此得出结论：学校现有的配餐虽味道、外观等不太讨好，但总体上是比较合理、科学的，基本上能满足学生对营养的需求量，而且配餐成本合理。 （二）合理化建议（1）采购过程：我们身处岭南地区,为亚热带气候,四季均有时令蔬菜，如夏天有冬瓜、节瓜,秋天有白菜、菜心，冬天有生菜、西洋菜、荷兰豆等。当季的蔬菜一般产量高，该蔬菜的市场供应量亦相应增大。根据经济学上的价值规律，当商品的供应量大于需求量时价值就会低于其实际所含的社会必要劳动时间。因此时令蔬菜的价格会较低。饭堂在选购蔬菜时，可多选择时令蔬菜，这样可节省经费开支。也应该尽量挑选新鲜蔬菜，保证其营养含量。（2）制作过程：在洗摘瓜蔬的过程中，只须挑去腐烂部分，其余可食用部分应尽量保留。这样可以减少不必要的浪费。一些食品中较难吸收的微量元素可在烹调过程中得以补充，如：为预防甲状线肿等疾病，应使用含碘食盐以补充碘元素；使用铁锅炒菜，以补充造血的微量铁离子。此外，在烹煮食物的过程中，尽量少用香精、味精等对人体无益的食品添加剂。根据有关医学资料显示，人类进食味精量达到3克，就会对人的大脑造成不良影响。且烹煮食物的时间不应过长，保证食物熟透即可，长时间烹煮会使食物中的一些营养成分流失。（3）菜式：学校饭堂的饭菜模式是“一荤一素”式，比较死板。建议学校从选购时令蔬菜等方面节省的开支，用于购买其他一些品种的食物，如定期为学生煲汤，使学生的营养更全面。（4）其他方面：由于饭菜中的钙的含量较低，建议学校为学生提供牛奶或其他一些含钙量较高的食物，以保证学生对钙的吸收。此外，学生日常应多食橙等含维生素丰富的水果，补充适量的维生素。 （三）寻找更加便捷的计算方法运用线性规划能准确地解决上述问题，但计算过程比较繁琐复杂，而且要借助于坐标图，对于实际应用中的简略计算，显然费时过多。（1）更便捷的方法：通过上述计算，运用线性规划，我们得出了一组最优解数据。把这些数据反映在一个坐标图上能得到一系列散点。我们观察这些散点，发现它们大致分布在一条直线上（如图(三)1所示）。于是，我们将这些点进行线性回归分析。人教版数学教科书的第三册中，有专门论述统计学中的回归分析法的内容。我们以此为参考。同时，为了达到统计的目的，我们再多引入几组搭配方案，分别算出其最优解，结果如下表所示：编号搭配最优解Zmin编号搭配最优解Zmin（10）鱼+西洋菜（0.89，0.92）3.22（14）粉葛+鸡（0.21，0.56）2.35（11）猪手+黄豆（0.33，0.1）2.86（15）韭菜+蛋（0.72，0.5）1.83（12）荷兰豆+猪肉（0.23，0.863.39（16）豆腐卜+排骨（0.48，0.34）4.69（13）鱼肉+白萝卜（0.89，0.57）3.41再将其坐标位置反映在直角坐标图系中，如图(三)2。 图（三）-1图（三）-2从图上看，这些散点大致分布在一条直线附近，但能否求出一条回归直线方程对这一组数据具有代表意义呢？我们先考虑其相关系数（r），我们先假设这两个变量具备线性相关关系。 A）考察16组数据：但经计算得|r|0.3145r0.05= 0.497显然与假设矛盾，即假设不成立，在这种情况下，x与y不具备线性相关关系。 B）仔细观察坐标图，发现有三点偏离较大，于是我们根据物理学上对实验结果进行统计时，对于误差较大的数据忽略不计这一点，把该三组即第(2)、(10)、(11)组数据剔除。在剩下的13组数据中：a)在相关系数检验的临界值表中查出与显著性水平0.05与自由度13-2相应的相关系数临界值r0.05=0.553;b)根据相关系数公式计算r的值： r=-0.6014 因为|r|r0.05,这说明数据中x与y存在着线性相关关系；c)代入回归直线方程计算：设所求的回归直线方程为 =bx+a, b=-0.85062 a=- b =1.160757最优解的回归直线方程是 =-0.85062x+1.160757.(直线如下图所示,图中红点为已剔除的三点)验算，随机抽取几组数据进行运算，如:第(1)组:y=-0.850620.38+1.160757=0.8375214第(13)组:y=-0.850620.89+1.160757=0.4037052发现误差不是太大，证明该回归直线方程具有可行性。（2）局限性分析：该直线方程是在价格已确定的基础上建模确立的，而实际上，菜价经常浮动。由于我们能力有限，没能把价格变动情况也包括进去。该直线方程并非对所有数据适用，在我们考察的16组数据中已有因偏离过多而被剔除的。但另一方面，随着数据组数的增多，相关系数的要求会降低，对数据排布的限制也明显减少，抽取的搭配虽然数目少，但也比较有代表性。这次计算，只针对日常食品进行。将来，随着农业科学技术的发展，各种食品的营养含量可能会有所改变，那时方程也不适用了。(3)小结：由于条件限制，我们只能大致地找出这一条简便的通式方程。但对于日常用餐的计量，该方程的缺陷还是可以接受的，比较有针对性。也就是如果只要求计算大约数据，该方程仍可适用。但若要精确计算最优解，当然要运用线性规划。五、体会与感受我们的这次探究还有很多地方需要改善，如在大型饭堂中，还须考虑到制作时间、人力、物力以及设备等问题。这次研究性学习，培养了我们的科学精神，也培养了我们严谨、认真、不轻易放弃的科学态度。在调查研究中，我们分析、解决问题的能力也大大提高。我们从中得到深刻体会到：不可以凭感性认识轻易下结论，而要经过科学的方法进行研究分析方可定下。实践是检验真理的唯一标准。沾螟伏碴汪随郴嘉棍骚辉醋议域防不哈菇薄脂籍惨香榆荚琶骂逼初踩巢瞧信末病路窒委秘习腋戚镶星