江苏省苏州市第五中学高考数学总复习 第5讲 数列的综合应用课件.ppt

第5讲数列的综合应用 知识梳理1 等差数列和等比数列的综合等差数列中最基本的量是其首项a1和公差d 等比数列中最基本的量是其首项a1和公比q 在等差数列和等比数列的综合问题中就是根据已知的条件建立方程组求解出这两个数列的基本量解决问题的 2 数列和函数 不等式的综合 1 等差数列的通项公式和前n项和公式是 在公差d 0的情况下 关于n的一次和二次函数 2 等比数列的通项公式和前n项和公式在公比q 1的情况下是公比q的指数函数模型 3 数列常与不等式结合 如比较大小 不等式恒成立 求参数范围等 需熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题 3 数列的应用题 1 等差模型 如果增加 或减少 的量是一个固定量时 该模型是等差模型 增加 或减少 的量就是公差 2 等比模型 如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时 该模型是等比模型 这个固定的数就是公比 3 递推数列模型 如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定 随项的变化而变化时 应考虑是an与an 1的递推关系 还是sn与sn 1之间的递推关系 辨析感悟1 等差数列与等比数列的综合问题 1 在等差数列 an 中 首项a1公差d 前n项和sn 通项an 项数n 这五个元素中只要已知其中的三个 就一定能够求出另外两个 2 在等比数列 an 中 首项a1 公比q 前n项和sn 通项an 项数n 这五个元素中只要已知其中的三个 就一定能够求出另外两个 3 一个细胞由1个分裂为2个 则经过5次分裂后的细胞总数为63 2 增长率与存贷款利息问题 4 某厂生产总值月平均增长率为q 则年平均增长率为12q 5 采用单利计息与复利计息的利息都一样 感悟 提升 1 一个区别 单利计息 与 复利计息 单利计息属于等差数列模型 复利计息属于等比数列模型 复利也就是通常说的 利滚利 计算本利和的公式是本利和 本金 1 利率 存期 如 5 2 一个防范数列的实际应用问题 要学会建模 对应哪一类数列 进而求解 如 3 4 考点一等差 等比数列的综合问题 例1 2013 新课标全国 卷 已知等差数列 an 的公差不为零 a1 25 且a1 a11 a13成等比数列 1 求 an 的通项公式 2 求a1 a4 a7 a3n 2 解 1 设 an 的公差为d 由题意得 a a1a13 即 a1 10d 2 a1 a1 12d 于是d 2a1 25d 0 又a1 25 所以d 2或0 舍去 故an 2n 27 规律方法对等差 等比数列的综合问题的分析 应重点分析等差 等比数列的通项及前n项和 分析等差 等比数列项之间的关系 往往用到转化与化归的思想方法 解 1 由题意 得a3 1 a1 5 a7 1 a1 13 所以由 a3 1 2 a1 1 a7 1 得 a1 5 2 a1 1 a1 13 解得a1 3 所以an 3 2 n 1 即an 2n 1 考点二数列在实际问题中的应用 例2 2012 湖南卷 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产 该企业第一年年初有资金2000万元 将其投入生产 到当年年底资金增长了50 预计以后每年资金年增长率与第一年的相同 公司要求企业从第一年开始 每年年底上缴资金d万元 并将剩余资金全部投入下一年生产 设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元 1 用d表示a1 a2 并写出an 1与an的关系式 2 若公司希望经过m m 3 年使企业的剩余资金为4000万元 试确定企业每年上缴资金d的值 用m表示 规律方法用数列知识解相关的实际问题 关键是列出相关信息 合理建立数学模型 数列模型 判断是等差数列还是等比数列模型 求解时 要明确目标 即搞清是求和 求通项 还是解递推关系问题 所求结论对应的是解方程问题 解不等式问题 还是最值问题 然后经过数学推理与计算得出的结果 放回到实际问题中进行检验 最终得出结论 训练2 十一 期间 北京十家重点公园将举行免费游园活动 北海公园免费开放一天 早晨6时30分有2人进入公园 接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来 第二个30分钟内有8人进去2人出来 第三个30分钟内有16人进去3人出来 第四个30分钟内有32人进去4人出来 按照这种规律进行下去 到上午11时30分公园内的人数是 答案4039 规律方法解决数列与函数 不等式的综合问题的关键是从题设中提炼出数列的基本条件 综合函数与不等式的知识求解 数列是特殊的函数 以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点 1 用好等差数列和等比数列的性质可以降低运算量 减少差错 2 理解等差数列 等比数列定义 基本量的含义和应用 体会两者解题中的区别 3 注意数列与函数 方程 三角 不等式等知识的融合 了解其中蕴含的数学思想 4 在现实生活中 人口的增长 产量的增加 成本的降低 存贷款利息的计算 分期付款问题等 都可以利用数列来解决 因此要会在实际问题中抽象出数学模型 并用它解决实际问题 突破1 采用特殊化思想 选定an是关键 突破2 逐一验证 解析利用特殊化思想 选an 2n判定 不妨令an 2n 因为f x x2 所以f an 4n 显然 f 2n 是首项为4 公比为4的等比数列 答案 反思感悟 1 本题解题的关键是抓住新定义中 对任意给定的等比数列 an 这一条件将问题特殊化 即取特殊的等比数列an 2n 可将问题迎刃而解 2 对于这类问题 我们首先应弄清问题