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第6讲正弦定理和余弦定理 知识梳理1 正弦定理和余弦定理在 abc中 若角a b c所对的边分别是a b c 则 续表 续表 2 在 abc中 已知a b和a时 解的情况 3 三角形形状的判断 5 在 abc中 若sinasinb cosacosb 则此三角形是钝角三角形 6 在 abc中 若b2 c2 a2 则此三角形是锐角三角形 感悟 提升 一条规律在三角形中 大角对大边 大边对大角 大角的正弦值也较大 正弦值较大的角也较大 即在 abc中 a b a b sina sinb 如 1 判断三角形形状的两种途径一是化边为角 二是化角为边 并常用正弦 余弦 定理实施边 角转换 规律方法已知两角和一边 该三角形是确定的 其解是唯一的 已知两边和一边的对角 该三角形具有不唯一性 通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断 答案 1 45 2 30 规律方法解决判断三角形的形状问题 一般将条件化为只含角的三角函数的关系式 然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式 或将条件化为只含有边的关系式 然后利用常见的化简变形得出三边的关系 另外 在变形过程中要注意a b c的范围对三角函数值的影响 训练2 1 2013 山东省实验中学诊断 在 abc中 内角a b c的对边分别为a b c 且2c2 2a2 2b2 ab 则 abc的形状是 三角形 填 直角 钝角 或 锐角 等 2 在 abc中 若 a2 b2 sin a b a2 b2 sinc 则 abc的形状是 三角形 填 锐角 直角 等腰 或 等腰或直角 答案 1 钝角 2 等腰或直角 1 在解三角形的问题中 三角形内角和定理起着重要作用 在解题时要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号 防止出现增解或漏解 2 正 余弦定理在应用时 应注意灵活性 尤其是其变形应用时可相互转化 如a2 b2 c2 2bccosa可以转化为sin2a sin2b sin2c 2sinbsinccosa 利用这些变形可进行等式的化简与证明 反思感悟 1 在处理三角形中的边角关系时 一般全部化为角的关系 或全部化为边的关系 题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理 出现边的二次式一般采用到余弦定理 应用正 余弦定理时 注意公式变式的应用 解决三角形问题时 注意角的限制范围 2 在本题第 2 问中 不会结合正弦定理表达s的角的形式是失分的主要原因 答题模板第一步 定已知 即梳理已知
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