高考数学 选修44 第二节参数方程课件 理.ppt

第二节参数方程 1 参数方程的概念及与普通方程的互化 1 参数方程的概念一般地 在取定的平面直角坐标系xoy中 如果一条曲线l上 的坐标 x y 的每个分量都是某个变量t的函数 即 而且对于t的 由方程组确定的点 x y 在l上 则称方程组是曲线l的参数方程 联系x y之间关系的中介变量t称为参数方程的参变量 简称 任意一点 每个允许值 参数 2 参数方程与普通方程的互化 参数方程与普通方程是曲线的两种不同的表达方式 一般地 可通过消去参数而从参数方程得到普通方程 常用代入 加减等消元方法 熟悉一些常见恒等式 往往能从整体上把握 简化消元过程 如 sin2 cos2 1 等 如果知道x y中的一个与参数t的关系 如x f t 把其代入普通方程 求出另一个与参数t的关系y g t 则就是曲线的参数方程 即时应用 1 曲线 t为参数 的焦点坐标为 2 曲线 t为参数 的普通方程为 解析 1 消去参数t 得到曲线的普通方程为x2 4y 故焦点f 0 1 2 求平方差 消去参数t 得到x2 y2 2t 2 t 2 2t 2 t 2 4 即y2 x2 4 y 2 答案 1 0 1 2 y2 x2 4 y 2 2 直线的参数方程过xoy平面上定点m0 x0 y0 与x轴正向夹角为 的直线l的参数方程为 其中参数t的绝对值等于直线上的动点m到定点m0的距离 0 t t是参数 即时应用 1 直线 t为参数 的倾斜角为 2 当参数t 2时 直线上的点m与点a 2 3 之间的距离为 解析 1 将直线的参数方程化为标准形式为故倾斜角 120 2 由直线的参数方程的几何意义 得 am t 2 答案 1 120 2 2 3 圆锥曲线的参数方程 1 圆的参数方程以m0 x0 y0 为圆心 以r 0为半径的圆的参数方程为 椭圆的参数方程椭圆 1 a b 0 的参数方程为 热点考向1参数方程与普通方程的互化及应用 方法点睛 参数方程与普通方程互化的注意事项 1 把参数方程化为普通方程 需要根据其结构特征 选取适当的消参方法 常见的消参方法有 代入消参法 加减消参法 平方和 差 消参法 乘法消参法等 2 把曲线c的普通方程f x y 0化为参数方程的关键 一是适当选取参数 二是确保互化前后方程的等价性 3 与圆 椭圆上的点有关的最值问题 常常运用圆 椭圆的参数方程转化为三角函数的性质问题解决 例1 2012 福州模拟 已知圆的极坐标方程为 2 4 cos 5 0 1 将圆的极坐标方程化为普通方程 并选择恰当的参数写出它的参数方程 2 若点p x y 在该圆上 求x 的最大值和最小值 解题指南 1 利用公式及 2 x2 y2将极坐标方程化为普通方程 转化为参数方程 2 由圆的参数方程转化为三角函数求最大值和最小值 规范解答 1 即 圆的参数方程为 为参数 2 由 1 得 的最大值为8 最小值为 4 反思 感悟 1 圆与椭圆的参数方程与普通方程互化的依据是三角函数的基本关系式 sin2 cos2 1 2 关于圆 椭圆上的点的最值问题 常常运用参数方程转化为三角函数的辅助角公式求解 即asin bcos 其中tan a 0 且角 的终边过点 a b 变式训练 已知直线c1 t为参数 圆c2 为参数 1 当 时 求c1与c2的交点坐标 2 过坐标原点o作c1的垂线 垂足为a p为oa的中点 当 变化时 求p点轨迹的参数方程 并指出它是什么曲线 解析 1 当 时 c1的普通方程为y x 1 c2的普通方程为x2 y2 1 联立方程组 解得c1与c2的交点为 1 0 和 2 c1的普通方程为xsin ycos sin 0 a点坐标为 sin2 cos sin 故当 变化时 p点轨迹的参数方程为 为参数 p点轨迹的普通方程为 故p点的轨迹是圆心为 0 半径为的圆 变式备选 设点p是椭圆2x2 3y2 12上的一个动点 试求x 2y的取值范围 解析 由椭圆的方程2x2 3y2 12 可设x cos y 2sin 代入x 2y 得 x 2y cos 2 2sin sin 其中tan 又因 1 sin 1 故 x 2y 所以x 2y的取值范围是 热点考向2利用参数方程求曲线交点问题 方法点睛 直线 圆 椭圆参数方程中参数的几何意义在直线的标准参数方程中 t的几何意义是表示直线上的点到定点的距离 在圆的参数方程中 表示圆心角 在椭圆的参数方程中 表示离心角 由此知识可直接计算直线与圆 椭圆等曲线的交点问题 例2 已知直线l的参数方程为 t为参数 曲线c的极坐标方程为 2cos2 1 1 求曲线c的普通方程 2 求直线l被曲线c截得的弦长 解题指南 利用直角坐标与极坐标之间的互化公式 求曲线c的普通方程 再由直线标准参数方程中参数的几何意义 求直线l被曲线c截得的弦长 规范解答 1 由曲线c 2cos2 2 cos2 sin2 1 化成普通方程为x2 y2 1 2 由得 用t 代替2t得直线的标准参数方程 t 为参数 把 代入 得 整理得t 2 4t 6 0 设其两根为t 1 t 2 则t 1 t 2 4 t 1t 2 6 从而弦长为 t 1 t 2 反思 感悟 有关直线的参数方程 根据t的几何意义 有以下结论设a b是直线上任意两点 它们对应的参数分别为ta和tb 则ab tb ta 线段ab的中点所对应的参数值等于 变式训练 在直角坐标系xoy中 直线l的参数方程为 t为参数 若以o为极点 x轴正半轴为极轴建立极坐标系 则曲线c的极坐标方程为 求直线l被曲线c所截的弦长 解析 将方程为参数 化为普通方程为3x 4y 1 0 将方程化为普通方程为x2 y2 x y 0 表示圆心为 半径为r 的圆 则圆心到直线的距离d 弦长 热点考向3极坐标方程和参数方程的综合问题 方法点睛 1 直线的参数方程中参数的几何意义设e表示直线向上的方向的单位向量 如图 te 当参数t 0时 与e方向相同 当参数t 0时 与e方向相反 因此 总有 t 所以参数t为点m0 x0 y0 到直线上点m x y 的有向线段的数量 即方向 长度 这就是参数t的几何意义 2 直线参数方程的常用公式 根据直线的参数方程中t的几何意义 有以下结论 1 设a b是直线上任意两点 它们对应的参数分别为ta和tb 则 ab tb ta 2 线段ab的中点所对应的参数值等于 例3 2012 新课标全国卷 已知曲线c1的参数方程是 为参数 以坐标原点为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 曲线c2的极坐标方程是 2 正方形abcd的顶点都在c2上 且a b c d依逆时针次序排列 点a的极坐标为 1 求点a b c d的直角坐标 2 设p为c1上任意一点 求 pa 2 pb 2 pc 2 pd 2的取值范围 规范解答 1 由已知可得即 2 设p 2cos 3sin 令s pa 2 pb 2 pc 2 pd 2 则s 16cos2 36sin2 16 32 20sin2 因为0 sin2 1 所以s的取值范围是 32 52 变式训练 已知曲线c的极坐标方程是 4cos 以极点为平面直角坐标系的原点 极轴为x轴的正半轴 建立平面直角坐标系 直线l的参数方