2017学年湖北省襄阳五中高三（上）8月月考数学试卷（理科）（含解析）

2016-2017学年湖北省襄阳五中高三（上）8月月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）为虚数单位，若，则A1BCD22（5分）下列对应法则是从集合到集合的映射的是A，B，C，D，3（5分）下列命题中是假命题的是A，B，函数是偶函数C，使得D，使是幂函数，且在上递减4（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体体积为ABCD5（5分）某产品的广告费用与销售额的不完整统计数据如表：广告费用（万元）345销售额（万元）2228若已知回归直线方程为，则表中的值为A40B39C38D376（5分）将4本完全相同的小说，1本诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本书，则不同分法有A24种B28种C32种D16种7（5分）已知直线与圆交于，两点且，则A2BCD8（5分）已知函数，（a）（b），则的最小值等于ABCD9（5分）已知两点，若直线上存在点，使，则称该直线为“型直线”给出下列直线：其中为“型直线”的是ABCD10（5分）定义在上的函数满足，任意的，都有是的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件11（5分）如图，已知直线与抛物线相交于、两点，且、两点在抛物线准线上的射影分别是、，若，则的值是ABCD12（5分）设为函数的导函数，已知，（e），则下列结论正确的是A在单调递增B在单调递减C在上有极大值D在上有极小值二、填空题（本大题给共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填在相应的横线上）13（5分）已知函数的图象如图所示，它与直线在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为，则的值为 14（5分）已知点，满足不等式组，若恒成立，则实数的取值范围是15（5分）如图，在中，、边上的高分别为、，垂足分别是、，则以、为焦点且过、的椭圆与双曲线的离心率分别为，则的值为 16（5分）如图，将自然数按如下规则“放置”在平面直角坐标系中，使其满足条件：每个自然数“放置”在一个“整点”（横纵坐标均为整数的点）上；0在原点，1在点，2在点，3在点，4在点，5在点，即所有自然数按顺时针“缠绕”在以“0”为中心的“桩”上，则放置数字，的整点坐标是 三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（12分）已知命题：函数的值域为，命题：方程在，上有解，若命题“或”是假命题，求实数的取值范围18（12分）为及时了解适龄公务员对开放生育二胎政策的态度，某部门随机调查了90位30岁到40岁的公务员，得到情况如表：（1）完成表格，并判断是否有以上的把握认为“生二胎意愿与性别有关”，并说明理由；（2）现把以上频率当作概率，若从社会上随机独立抽取三位30岁到40岁的男公务员访问，求这三人中至少有一人有意愿生二胎的概率（2）已知15位有意愿生二胎的女性公务员中有两位来自省妇联，该部门打算从这15位有意愿生二胎的女性公务员中随机邀请两位来参加座谈，设邀请的2人中来自省女联的人数为，求的公布列及数学期望男性公务员女性公务员总计有意愿生二胎3015无意愿生二胎2025总计附：0.0500.0100.0013.8416.63510.82819（12分）如图，在几何体中，四边形为矩形，平面平面，（1）求证：平面平面；（2）点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的取值范围20（12分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，（）求椭圆的标准方程；（）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于、两点，交轴于点，若，求证：为定值21（12分）已知函数（1）若，求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）若，求在区间，上的最小值；（3）若函数有两个极值点，求证：请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号选修4-1：几何证明选讲22（10分）如图，圆与圆交于，两点，以为切点作两圆的切线分别交圆和圆于，两点，延长延长交圆于点，延长交圆于点已知，（1）求的长；（2）求选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系中，圆和的参数方程分别是为参数）和为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求圆和的极坐标方程；（2）射线与圆的交点为、，与圆的交点为、，求的最大值选修4-5：不等式选讲24（）已知和是任意非零实数满足，求实数的最大值（）若不等式恒成立，求实数的取值范围2016-2017学年湖北省襄阳五中高三（上）8月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）为虚数单位，若，则A1BCD2【考点】：复数的运算；：复数的模【专题】11：计算题；35：转化思想；：数学模型法；：数系的扩充和复数【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式得答案【解答】解：由，得，故选：【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题2（5分）下列对应法则是从集合到集合的映射的是A，B，C，D，【考点】：映射【专题】51：函数的性质及应用【分析】观察所给的四个选项，主要观察是否符合映射的概念，对于，选项，当时，在中没有元素与它对应，对于选项，在中没有和的元素1对应的象，对于选项，在中总有与的元素对应的象，得到答案【解答】解析：，错同理错中：当时，错故选：【点评】本题考查映射的意义，本题解题的关键是抓住映射的定义，在集合中的每一个元素在集合中都有唯一的元素和它对应，本题是一个基础题3（5分）下列命题中是假命题的是A，B，函数是偶函数C，使得D，使是幂函数，且在上递减【考点】：全称量词和全称命题；：存在量词和特称命题；：命题的真假判断与应用【专题】：简易逻辑【分析】利用反例判断的正误；通过特殊值判断的正误；特殊值判断的正误；利用幂函数的定义判断的正误；【解答】解：，如果，两个数值相等，所以不正确，函数是偶函数，当时，函数是偶函数，所以正确，使得，例如，等式成立，所以正确；，使是幂函数，且在上递减，时函数是幂函数，满足题意，正确故选：【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，反例法与特殊值法是常用方法，考查基本知识的应用4（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体体积为ABCD【考点】：由三视图求面积、体积【专题】11：计算题；36：整体思想；44：数形结合法；：空间位置关系与距离；：立体几何【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是以侧视图为底面的一个三棱柱，切去两个三棱锥所得的组合体，进而可得体积【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是以侧视图为底面的一个三棱柱，切去两个三棱锥所得的组合体，侧视图的面积，棱柱的高为5，切去的两个棱锥高均为1，故组合体的体积，故选：【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键5（5分）某产品的广告费用与销售额的不完整统计数据如表：广告费用（万元）345销售额（万元）2228若已知回归直线方程为，则表中的值为A40B39C38D37【考点】：线性回归方程【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；：概率与统计【分析】求出数据中心，代入回归方程解出【解答】解：由题意，回归方程过样本平均数点，可求出代入得；，则，故选：【点评】本题考查了线性回归方程的特点，属于基础题6（5分）将4本完全相同的小说，1本诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本书，则不同分法有A24种B28种C32种D16种【考点】：计数原理的应用【专题】11：计算题；32：分类讨论；：数学模型法；：排列组合【分析】分二类，有一个人分到一本小说和一本诗集，有一个人分到两本小说，根据分类计数原理可得【解答】解：第一类，每位同学各分1本小说，再把1本诗集全部分给4名同学任意一个，共有4种方法，第二类，这本诗集单独分给其中一位同学，4相同的小说，分给另外3个同学，共有种，根据分类计数原理，共有种，故选：【点评】本题考查了分类和分步计数原理，关键是分类，属于中档题7（5分）已知直线与圆交于，两点且，则A2BCD【考点】：平面向量数量积的性质及其运算；：直线与圆的位置关系【专题】：平面向量及应用【分析】由题意可得弦长对的圆心角等于，故弦心距等于半径的倍，再利用点到直线的距离公式求得的值【解答】解：由题意可得弦长对的圆心角等于，故弦心距等于半径的倍，等于，故有，求得，故选：【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质，弦长公式、点到直线的距离公式的应用，属于基础题8（5分）已知函数，（a）（b），则的最小值等于ABCD【考点】：对数函数图象与性质的综合应用【专题】59：不等式的解法及应用【分析】根据对数的运算性质，可得，进而可将，进而根据基本不等式，可得答案【解答】解：，（a）（b），则，则，即故的最小值等于故选：【点评】本题考查的知识点是对数的性质，基本不等式，其中根据已知得到是解答的关键9（5分）已知两点，若直线上存在点，使，则称该直线为“型直线”给出下列直线：其中为“型直线”的是ABCD【考点】：曲线与方程【专题】11：计算题；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据双曲线的定义，可得点的轨迹是以、为焦点，的双曲线，由此算出双曲线的方程为再分别判断双曲线与四条直线的位置关系，可得只有的直线上存在点满足型直线的条件，由此可得答案【解答】解：点，点使，点的轨迹是以、为焦点，的双曲线可得，双曲线的方程为双曲线的渐近线方程为直线与双曲线没有公共点，直线经过点斜率，与双曲线也没有公共点而直线、与直线都与双曲线有交点因此，在与上存在点使，满足型直线的条件只有正确故选：【点评】本题给出“型直线”的定义，判断几条直线是否为型直线，着重考查了双曲线的定义标准方程、直线与双曲线的位置关系等知识，属于基础题10（5分）定义在上的函数满足，任意的，都有是的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；：函数的图象与图象的变换；：函数单调性的性质与判断；：利用导数研究函数的单调性【专题】11：计算题【分析】由题意可得的图象关于直线对称，在，上是增函数，在上是减函数根据任意的，都有，可得 由可得，即离对称轴较远，故，由此得出结论【解答】解：，即函数的图象关于直线对称又因，故函数在，上是增函数再由对称性可得，函数在上是减函数任意的，都有，故和在区间上，反之，若，则有，故离对称轴较远，离对称轴较近，由函数的图象的对称性和单调性，可得综上可得，“任意的，都有”是“”的充要条件，故选：【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数的图象的对称性的应用，充分条件、必要条件、充要条件的定义，属于中档题11（5分）如图，已知直线与抛物线相交于、两点，且、两点在抛物线准线上的射影分别是、，若，则的值是ABCD【考点】：直线与圆锥曲线的综合【专题】：空间向量及应用【分析】直线恒过定点，由此推导出，由此能求出点的坐标，从而能求出的值【解答】解：设抛物线的准线为直线恒过定点如图过、分别作于，于，由，则，点为的中点、连接，则，点的横坐标为，点的坐标为，把，代入直线，解得故选：【点评】本题考查直线与圆锥曲线中参数的求法，考查抛物线的性质，是中档题，解题时要注意等价转化思想的合理运用12（5分）设为函数的导函数，已知，（e），则下列结论正确的是A在单调递增B在单调递减C在上有极大值D在上有极小值【考点】：利用导数研究函数的单调性；：利用导数研究函数的极值【专题】53：导数的综合应用【分析】第一步：在两边同时除以，使得左边为；第二步：令，用表示，并写出；第三步：对的分子再求导，从而求出分子的最大值；第四步：判断的符号，即可判断的单调性【解答】解：由，得，从而，令，则，令，则，令，即，得时，为增函数；令，即，得时，为减函数；由（e），得（e）（e）在上有极大值（e）（e），也是最大值，即，当且仅当时，在上为减函数故选：【点评】本题考查了函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，难度较大“在两边同时除以”是解题的突破口，“求的极大值”是关键二、填空题（本大题给共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填在相应的横线上）13（5分）已知函数的图象如图所示，它与直线在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为，则的值为【考点】67：定积分、微积分基本定理【专题】11：计算题【分析】由图可知得到的解确定出的值，确定出的解析式，由于阴影部分面积为，利用定积分求面积的方法列出关于的方程求出并判断的取舍即可【解答】解：由图知方程有两个相等的实根，于是，有，又，得故答案为：【点评】考查学生利用定积分的方法求平面图形面积的能力14（5分）已知点，满足不等式组，若恒成立，则实数的取值范围是，【考点】：简单线性规划【专题】44：数形结合法；59：不等式的解法及应用【分析】画出不等式满足的平面区域，由恒成立，结合图形确定出的范围即可【解答】解：满足不等式组的平面区域如右图所示，由于对任意的实数、，不等式恒成立，根据图形，可得斜率或，解得：，则实数的取值范围是，故答案为：，【点评】此题考查了简单线性规划，画出正确的图形是解本题的关键15（5分）如图，在中，、边上的高分别为、，垂足分别是、，则以、为焦点且过、的椭圆与双曲线的离心率分别为，则的值为【考点】：双曲线的性质【专题】11：计算题；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据题意设出，进而根据椭圆的定义可求得和的关系式，求得椭圆的离心率；利用双曲线的性质，求得和关系，求得双曲线的离心率，然后求得二者离心率倒数和【解答】解：设，则在椭圆中，有，而在双曲线中，有，故答案为：【点评】题给出椭圆、双曲线满足的条件，求它们的离心率之和着重考查了解直角三角形、椭圆和双曲线的定义与简单几何性质等知识，属于中档题16（5分）如图，将自然数按如下规则“放置”在平面直角坐标系中，使其满足条件：每个自然数“放置”在一个“整点”（横纵坐标均为整数的点）上；0在原点，1在点，2在点，3在点，4在点，5在点，即所有自然数按顺时针“缠绕”在以“0”为中心的“桩”上，则放置数字，的整点坐标是【考点】：归纳推理【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；：推理和证明【分析】根据条件寻找规律，归纳出其中奇数平方坐标的位置出现的规律，即可得到答案【解答】解：观察已知中点处标1，即，点处标9，即，点处标25，即，由此推断点处标，故放置数字，的整点坐标是故答案为：【点评】本题考查的知识点是归纳推理，其中根据已知平面直角坐标系的格点的规则，找出表上数字标签所示的规律，是解答的关键考查学生的观察能力三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（12分）已知命题：函数的值域为，命题：方程在，上有解，若命题“或”是假命题，求实数的取值范围【考点】：复合命题及其真假【专题】35：转化思想；59：不等式的解法及应用；：简易逻辑【分析】当为真时，函数的值域为，可得，解得当为真时，当时，不符合条件；当时，有或由题意可得：或解得范围，“或”假，即假且假，即可得出【解答】解：当为真时，函数的值域为，解得或当为真时，当时，不符合条件；当时，有或或，解得或，或，即或“或”假，即假且假，解得且的取值范围为且【点评】本题考查了函数的性质、不等式与方程的解法、简易逻辑的判断方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18（12分）为及时了解适龄公务员对开放生育二胎政策的态度，某部门随机调查了90位30岁到40岁的公务员，得到情况如表：（1）完成表格，并判断是否有以上的把握认为“生二胎意愿与性别有关”，并说明理由；（2）现把以上频率当作概率，若从社会上随机独立抽取三位30岁到40岁的男公务员访问，求这三人中至少有一人有意愿生二胎的概率（2）已知15位有意愿生二胎的女性公务员中有两位来自省妇联，该部门打算从这15位有意愿生二胎的女性公务员中随机邀请两位来参加座谈，设邀请的2人中来自省女联的人数为，求的公布列及数学期望男性公务员女性公务员总计有意愿生二胎3015无意愿生二胎2025总计附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828【考点】：独立性检验；：古典概型及其概率计算公式；：离散型随机变量及其分布列；：离散型随机变量的期望与方差【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；：概率与统计【分析】（1）直接利用运算法则求解，判断生二胎意愿与性别是否有关的结论（2）利用独立重复试验真假求解所求的结果即可（3）求出的可能值，求出概率，得到分布列，然后求解期望【解答】解：（1）由于故没有以上的把握认为“生二胎意愿与性别有关”（2）由题意可得，一名男公务员要生二胎意愿的概率为，无意愿的概率为，记事件：这三人中至少有一人要生二胎，且各人意愿相互独立则（A）答：这三人中至少有一人有意愿生二胎的概率为：（3）可能的取值为0，1，2；012【点评】本题考查独立检验，离散性随机变量的分布列，期望的求法，考查转化思想以及计算能力19（12分）如图，在几何体中，四边形为矩形，平面平面，（1）求证：平面平面；（2）点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的取值范围【考点】：平面与平面垂直；：二面角的平面角及求法【专题】：空间位置关系与距离；：空间角【分析】（1）由已知条件利用勾股定理求出由平面平面，得到平面由此能证明平面平面（2）建立分别以直线，为轴，轴，轴的空间直角坐标系，令，利用向量法能求出的取值范围【解答】（1）证明：在四边形中，平面平面，平面平面，平面，平面又平面，平面平面（5分）（2）解：由（1）可建立分别以直线，为轴，轴，轴的如图所示的空间直角坐标系，令，则，0，0，1，0，1，设，为平面的一个法向量，由，得取，则，0，是平面的一个法向量，（10分），当时，有最小值，当时，有最大值（12分）【点评】本题考查平面与平垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用20（12分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，（）求椭圆的标准方程；（）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于、两点，交轴于点，若，求证：为定值【考点】：椭圆的性质【专题】35：转化思想；49：综合法；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）设出椭圆方程，由抛物线的焦点坐标是即，根据离心率公式，求得，求得椭圆的标准方程；（）根据向量的坐标表示分别求得和点坐标，代入椭圆方程求得关于和的一元二次方程，根据韦达定理即可求得，即可证明为定值【解答】解：设椭圆的方程为，由抛物线的焦点坐标是又有，椭圆的方程为；（4分）证明：设、点的坐标分别为，可知右焦点的坐标为，即，（6分）将点坐标代入到椭圆方程中，得，去分母整理得，（9分）同理，可得，是方程的两个根，为定值 （12分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，抛物线的焦点坐标，向量的坐标表示，考查一元二次方程根与系数的关系，考查计算能力，属于中档题21（12分）已知函数（1）若，求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）若，求在区间，上的最小值；（3）若函数有两个极值点，求证：【考点】：利用导数研究函数的最值；：利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】33：函数思想；49：综合法；52：导数的概念及应用【分析】（1）求出的导函数，切线斜率（1），利用切线的定义，即可求出切线方程；（2）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可；（3）函数有两个极值点、，即导函数有两个不同的实数根、，对进行分类讨论，令，构造函数，利用函数的单调性证明不等式【解答】解：（1）当时，（1），（1），曲线在，（1）处的切线方程为；（2）时，当时，在，增，最小值为；当时，令，解得：，令，解得：，在，减，增，最小值为证明：（3），函数有两个极值点、，即有两个不同的实根，当时，单调递增，不可能有两个不同的实根；当时，设，若时，单调递增，若时，单调递减，不妨设，先证，即证，即证令，即证设，则函数在上单调递减，（1），又，【点评】本题考查了，利用导数求函数的切线，运用分类讨论，等价转化思想证明不等式是一道导数综合题，难题较大请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号选修4-1：几何证明选讲22（10分）如图，圆与圆交于，两点，以为切点作两圆的切线分别交圆和圆于，两点，延长延长交圆于点，延长交圆于点已知，（1）求的长；（2）求【考点】：弦切角；：与圆有关的比例线段【专题】：立体几何【分析】（1）根据弦切角定理，推导出，由此能求出的长（2）根据切割线定理，推导出，得，由此能求出【解