2014年湖南师大附中理科实验班考试数学复试答案_第1页
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2014年湖南师大附中理科实验班数学复试卷答案学校:_ 姓名:_ 电话:_一、填空题(5小题, 每小题3分, 共15分)1.若|m|, |n|是直角三角形的两条直角边, 则这个直角三角形的斜边长为_, 其中m, n满.分析: .2.已知实数对满足方程, 记的最小值, 最大值分别为, 则.分析: 令. 则. 由.3.若任取n个整数, 必能从中取出3个数, 它们的和能被3整除, 则n的最小值是_.分析: 5. 一方面, 0, 1, 2, 3这4个数中任取3个的和不被3整除. 另一方面, 整数除以3, 余数有3类, 即0, 1, 2. 任何5个整数, 如果有3个除以3余数在同一类, 它们的和可以被3整除. 否则5个数中至少有3个数除以3, 余数互不相同, 它们的和被3整除. 4.设表示不超过实数x的最大整数, 比如. 若实数a满足, 则.分析: 原方程等价于, . 设, 则, 解得(舍去).于是. 故.5.如图, 在梯形中, 为中位线, 且通过与的交点, 点分别在上. 则梯形, 梯形, 梯形面积的连比等于_. 分析: . 易证梯形梯形, 梯形梯形.设, 则.设梯形的面积为1, 则梯形的面积为4. 再设梯形的面积为, 注意到, 由梯形梯形得: .所以梯形, 梯形, 梯形的面积的连比为.三、解答题(4小题, 共35分)1.(8分)如图, 在中, . 分别是边上两点, , 并且. 求.分析: 设, 则.又, 于是.所以.2.(9分)若干个人相聚, 其中有些人彼此认识, 已知: (1) 如果某两个人有相等数目的熟人, 则他俩没有公共的熟人; (2) 有一个人至少有56个熟人.证明: 可找出一个聚会者, 他恰好有56个熟人.分析: 考虑聚会者中熟人最多的人(如果不止一个, 则任取其中之一), 记为A. 设A认识了n个人. 由于任意两人都以A为共同熟人, 由条件(1)知熟人的数目不相等, 于是, 各人的熟人数互不相等, 且均不超过n (根据n的最大性), 因此, 必然是. 再根据条件(2)知. 因此中包含着56, 即中必有人恰好认识56人.3.(9分)已知二次函数的图象与一次函数的图象两个交点的横坐标为, 且.(1) 试用表示;(2) 若, 当时, 二次函数的值记为, 证明: .分析: (1) 由已知得, 即, 其两根分别为. 则, 于是.(2) 当时, 有.由得, , 从而.又.由得, , 从而.所以.4.(9分)已知有正整数k, 使得成立. 求正整数n的最小值.分析: 由得 ; 由
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