不等式的一个母题

Y.P.M数学竞赛讲座 1 不等式的一个母题 本文给出三元代数不等式与三角形的三角不等式的联系与互换,试图给出三元代数不等式的母题及其证明思路. .预备知识: 1.三角形中的等式:例1:在ABC中,求证:tantan+tantan+tantan=1;cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1;tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC;解析:例2:在ABC中,求证:sinA+sinB+sinC=4coscoscos;cosA+cosB+cosC=1+4sinsinsin;sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC;cos2A+cos2B+cos2C=-1-4cosAcosBcosC;cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1.解析: 2.琴生不等式: 1.凸凹函数的定义:若x1,x2D,不等式f()恒成立,等号当且仅当x1=x2时成立.则称f(x)是D内的凸函数;若x1,x2D,不等式f()恒成立,等号当且仅当x1=x2时成立.则称f(x)是D内的凹函数; 2.凸凹函数的性质(琴生不等式):若f(x)是凸函数,则:f(),等号当且仅当x1=x2=xn时成立;若f(x)是凹函数,则:f(),等号当且仅当x1=x2=xn时成立. 3.凸凹函数的判定:f(x)是D内的凸函数xD,(x)0恒成立;f(x)是D内的凹函数xD,(x)0恒成立; 3.三角形中的不等式: 1.琴生不等式法例1:在ABC中,求证:cot+cot+cot3;解析:练习:1.在ABC中,sinA+sinB+sinC;cosA+cosB+cosC;sin+sin+sin;cos+cos+cos;2.在ABC中,tan+tan+tan;3.在锐角ABC中,cotA+cotB+cotC; 2.基本不等式法例2:在ABC中,求证:01.解析:练习:1.在ABC中,sin2+sin2+sin21;2cos2+cos2+cos2;2.在ABC中,0sin2A+sin2B+sin2C;cos2A+cos2B+cos2C1.解析:练习:1.在ABC中,cos+coscos.2.在锐角ABC中,cos+cos+cos1+sin+sin+sin.3.在锐角ABC中,cos+cos+cos2. 5.边角转换法例5:在ABC中,求证:sinA+sinB+sinC4sinAsinBsinC. 解析:练习:1.在ABC中,求证:sinCsinAcosA+sinBcosB.2.在ABC中,求证:sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA2sinAsinBsinC.3.在ABC中,求证:+4. 6.代数转换法例6:在ABC中,求证:+. Y.P.M数学竞赛讲座 3 解析:练习:1.在ABC中,+2.2.在ABC中,求证:+1.3.在ABC中,+2. .母题应用: 1.x+y+z=1.例1:(2005年法国数学奥林匹克试题)设x,y,z都是正实数,且x+y+z=1,求证:+.解析:例2:(2008年加拿大数学奥林匹克试题)已知三个正数a,b,c满足:a+b+c=1,求证:+.解析:例3:(1999年波兰数学奥林匹克试题)设a,b,c为正实数,且满足:a+b+c=1,求证:a2+b2+c2+21.解析:练习:1.设x,y,z都是正实数,且x+y+z=1,求证:+.2.设x,y,z都是正实数,且x+y+z=1,求证:xy+yz+zx+21.3.设x,y,z都是正实数,且x+y+z=1,求证:(x+yz)(y+zx)(z+xy)8(x-yz)(y-zx)(z-xy). 2.xy+yz+zx=1.例1:(2005年法国数学奥林匹克试题)设a,b,cR+,且ab+bc+ca=1,证明不等式:+.解析:练习:1.(2004年新加坡数学奥林匹克试题)设0a,b,c0,且a+b+c=abc,证明:+.解析:练习: 4 Y.P.M数学竞赛讲座 1.己知a,b,c0,且a+b+c=abc,证明:+. 4.x2+y2+z2+2xyz=1例1:(数学通报2011年第11期.数学问题2033)a,b,c0,a2+b2+c2+abc=4,p=+,s=a+b+c,t=2+abc.试比较p,s,t的大小,并分别求出p,s,t的最值.解析:练习:1.(笫20届伊朗数学奥林匹克试题)己知x,y,z为正实数,x2+y2+z2+xyz=4,求证:x+y+z3.2.(2011年全国高中数学联赛(B卷加试第三题)试题)设实数a,b,c1,且满足:abc+2a2+2b2+2c2+ca-bc-4a+4b-c=28.求a+b+c的最大值.3.(中等数学2010年6期.数学奥林匹克问题274)己知正实数x,y,z满足+=2,求证:+. 5.不等关系例1:设x,y,z都是正实数,且x+y+z=1,求证:+2.解析:练习:1.设x,y,z都是正实数,且x+y+z=1,求证:+.2.设x,y,z都是正实数,且x+y+z=1,求证:+2.3.(1990年全俄数学奥林匹克试题)证明:对任意的正数a,b,c,都有:+. 6.变式应用例1:(1988年苏联数学奥林匹克试题)设x,y,z都是正实数,且x2+y2+z2=1,求S=+的最小值.解析:练习:1.(数学通报数学问题1830)a,b,c(0,+),a+b+c=2,求证:+.2.(2001年德国数学奥林匹克试题)设a,b,c是正实数,求证:+.3.(2005年全国高中数学联赛试题)设正数a,b,c,x,y,z满足cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c.求函数f(x,y,z)=+的最小值. Y.P.M数学竞赛讲座 1 不等式的一个母题 本文给出三元代数不等式与三角形的三角不等式的联系与互换,试图给出三元代数不等式的母题及其证明思路. .预备知识: 1.琴生不等式:若f(x)是凸函数,则:f(),等号当且仅当x1=x2=xn时成立;若f(x)是凹函数,则:f(),等号当且仅当x1=x2=xn时成立. 2.三角形中的等式:在ABC中,tantan+tantan+tantan=1;cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1;tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC;sinA+sinB+sinC=4coscoscos;cosA+cosB+cosC=1+4sinsinsin;sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC;cos2A+cos2B+cos2C=-1-4cosAcosBcosC;cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1.sinA+sinB+sinC=sinA+sinB+sin(A+B)=2sincos+2sincos=2sin(cos+cos);cosA+cosB+cosC=cosA+cosB-cos(A+B)=2coscos-2cos2+1=2cos(cos-cos)+1;sin2A+sin2B+sin2C=sin2A+sin2B-sin2(A+B)=2sin(A+B)cos(A-B)-2sin(A+B)cos(A+B)=4sinAsinBsinC;cos2A+cos2B+cos2C=cos2A+cos2B+cos2(A+B)=2cos(A+B)cos(A-B)+2cos2(A+B)-1=-1-4cosAcosBcosC. 3.三角形中的不等式: 在ABC中,sinA+sinB+sinC;cosA+cosB+cosC; 在锐角ABC中,tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC3;cotA+cotB+cotC; 在ABC中,sin+sin+sin;cos+cos+cos;tan+tan+tan;cot+cot+cot3; sinAsinBsinC;cosAcosBcosC;sinsinsin;coscoscos;tantantan; 在ABC中,cosA+cosB+cosC1;sin+sin+sin1,在锐角ABC中,sinA+sinB+sinC2. 0sin2A+sin2B+sin2C;cos2A+cos2B+cos2C3;sin2+sin2+sin21;2cos2+cos2+cos2;tan2+tan2+tan21.(a2+b2+c2ab+bc+ca). 证法研究: 1.琴生不等式法例1:在ABC中,求证:cot+cot+cot3;解析:因函数f(x)=cotx在(0,)上为凹函数,由琴生不等式得:cot+cot+cot3cot=3cot=3.当且仅当A=B=C,即x=y=z=时,等号成立.练习:1.在ABC中,sinA+sinB+sinC;cosA+cosB+cosC;sin+sin+sin;cos+cos+cos;2.在ABC中,tan+tan+tan;3.在锐角ABC中,cotA+cotB+cotC; 2.基本不等式法例2:在ABC中,求证:01.解析:cosA+cosB+cosC=1+4sinsinsin1.练习:1.在ABC中,sin2+sin2+sin21;2cos2+cos2+cos2;(sin2+sin2+sin2=-(cosA+cosB+cosC).2.在ABC中,0sin2A+sin2B+sin2C;cos2A+cos2B+cos2C1.解析:在ABC中,cosA+cosB+cosC1.做变换(A,B,C)(-,-,-)得:sin+sin+sin1.练习:1.在ABC中,cos+coscos.(sinA+sinBsinC做变换(A,B,C)(-,-,-)得cos+coscos).2.在锐角ABC中,cos+cos+cos1+sin+sin+sin.(做变换(A,B,C)(-,-,-)得:sinA+sinB+sinC1+cosA+cosB+cosC.sinA+sinB+sinC-(cosA+cosB+cosC)=(sinA+sinB)-(cosA+cosB)+(sinC-cosC)=2sincos-2coscos+2sincos-2cos2+1=1+2cos(sin-cos)+2cos(sin-cos)=1+2(cos-sin)(cos-cos),(0,)cossin;|cos).3.在锐角ABC中,cos+cos+cos2.(做变换(A,B,C)(-,-,-)得cos+cos+cos2sinA+sinB+sinC2,sinA+sinB+sinC1+cosA+cosB+cosC1+1=2).做变换(A,B,C)(-,-,-)得:f(sinA,sinB,sinC)0f(cos,cos,cos)0;f(cosA,cosB,cosC)0f(sin,sin,sin)0;f(tanA,tanB,tanC)0f(cot,cot,cot)0;等,即关于A,B,C的任意三角函数的等式与不等式均可与关于,的三角函数的等式与不等式互换,这只须把正函数与余函数对换即可. 5.边角转换法例5:在ABC中,求证:sinA+sinB+sinC4sinAsinBsinC. 解析:=(S=absinC=ab=)=(S=(a+b+c)r)=4.(由欧拉定理可证R2r).练习:1.在ABC中,求证:sinCsinAcosA+sinBcosB.(sinCsinAcosA+sinBcosBcacosA+bcosBca+b2abc2a2(b2+c2-a2)+b2(c2+a2-b2)(a2-b2)2(a-b)2c2(a-b)2(a+b+c)(a+b-c)0.)2.在ABC中,求证:sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA2sinAsinBsinC.(sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA2sinAsinBsinCab+bc+ca4S.ababsin(C+300)=absinCcos300+abcosCsin300=S+(a2+b2-c2)ab+bc+ca3S+(a2+b2+c2)3S+(ab+bc+ca)ab+bc+ca4S.)3.在ABC中,求证:+4.(+4+(+)+a+b+cR2r.). 5.代数转换法例5:在ABC中,求证:+.解析:令u=cotA,v=cosB,w=cotC,则u,v,wR+,uv+vw+wu=1,且u2+1=(u+v)(u+w),v2+1=(u+v)(v+w),w2+1=(u+w)(v+w).=u2-=u2-u2-(+),同理,v2-(+),w2-(+)fu2+v2+w2-(+)=u2+v2+w2-(u2-uv+v2)+(v2-vw+w2)+(w2-wu+u2)=(uv+vw+wu)=.取等号当且仅当u=v=w,此时a=b=c,x=y=z=.练习:1.在ABC中,求证:+1.(令x=tan,y=tan,z=,则x,y,zR+,xy+yz+zx=1,且x2+1=x2+xy+yz+zx=(x+y)(x+z),y2+1=(y+x)(y+z),z2+1=(z+x)(z+y).=x(-x)=x-x2x-x2=(xy+zx),同理,(xy+yz),(zx+yz)+2(xy+yz+zx)=1.2.在ABC中,+2.(令x=tan,y=tan,z=,则x,y,zR+,xy+yz+zx=1,且x2+1=x2+xy+yz+zx=(x+y)(x+z),y2+1=(y+x)(y+z),z2+1=(z+x)(z+y).=,+=+=+2x+2y+2z6,1=xy+yz+zx33.在ABC中,+2.=(-x)=1+x2-x=1+x2-x1+x2-x=1-(xy+xz). .母题构造: 若x+y+z=1,因在ABC中,tantan+tantan+tantan=1,所以可令x=tantan,y=tantan,z=tantan. 由tantan=x,tantan=y,tantan=ztantantan=,由此易得: tan=,tan=,tan=; sin=;sin=,sin=; cos=,cos=,cos=; sinA=,sinB=,sinC=; cosA=,cosB=,cosC=. tanA=,tanB=,tanC=; 若xy+yz+zx=1,因在ABC中,cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1,所以可令x=cotA,y=cotB,z=cotC,或x=tan,y=tan,z=tan. 若x+y+z=xyz,因在ABC中,tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,所以可令x=tanA,y=tanB,z=tanC. .母题应用: 1.x+y+z=1.例1:(2005年法国数学奥林匹克试题)设x,y,z都是正实数,且x+y+z=1,求证:+.解析:设x=tantan,y=tantan,z=tantan,其中A,B,C是ABC的三内角,则xyz=(tantantan)2tantantan=tan=,tan=,tan=sin=;sin=,sin=+=sin+sin+sin,又因函数f(x)=sinx在(0,)上为凸函数,由琴生不等式得:sin+sin+sin3sin=3sin=.当且仅当A=B=C,即x=y=z=时,等号成立.例2:(2008年加拿大数学奥林匹克试题)已知三个正数a,b,c满足:a+b+c=1,求证:+.解析:设a=tantan,b=tantan,c=tantan,其中A,B,C是ABC的三内角,则abc=(tantantan)2tantantan=tan=,tan=,tan=cosA=,cosB=,cosC=+=cosA+cosB+cosC.又因函数f(x)=cosx在(0,)上为凸函数,由琴生不等式得:cosA+cosB+cosC3cos=3cos=.当且仅当A=B=C,即a=b=c=时,等号成立.例3:(1999年波兰数学奥林匹克试题)设a,b,c为正实数,且满足:a+b+c=1,求证:a2+b2+c2+21.解析:a2+b2+c2+21(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)+21ab+bc+ca.设a=tantan,b=tantan,c=tantan,其中A,B,C是ABC的三内角,则abc=(tantantan)2,ab+bc+ca=tantantan(tan+tan+tan).ab+bc+catantantan(tan+tan+tan)tantantantan+tan+tan.练习:1.设x,y,z都是正实数,且x+y+z=1,求证:+.(sinA+sinB+sinC).2.设x,y,z都是正实数,且x+y+z=1,求证:xy+yz+zx+21.(cotA+cotB+cotC).3.设x,y,z都是正实数,且x+y+z=1,求证:(x+yz)(y+zx)(z+xy)8(x-yz)(y-zx)(z-xy).(cosAcosBcosC).例1:(1988年苏联数学奥林匹克试题)设x,y,z都是正实数,且x2+y2+z2=1,求S=+的最小值.解析:设x2=tantan,y2=tantan,z2=tantan,其中A,B,C是ABC的三内角,则xyz=tantantantan=,tan=,tan=S=tan+tan+tan.又因函数f(x)=tanx在(0,)上为凹函数,由琴生不等式得:S=tan+tan+tan3tan=3tan=.当且仅当A=B=C,即x=y=z=时,S取得最小值.例2:(2001年德国数学奥林匹克试题)设a,b,c是正实数,求证:+.解析:不妨设a+b+c=1,则(a+b)(a+c)=a2+(b+c)a+bc=a(a+b+c)+bc=a+bc,所以+=+.设a=tantan,b=tantan,c=tantan,其中A,B,C是ABC的三内角,则abc=(tantantan)2=cos+=cos+cos+cos=.例3:(1990年全俄数学奥林匹克试题)证明:对任意的正数a,b,c,都有:+.解析:+1.不妨设a+b+c=1,则(a+b)(a+c)=a2+(b+c)a+bc=a(a+b+c)+bc=a+bc,所以+=+,设a=tantan,b=tantan,c=tantan,其中A,B,C是ABC的三内角,则abc=(tantantan)2=tancos=sin+=sin+sin+sin1.练习:1.设x,y,z都是正实数,且x+y+z=1,求证:+2.(cos2+cos2+cos22).(cos2+cos2+cos2=+(cosA+cosB+cosC),做变换(A,B,C)(-,-,-)得cosA+cosB+cosC= sin+sin+sin1).2.设x,y,z都是正实数,且x+y+z=1,求证:+.(cos+coscos).(sinA+sinBsinC做变换(A,B,C)(-,-,-)得cos+coscos).3.设x,y,z都是正实数,且x+y+z=1,求证:+2(cosA+cosB2sin).(cosA+cosB=2coscos2cos=2sin). 2.xy+yz+zx=1.例1:(2005年法国数学奥林匹克试题)设a,b,cR+,且ab+bc+ca=1,证明不等式:+.解析:+c+a+b.两种方法均可.例2:(2004年新加坡数学奥林匹克试题)设0a,b,c1,且ab+bc+ca=1,求证:+.(法一)设a=tan,A(0,),b=tan,c=tan=tanA,+tanA+tanB+tanC3.(法二)设a=cotA,A(,),=-tan2A,+-(tan2A+tan2B+tan2C)tan2A+tan2B+tan2C-3.又因函数f(x)=tanx在(,)上为凸函数,由琴生不等式得:tan2A+tan2B+tan2C3tan=-3.例3:(1994年香港数学奥林匹克试题)设x,y,z0,且满足xy+yz+zx=1,求证:x(1-y2)(1-z2)+y(1-z2)(1-x2)+z(1-x2)(1-y2).解析:设x=tan,y=tan,z=tan,0A,B,C0,设x=cotA,y=cotB,z=cotC,A,B,C(0,)=+=+=(sinAsinB)2+(sinBsinC)2+(sinCsinA)2( 3.x+y+z=xyz.例1:(1998年韩国数学奥林匹克试题)己知a,b,c0,且a+b+c=abc,证明:+.解析:设a=tanA,A(0,)=cosA.例2:己知a,b,c0,且a+b+c=abc,证明:+.解析:设a=tanA,A(0,)=sin2A,+sin2A+sin2B+sin2C.又因函数f(x)=sinx在(0,)上为凸函数,由琴生不等式得:sin2A+sin2B+sin2C3sin=.参考文献:1.安振平.由三角不等式生成代数不等式的一种方法.数学通报.2010年第8期. 4.构造三角形例1:(2005年全国高中数学联赛试题)设正数a,b,c,x,y,z满足cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c.求函数f(x,y,z)=+的最小值.解析:由条件得:b(az+cx-b)+c(bx+ay-c)-a(cy+bz-a)=0x=,同理,得y=,z=,由a,b,c,x,y,z为正数,据以上三式知,b2+c2a2,a2+c2b2,a2+b2c2,故以a、b、c为边长,可构成一个锐角ABC,且x=cosA,y=cosB,z=cosC.问题转化为:在锐角ABC中,求函数f(cosA,cosB,cosC)=+的最小值.令u=cotA,v=cosB,w=cotC,则u,v,wR+,uv+vw+wu=1,且u2+1=(u+v)(u+w),v2+1=(u+v)(v+w),w2+1=(u+w)(v+w).=u2-=u2-u2-(+),同理,v2-(+),w2-(+)fu2+v2+w2-(+)=u2+v2+w2-(u2-uv+v2)+(v2-vw+w2)+(w2-wu+u2)=(uv+vw+wu)=.取等号当且仅当u=v=w,此时a=b=c,x=y=z=.评注:类题:1.(数学通报2011年第11期.数学问题2033)a,b,c0,a2+b2+c2+abc=4,p=+,s=a+b+c,t=2+abc.试比较p,s,t的大小,并分别求出p,s,t的最值.解析:a2+b2+c2+abc=4()2+()2+()2+2=1令=cosA,=cosB,=cosC,A,B,C(0,)p=(+)6=3,S=2(cosA+cosB+cosC)2,t=2+8cosAcosBcosC2+8=3.s-t=2(cosA+cosB+cosC)-(2+8cosAcosBcosC)=2(1+4sinsinsin)-(2+8cosAcosBcosC)=8(sinsinsin-cosAcosBcosC).cosA+cosB2sinsinsinsinsincosAcosBcosC.自证:1.(数学通报数学问题1830)a,b,c(0,+),a+b+c=2,求证:+.解析:令a=2cotBcotC,b=2cotCcotA,c=2cotAcotB,=(tanBtanC-1)(tanCtanA-1)=tanAtanBtan2C-(tanA+tanB)tanC+1=(tanA+tanB+tanC)tanC-(tanA+tanB)tanC+1=(tanC-tanB-tanA)tanC+1,+=(tanC-tanB-tanA)tanC+1+(tanA-tanB-tanC)tanA+1+(tanB-tanC-tanA)tanB+1=(tan2A+tan2B+tan2C-2tanAtanB-2tanBtanC-2tanCtanA)+33-(tanAtanB+tanBtanC+tanCtanA)3-(tan2A+tan2B+tan2C),又因函数f(x)=tan2x在(0,)上为凹函数,由琴生不等式得:tan2A+tan2B+tan2C3tan3=9.在ABC中,cos2A+cos2B+cos2