高考数学总复习（整合考点+典例精析+深化理解）第五章 第二节等差数列及其前n项和精讲课件 文.ppt

第二节等差数列及其前n项和 第五章 例1 已知等差数列 an 中 a1 1 a3 3 1 求数列 an 的通项公式 2 若数列 an 的前k项和sk 35 求k的值 等差数列基本量的计算 自主解答 思路点拨 先运用等差数列的通项公式求出公差 进而求得通项公式及前n项和公式 再将n用k代换 得到关于k的方程 解方程即可求得项数k 解析 1 设等差数列 an 的公差为d 则an a1 n 1 d 由a1 1 a3 3可得1 2d 3 解得d 2 从而an 1 n 1 2 3 2n 由sk 35可得2k k2 35 即k2 2k 35 0 解得k 7或k 5 又k n 故k 7为所求 2 由 1 可知an 3 2n 所以sn 2n n2 点评 解决等差数列的问题时 通常考虑两类方法 1 基本量法 即运用条件转化成关于a1和d的方程 2 巧妙运用等差数列的性质 可化繁为简 1 1 2012 唐山三模 等差数列 an 的前n项和为sn 已知s7 21 s11 121 则该数列的公差d a 5b 4c 3d 2 变式探究 2 等差数列 an 的公差为 且前100项和s100 145 则a1 a3 a5 a99的值为 解析 1 依题意有7a1 21d 21 11a1 55d 121 解得a1 9 d 4 故选b 2 法一 a2 a4 a6 a100 a1 a3 a5 a99 50d 25 因为s100 145 所以a1 a3 a5 a99 60 法二 由100a1 145得a1 所以a1 a3 a5 a99 60 答案 1 b 2 60 等差数列性质的运用 例2 1 在等差数列 an 中 若a4 a6 a8 a10 a12 120 则2a10 a12的值为 2 已知数列 an 是等差数列 若a4 2a6 a8 12 则该数列前11项的和为 自主解答 解析 1 a4 a12 a6 a10 2a8 由a4 a6 a8 a10 a12 120得5a8 120 a8 24 于是2a10 a12 2 a8 2d a8 4d a8 24 2 由a4 2a6 a8 12 得4a6 12 a6 3 s11 11 3 33 答案 1 24 2 33 点评 本题根据题设条件巧妙运用了等差数列的下标和性质 通项公式的变式 使解答过程很简捷 变式探究 2 1 2013 江门模拟 等差数列 an 前17项和s17 51 则a5 a7 a9 a11 a13等于 a 3b 6c 17d 51 2 2013 惠州第三次调研 设 an 是公差为正数的等差数列 若a1 a2 a3 15 a1a2a3 80 则a11 a12 a13 a 120b 105c 90d 75 解析 1 由于s17 17 17a9 51 所以a9 3 根据等差数列的性质a5 a13 a7 a11 所以a5 a7 a9 a11 a13 a9 3 故选a 2 an 是公差为正数的等差数列 因为a1 a2 a3 15 a1a2a3 80 所以a2 5 所以a1a3 5 d 5 d 16 所以d 3 a12 a2 10d 35 所以a11 a12 a13 105 故选b 答案 1 a 2 b 等差数列的前n项和的求解 例3 1 已知 an 为等差数列 前10项的和s10 100 前100项的和s100 10 求前110项的和s110 2 2013 浙江卷 在公差为d的等差数列 an 中 已知a1 10 且a1 2a2 2 5a3成等比数列 求d an 若d 0 求 a1 a2 a3 an 思路点拨 对于 1 常用的思路有三条 思路一 运用方程的思想 将题目条件应用公式表示成关于首项a1与公差d的两个方程 思路二 运用前n项和公式sn an2 bn去求 先求出待定系数a b 思路三 巧妙运用前n项和 等差数列的性质 下标和的性质 可化繁为简 对于 2 易知 an 为等差数列 先求出通项an 然后再由通项an判断哪些项为正 哪些项为负 进而可将的绝对值符号去掉 将求数列的前n项和转化为求数列的前n项和的问题 解析 1 法一 设的首项为a1 公差为d 则 s110 110a1 110 109d 110 法二 为等差数列 故可设sn an2 bn 则 解得110a b 1 s110 1102a 110b 110 110a b 110 法三 s100 s10 90 a11 a100 2 2 由题意5a3 a1 2a2 2 2 即d2 3d 4 0 故d 1或d 4 所以an n 11 n n 或an 4n 6 n n 设数列 an 的前n项和为sn 因为d 0 由 得d 1 an n 11 则 当n 12时 a1 a2 a3 an sn 2s11 110 当n 11时 a1 a2 a3 an sn 综上所述 a1 a2 a3 an 点评 1 解决等差 比 数列的问题时 通常考虑两类方法 基本量法 即运用条件转化成关于a1和d q 的方程 巧妙运用等差 比 数列的性质 如下标和的性质 子数列的性质 和的性质 可化繁为简 2 数列求和问题先由an的正负去掉绝对值符号 然后分类讨论转化成 an 的求和问题 变式探究 3 1 2012 海南嘉积中学期末 等差数列 an 的通项公式为an 2n 1 其前n项和为sn 则数列的前10项和为 a 70b 75c 100d 120 2 2012 南昌调研 等差数列 an 中 a50且a6 a5 sn是数列的前n项的和 则下列说法正确的是 a s1 s2 s3均小于0 s4 s5 s6 均大于0b s1 s2 s5均小于0 s6 s7 均大于0c s1 s2 s9均小于0 s10 s11 均大于0d s1 s2 s11均小于0 s12 s13 均大于0 解析 1 等差数列 an 的通项公式为an 2n 1 sn n2 2n n 2 3 4 5 12 75 故选b 2 由题可知a6 a5 0 故s10 而s9 9a5 0 故选c 答案 1 b 2 c 等差数列的证明 或判断 例4 2012 济宁市邹城二中月考 已知f x 点pn在曲线y f x 上 n n 且 a1 1 an 0 1 求证 数列为等差数列 并求数列 an 的通项公式 2 设数列 a2n a2n 1 的前n项和为sn 若对于任意的n n 存在正整数t 使得sn t2 t 恒成立 求最小正整数t的值 1 证明 两边平方 整理得 4 是以1为首项 4为公差的等差数列 2 解析 bn a2n a2n 1 sn b1 b2 bn 对于任意的n n 要使sn t2 t 恒成立 只要 t2 t t 或t 存在最小的正整数t 2符合题意 点评 判断或证明数列是等差数列的方法有 1 定义法 an 1 an d 常数 n n an 是等差数列 2 中项公式法 2an 1 an an 2 n n an 是等差数列 3 通项公式法 an kn b k b是常数 n n an 是等差数列 4 前n项和公式法 sn an2 bn a b是常数 n n an 是等差数列 4 2013 北京宣武区模拟 数列 an 的前n项和为sn 若a1 3 点 sn sn 1 在直线y x n 1 n n 上 1 求证 数列是等差数列 2 求sn 变式探究 1 证明 点 sn sn 1 在直线y x n 1 n n 上 sn 1 sn n 1 同除以n 1 数列是以3为首项 1为公差的等差数列 2 解析 由 1 知 3 n 1 1 sn n2 2n 等差数列中的最值问题 例5 2012 北京东城区期末 在等差数列 an 中 若a5 a7 4 a6 a8 2 则数列 an 的公差等于 其前n项和sn的最大值为 解析 法一 设数列的公差为d 两式相减得d 3 代入a5 a7 4 可得a1 17 an a1 n 1 3 3n 20 当n 时 sn有最大值 但n n 故取n 6 最大值为s6 57 法二 由法一知 an 3n 20 a1 17 n n n 6 前6项和最大 又可得a1 17 d 3 法三 将已知两式相减 得 2d 4 2 d 3 又由中项公式得a6 2 0 a7 1 0 根据等差数列的单调性知 该数列的前6项都大于0 从第7项起都是负值 答案 357 前6项和最大 又可得a1 17 s6 57 点评 由于公差不等于零的等差数列不是单调递增的就是单调递减的 求其前n项和sn的最值时 可以建立sn关于项数n的函数关系 用二次函数的方法求解 如法一 也可以通过数列中的项的正负变化 也要考虑可能等于零的项 确定何时sn取得最值 如法二 法三 变式探究 5 2013 新课标全国卷 等差数列 an 的前n项和为sn 已知s10 0 s15 25 则nsn的最小值为 解析 法一 由s10 0 s15 25 a1 3 公差d sn n n