2017年湖北省襄阳五中高考数学三模试卷（理科）（含解析）

2017年湖北省襄阳五中高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1（5分）设集合，则AB，C，D2（5分）已知复数在复平面上对应的点在直线上，复数是虚数单位），则A1BCD3（5分）若，则的值为ABC5D4（5分）在，内随机取出两个数，则这两个数满足的概率为ABCD5（5分）若圆与直线交于不同的两点，则实数的取值范围为A，B，C，D，6（5分）70年代中期，美国各所名牌大学校园内，人们都像发疯一般，夜以继日，废寝忘食地玩一个数学游戏这个游戏十分简单：任意写出一个自然数，并且按照以下的规律进行变换：如果是个奇数，则下一步变成；如果是个偶数，则下一步变成不单单是学生，甚至连教师、研究员、教授与学究都纷纷加入为什么这个游戏的魅力经久不衰？因为人们发现，无论是怎样一个数字，最终都无法逃脱回到谷底1准确地说，是无法逃出落入底部的循环，永远也逃不出这样的宿命这就是著名的“冰雹猜想”按照这种运算，自然数27经过十步运算得到的数为A142B71C214D1077（5分）在中，分别为内角，的对边，且，则的值为ABCD8（5分）某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则图中的值为A3B1C2D9（5分）运行如下程序框图，如果输入的，则输出属于A，B，C，D，10（5分）已知向量，若与的夹角为，且，则实数的值为ABC6D411（5分）如图，在四边形中，现沿对角线折起，使得平面平面，此时点，在同一个球面上，则该球的体积是ABCD12（5分）已知函数存在极值，若这些极值的和大于，则实数的取值范围为ABCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）若，其中，则的值为14（5分）已知函数，若，实数，满足约束条件，则目标函数的最大值为 15（5分）过点的直线交抛物线于，两点，若抛物线的焦点为，则面积的最小值为 16（5分）以下四个命题：已知随机变量，若，则的值为；设、，则“”是“”的充分不必要条件；函数的零点个数为1；命题，则为，其中真命题的序号为 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（12分）已知数列为公差不为0的等差数列，满足，且，成等比数列（1）求的通项公式；（2）若数列满足，且，求数列的前项和18（12分）已知在四棱锥中，平面，是边长为2的等边三角形，为的中点（1）求证：；（2）若直线与平面所成角的正切值为2，求二面角的大小19（12分）近年来，微信越来越受欢迎，许多人通过微信表达自己、交流思想和传递信息，微信是现代生活中进行信息交流的重要工具而微信支付为用户带来了全新的支付体验，支付环节由此变得简便而快捷某商场随机对商场购物的100名顾客进行统计，其中40岁以下占，采用微信支付的占，40岁以上采用微信支付的占（）请完成下面列联表：40岁以下40岁以上合计使用微信支付未使用微信支付合计并由列联表中所得数据判断有多大的把握认为“使用微信支付与年龄有关”？（）若以频率代替概率，采用随机抽样的方法从“40岁以下”的人中抽取2人，从“40岁以上”的人中抽取1人，了解使用微信支付的情况，问至少有一人使用微信支付的概率为多少？参考公式：，参考数据：0.1000.0500.0100.0012.7603.8416.63510.82820（12分）已知椭圆的两个焦点为，是椭圆上一点，若，（1）求椭圆的方程；（2）点是椭圆上任意一点，、分别是椭圆的左、右顶点，直线，与直线分别交于，两点，试证：以为直径的圆交轴于定点，并求该定点的坐标21（12分）已知函数（1）如果对于任意的，恒成立，求实数的取值范围；（2）若，过点，作函数的图象的所有切线，令各切点的横坐标按从小到大构成数列，求数列的所有项之和请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系中，点，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为直线的参数方程为为参数）（）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（）设直线与曲线的两个交点分别为，求的值选修4-5：不等式选讲23已知函数（）解不等式；（）若关于的不等式在上的解集为，求实数的取值范围2017年湖北省襄阳五中高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1（5分）设集合，则AB，C，D【考点】：交、并、补集的混合运算【专题】38：对应思想；：转化法；：集合【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可【解答】解：，则或，则，故选：【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键2（5分）已知复数在复平面上对应的点在直线上，复数是虚数单位），则A1BCD【考点】：复数的运算【专题】34：方程思想；35：转化思想；：数系的扩充和复数【分析】复数在复平面上对应的点在直线上，可得，解得代入利用复数的运算法则、周期性即可得出【解答】解：复数在复平面上对应的点在直线上，解得复数，则故选：【点评】本题考查了复数的运算法则、周期性、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3（5分）若，则的值为ABC5D【考点】：三角函数的恒等变换及化简求值【专题】35：转化思想；：转化法；56：三角函数的求值【分析】根据题意，利用同角的三角函数关系，把化为正切函数，求值即可【解答】解：，故选：【点评】本题考查了同角的三角函数关系与三角函数求值问题，是基础题4（5分）在，内随机取出两个数，则这两个数满足的概率为ABCD【考点】：几何概型【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；：概率与统计【分析】基本事件满足的可行域为：，设事件表示“这两个数满足”作出可行域，利用几何概型能求出这两个数满足的概率【解答】解：在，内随机取出两个数，基本事件满足的可行域为：，设事件表示“这两个数满足”作出可行域如右图，则这两个数满足的概率：（A）故选：【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意几何概型的合理运用5（5分）若圆与直线交于不同的两点，则实数的取值范围为A，B，C，D，【考点】：直线与圆的位置关系【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；：直线与圆【分析】求出圆的圆心与半径，利用点到直线的距离公式列出不等式求解即可【解答】解：圆的圆心，半径为，圆与直线交于不同的两点，可得，解得，故选：【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力6（5分）70年代中期，美国各所名牌大学校园内，人们都像发疯一般，夜以继日，废寝忘食地玩一个数学游戏这个游戏十分简单：任意写出一个自然数，并且按照以下的规律进行变换：如果是个奇数，则下一步变成；如果是个偶数，则下一步变成不单单是学生，甚至连教师、研究员、教授与学究都纷纷加入为什么这个游戏的魅力经久不衰？因为人们发现，无论是怎样一个数字，最终都无法逃脱回到谷底1准确地说，是无法逃出落入底部的循环，永远也逃不出这样的宿命这就是著名的“冰雹猜想”按照这种运算，自然数27经过十步运算得到的数为A142B71C214D107【考点】：归纳推理【专题】29：规律型；38：对应思想；：定义法；：推理和证明【分析】根据要求一步一步的推即可得到答案【解答】解：，故选：【点评】本题考查了归纳推理的问题，属于基础题7（5分）在中，分别为内角，的对边，且，则的值为ABCD【考点】：余弦定理【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形；59：不等式的解法及应用【分析】利用余弦定理与不等式结合的思想求解，的关系即可求解的值【解答】解：根据，余弦定理，由可得：化简：，此时，故得，即，故选：【点评】本题主要考查了存在性思想，余弦定理与不等式结合的思想，界限的利用属于中档题8（5分）某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则图中的值为A3B1C2D【考点】：由三视图求面积、体积【专题】31：数形结合；：转化法；：空间位置关系与距离【分析】如图所示，该几何体为三棱柱，去掉一个三棱锥后剩下的几何体其中，侧面是正方形，为的中点，【解答】解：如图所示，该几何体为三棱柱，去掉一个三棱锥后剩下的几何体其中，侧面是正方形，为的中点，该几何体的体积为，解得故选：【点评】本题考查了三棱锥与三棱柱的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9（5分）运行如下程序框图，如果输入的，则输出属于A，B，C，D，【考点】：程序框图【专题】11：计算题；27：图表型；：试验法；：算法和程序框图【分析】根据程序框图的功能进行求解即可【解答】解：本程序为条件结果对应的表达式为，则当输入的，则当，时，当，时，综上，故选：【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件结构，结合分段函数的表达式是解决本题的关键，属于基础题10（5分）已知向量，若与的夹角为，且，则实数的值为ABC6D4【考点】：平面向量数量积的性质及其运算【专题】35：转化思想；49：综合法；：平面向量及应用【分析】根据两个向量垂直的性质、两个向量的数量积的定义，先求得的值，再根据求得实数的值【解答】解：向量，若与的夹角为，实数，故选：【点评】本题主要考查了向量垂直与数量积的关系、向量三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11（5分）如图，在四边形中，现沿对角线折起，使得平面平面，此时点，在同一个球面上，则该球的体积是ABCD【考点】：球的体积和表面积；：球内接多面体【专题】31：数形结合；44：数形结合法；：空间位置关系与距离【分析】根据两平面的形状寻找外球球的球心位置，利用勾股定理求出外接球半径，从而可得出球的体积【解答】解：在图2中，取的中点，连结，平面平面，平面平面，平面，平面，棱锥外接球的球心在直线上，设，则，解得，外接球的半径，外接球的体积故选：【点评】本题考查了棱锥与外接球的位置关系，球的体积计算，属于中档题12（5分）已知函数存在极值，若这些极值的和大于，则实数的取值范围为ABCD【考点】：利用导数研究函数的极值【专题】35：转化思想；：转化法；53：导数的综合应用【分析】求函数的定义域，求出，利用导数和极值之间的关系将条件转化：在上有根，即即在上有根，根据二次方程根的分布问题列出方程组，根据条件列出关于的不等式，求出的范围【解答】解：，则，函数存在极值，在上有根，即在上有根，显然当时，无极值，不合题意；方程必有两个不等正根，记方程的两根为，是函数的两个极值，由题意得，化简解得，满足，又，即，的取值范围是，故选：【点评】本题考查导数与函数的单调性、极值的关系，以及二次方程根的分布问题，考查转化思想，化简、变形能力，综合性大、难度大，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）若，其中，则的值为1【考点】67：定积分、微积分基本定理【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；：二项式定理【分析】首先求出，然后对赋值，求系数和【解答】解：，所以，由可以看出的系数为1，所以令，得到；故答案为：1【点评】本题考查了二项式定理的运用以及利用赋值法求展开式的系数14（5分）已知函数，若，实数，满足约束条件，则目标函数的最大值为8【考点】：简单线性规划【专题】31：数形结合；44：数形结合法；：转化法；59：不等式的解法及应用【分析】根据分段函数的表达式，求出的值，作出不等式组对应的平面区域，利用分式函数的性质结合直线斜率的公式进行求解即可【解答】解：，则（4），则约束条件为，作出不等式组对应的平面区域如图：，设，则的几何意义是区域内的点到定点的斜率，则，由图象知的斜率最大，由得，即，此时，则，即目标函数的最大值为8，故答案为：8【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件求出的值，利用分式的应用转化为直线斜率问题是解决本题的关键15（5分）过点的直线交抛物线于，两点，若抛物线的焦点为，则面积的最小值为【考点】：抛物线的性质【专题】35：转化思想；：转化法；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】方法一：分类讨论，当直线的斜率不存在时，求得和点坐标，根据三角形的面积公式，即可求得面积，当直线斜率存在时，设直线的方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得面积的取值范围，综上即可求得面积的最小值；方法二：设直线，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得三角形的面积的最小值【解答】解：方法一：抛物线焦点，当直线的斜率不存在时，此时将代入抛物线中，得，解得，则点，的坐标为，面积，当直线的存在，且不为0，设直线，联立，消去，得，且，则由韦达定理，面积，综上可知：则面积的最小值，故答案为：方法二：抛物线焦点，设直线，整理得：，则，面积，当时，取最小值，最小值为，面积的最小值，故答案为：【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查直线方程的表示，方法二比方法一更简单，且避免分类讨论，选择合适的方程，会简化计算，属于中档题16（5分）以下四个命题：已知随机变量，若，则的值为；设、，则“”是“”的充分不必要条件；函数的零点个数为1；命题，则为，其中真命题的序号为【考点】：命题的真假判断与应用【专题】35：转化思想；38：对应思想；48：分析法；51：函数的性质及应用；：简易逻辑【分析】由曲线关于轴对称，由概率分布特点，即可判断；运用对数函数和指数函数的单调性，结合充分必要条件的定义，即可判断；画出和的图象，即可判断；由全称命题的否定为特称命题，即可判断【解答】解：已知随机变量，若，则，故错；设、，由于，不一定大于0，则“”是“”的充分不必要条件，故对；由和的图象，可得它们只有一个交点，即函数的零点个数为1，故对；命题，则为，故错故答案为：【点评】本题考查命题的真假判断，主要是正态分布的特点和充分必要条件的判断、及函数的零点个数和命题的否定，考查判断能力和数形结合思想，属于基础题三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（12分）已知数列为公差不为0的等差数列，满足，且，成等比数列（1）求的通项公式；（2）若数列满足，且，求数列的前项和【考点】：数列的求和；：数列递推式【分析】（1）设等差数列的公差为，由，成等比数列可知，又，解得即可得出（2）由数列满足，可得：且，当时，利用等差数列的求和公式即可得出可得，再利用裂项求和方法即可得出【解答】解：（1）设等差数列的公差为，由，成等比数列可知，又，解得，（2）由数列满足，可得：且，当时，对上式也成立，【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18（12分）已知在四棱锥中，平面，是边长为2的等边三角形，为的中点（1）求证：；（2）若直线与平面所成角的正切值为2，求二面角的大小【考点】：直线与平面垂直；：直线与平面所成的角；：二面角的平面角及求法【专题】14：证明题；31：数形结合；41：向量法；：空间位置关系与距离【分析】（1）推导出，从而平面，由此能证明（2）以点为坐标原点，所在直线分别为，轴，过且与直线平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的大小【解答】证明：（1）是等边三角形，为的中点，又平面，平面，平面，（4分）解：（2）如图，以点为坐标原点，所在直线分别为，轴，过且与直线平行的直线为轴，建立空间直角坐标系平面，为直线与平面所成的角（6分）由题意得，即，故，1，1，0，设平面与平面的法向量分别为，则，令，得，同理求得，（10分），二面角的大小为（12分）【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题19（12分）近年来，微信越来越受欢迎，许多人通过微信表达自己、交流思想和传递信息，微信是现代生活中进行信息交流的重要工具而微信支付为用户带来了全新的支付体验，支付环节由此变得简便而快捷某商场随机对商场购物的100名顾客进行统计，其中40岁以下占，采用微信支付的占，40岁以上采用微信支付的占（）请完成下面列联表：40岁以下40岁以上合计使用微信支付未使用微信支付合计并由列联表中所得数据判断有多大的把握认为“使用微信支付与年龄有关”？（）若以频率代替概率，采用随机抽样的方法从“40岁以下”的人中抽取2人，从“40岁以上”的人中抽取1人，了解使用微信支付的情况，问至少有一人使用微信支付的概率为多少？参考公式：，参考数据：0.1000.0500.0100.0012.7603.8416.63510.828【考点】：独立性检验【专题】31：数形结合；：数学模型法；：概率与统计【分析】（）由40岁以下的有人，使用微信支付的有人，40岁以上使用微信支付有人即可完成列联表，根据列联表求得观测值与参考值对比即可求得答案；（）分别求得“40岁以下”的人中抽取2人，这两人使用微信支付的概率，从“40岁以上”的人中抽取1人，这个人使用微信支付的概率，根据独立事件的概率公式，即可求得答案【解答】解：（）由已知可得，40岁以下的有人，使用微信支付的有人，40岁以上使用微信支付有人列联表为：40岁以下40岁以上合计使用微信支付401050未使用微信支付203050合计6040100由列联表中的数据计算可得的观测值为，由于，有的把握认为“使用微信支付与年龄有关”； （5分）（） 若以频率代替概率，采用随机抽样的方法从“40岁以下”的人中抽取2人，这两人使用微信支付分别记为，则（A）（B），从“40岁以上”的人中抽取1人，这个人使用微信支付记为，则（C），显然，相互独立，则至少有一人使用微信支付的概率为故至少有一人使用微信支付的概率为（12分）【点评】本题考查独立性检验的应用，独立事件的概率公式，考查计算能力，属于中档题20（12分）已知椭圆的两个焦点为，是椭圆上一点，若，（1）求椭圆的方程；（2）点是椭圆上任意一点，、分别是椭圆的左、右顶点，直线，与直线分别交于，两点，试证：以为直径的圆交轴于定点，并求该定点的坐标【考点】：平面向量数量积的性质及其运算；：椭圆的性质；：直线与椭圆的综合【专题】34：方程思想；：转化法；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由题意可设椭圆的标准方程为：，由，可得，设，又可得，解出即可得出（2）由（1）得，设，则直线的方程为，它与直线的交点的坐标为，直线的方程为：，它与直线的交点的坐标为再设以为直径的圆交轴于点，则，可得，又即可得出【解答】解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为：，由，设，又，解得：，椭圆的方程为（2）由（1）得，设，则直线的方程为，它与直线的交点的坐标为，直线的方程为：，它与直线的交点的坐标为再设以为直径的圆交轴于点，则，从而，即，即，又，解得故以为直径的圆交轴于定点，该定点的坐标为【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、勾股定理、相互垂直的直线斜率之间的关系、圆的性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题21（12分）已知函数（1）如果对于任意的，恒成立，求实数的取值范围；（2）若，过点，作函数的图象的所有切线，令各切点的横坐标按从小到大构成数列，求数列的所有项之和【考点】：利用导数研究函数的最值；：利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】34：方程思想；：分类法；52：导数的概念及应用；53：导数的综合应用【分析】（1）由题意可得任意的，恒成立，只需当，时，求出，令，求出导数，可得的单调性，及值域，讨论时，时，当时，由单调性确定最小值，即可得到所求的范围；（2）求出的导数，设切点坐标为，可得切线的斜率和方程，代入，可得，令，这两个函数的图象关于点，对称，即可得到所求数列的所有项之和【解答】解：（1）函数，可得，要使任意的，恒成立，只需当，时，令，则对，时恒成立，在，上是增函数，则，当时，恒成立，在，上为增函数，满足题意；当时，在，上有实根，在，上是增函数，则当，时，不符合题意；当时，恒成立，在，上为减函数，不符合题意，即，；（2）函数，设切点坐标为，则切线斜率为，从而切线方程为，即，令，这两个函数的图象关于点，对称，则它们交点的横坐标关于对称，从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列的项也关于成对出现，又在，内共有1008对，每对和为，数列的所有项之和为【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，单调区间、极值和最值