2017学年云南师大附中高三（上）月考数学试卷（理科）（2）（含解析）

2016-2017学年云南师大附中高三（上）月考数学试卷（理科）（2）一、选择题（本大题有12小题，每小题5分，共60分）1（5分）设集合，为整数集，则集合中元素的个数是A3B4C5D62（5分）在复平面内，复数对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（5分）设，向量，且，则ABC10D4（5分）高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当教室在第层楼时，上下楼造成的不满意度为，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随教室所在楼层升高，环境不满意度降低，设教室在第层楼时，环境不满意度为，则同学们认为最适宜的教室应在A2楼B3楼C4楼D8楼5（5分）函数的值域为ABC，D，6（5分）如图所示的程序框图，若，输入，则输出的A2016B2017CD7（5分）在中，所对的边分别是，且，则的值为ABCD8（5分）函数的导函数，对，都有成立，若（2），则不等式的解是ABCD9（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A50B50.5C51.5D6010（5分）用半径为的圆铁皮剪一个内接矩形，再以内接矩形的两边分别作为圆柱的高与底面半径，则圆柱的体积最大时，该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为ABCD11（5分）设双曲线的右焦点为，过点作与轴垂直的直线交两渐近线于、两点，且与双曲线在第一象限的交点为，设为坐标原点，若，则该双曲线的离心率为AB2CD12（5分）对于函数，设，且令集合，则集合为A空集B实数集C单元素集D二元素集二、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）13（5分）若，且满足则的最大值等于14（5分）在平面直角坐标系中，已知圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，则实数的值是15（5分）已知数列为等比数列，是它的前项和设，若，且与的等差中项为，则16（5分）若，且，则下列关系式：；其中正确的序号是： 三、解答题（共70分）17（10分）已知数列中，（1）证明数列是等差数列，并求的通项公式；（2）设，求的前和18（10分）如图所示的三棱台中，平面，（1）证明：平面；（2）若点为中点，求二面角的余弦值19（10分）如图所示，小波从街区开始向右走，在每个十字路口都会遇到红绿灯，要是遇到绿灯则小波继续往前走，遇到红灯就往回走，假设任意两个十字路口的绿灯亮或红灯亮都是相互独立的，且绿灯亮的概率都是，红灯亮的概率都是（1）求小波遇到4次红绿灯后，处于街区的概率；（2）若小波一共遇到了3次红绿灯，设此时小波所处的街区与街区相距的街道数为（如小波若处在街区则相距零个街道，处在，街区都是相距2个街道），求的分布列和数学期望20（10分）已知抛物线过点，为抛物线的准线与轴的交点，若（1）求抛物线的方程；（2）在抛物线上任取一点，过点作两条直线分别与抛物线另外相交于点和点，连接，若直线，的斜率都存在且不为零，设其斜率分别为，求证：21（10分）已知函数（1）当时，求的单调区间；（2）若，对于任意，都有恒成立，求的取值范围选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）已知曲线的参数方程：为参数），曲线上的点对应的参数，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点的极坐标是，直线过点，且与曲线交于不同的两点、（1）求曲线的普通方程；（2）求的取值范围选修4-5：不等式选讲23设的最小值为（1）求；（2）已知，是正实数，且满足，求的最小值2016-2017学年云南师大附中高三（上）月考数学试卷（理科）（2）参考答案与试题解析一、选择题（本大题有12小题，每小题5分，共60分）1（5分）设集合，为整数集，则集合中元素的个数是A3B4C5D6【考点】：交集及其运算【专题】11：计算题；37：集合思想；：定义法；：集合【分析】先求出集合，从而求出集合，由此能求出集合中元素的个数【解答】解：集合，为整数集，集合，0，1，集合中元素的个数是5个故选：【点评】本题考查交集中元素个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用2（5分）在复平面内，复数对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】：复数的运算【专题】11：计算题；35：转化思想；：数学模型法；：数系的扩充和复数【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，求出在复平面内，复数对应的点的坐标，则答案可求【解答】解：，在复平面内，复数对应的点的坐标为：，位于第二象限故选：【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3（5分）设，向量，且，则ABC10D【考点】：平面向量的坐标运算【专题】11：计算题；35：转化思想；41：向量法；：平面向量及应用【分析】向量的数量积先求出的值，再求出向量的模即可【解答】解：向量，且，解得，故选：【点评】本题考查了向量的垂直和向量的数量积和向量的模，属于基础题4（5分）高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当教室在第层楼时，上下楼造成的不满意度为，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随教室所在楼层升高，环境不满意度降低，设教室在第层楼时，环境不满意度为，则同学们认为最适宜的教室应在A2楼B3楼C4楼D8楼【考点】：函数的值【专题】11：计算题；33：函数思想；：定义法；51：函数的性质及应用【分析】同学们总的不满意度，由此利用基本不等式能求出同学们认为最适宜的教室应在3楼【解答】解：由题意知同学们总的不满意度，当且仅当，即时，不满意度最小，同学们认为最适宜的教室应在3楼故选：【点评】本题考查函数在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题，注意基本不等式性质的合理运用5（5分）函数的值域为ABC，D，【考点】：三角函数的恒等变换及化简求值【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图象与性质【分析】通过两角差的余弦函数化简函数的表达式，利用两角差的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式，求出函数的值域【解答】解：函数的值域为，故选：【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的定义域和值域，考查计算能力，利用两角差的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式是关键，属于基础题6（5分）如图所示的程序框图，若，输入，则输出的A2016B2017CD【考点】：程序框图【专题】38：对应思想；：转化法；：算法和程序框图【分析】根据程序框图求出的解析式即可【解答】解：时，故，故选：【点评】本题考查了程序框图，考查对数函数的性质，是一道基础题7（5分）在中，所对的边分别是，且，则的值为ABCD【考点】：余弦定理【专题】34：方程思想；：转化法；58：解三角形【分析】利用余弦定理将角化边整理得出，的关系，再使用余弦定理消去，得到关于，的方程，即可解出的值【解答】解：中，且，即；又，即，解得或（不合题意，舍去），即的值为故选：【点评】本题考查了三角函数的恒等变换以及余弦定理和一元二次方程的解法问题，属于中档题8（5分）函数的导函数，对，都有成立，若（2），则不等式的解是ABCD【考点】：利用导数研究函数的单调性【专题】33：函数思想；：转化法；52：导数的概念及应用【分析】构造函数，利用导数可判断的单调性，再根据，求得，继而求出答案【解答】解：，都有成立，于是有，令，则有在上单调递增，不等式，（2），（2），故选：【点评】本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属中档题，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性9（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A50B50.5C51.5D60【考点】：由三视图求面积、体积【专题】11：计算题；31：数形结合；：空间位置关系与距离；：立体几何【分析】几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，根据三视图判断各面的形状及相关几何量的数据，把数据代入面积公式计算【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图：三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，平面，几何体的表面积故选：【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键10（5分）用半径为的圆铁皮剪一个内接矩形，再以内接矩形的两边分别作为圆柱的高与底面半径，则圆柱的体积最大时，该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为ABCD【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；：空间位置关系与距离【分析】设圆柱的高为，则其为内接矩形的一边长，那么另一边长为，利用导数性质求出当时，此圆柱体积最大由此能求出圆柱的体积最大时，该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比【解答】解：设圆柱的高为，则其为内接矩形的一边长，那么另一边长为，圆柱的体积，列表如下：，0当时，此圆柱体积最大圆柱体体积最大时，该圆内接矩形的两条边长分别为和，圆柱的体积最大时，该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为：故选：【点评】本题考查圆柱的体积最大时，该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理应用11（5分）设双曲线的右焦点为，过点作与轴垂直的直线交两渐近线于、两点，且与双曲线在第一象限的交点为，设为坐标原点，若，则该双曲线的离心率为AB2CD【考点】：双曲线的性质【专题】11：计算题；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由方程可得渐近线，可得，的坐标，由已知向量式可得，解之可得的值，由，可得，的关系，由离心率的定义可得【解答】解：双曲线的渐近线为：，设焦点，则，因为所以，所以，解得：，又由，得：，解得：，所以，故选：【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及双曲线的离心率的求解，属中档题12（5分）对于函数，设，且令集合，则集合为A空集B实数集C单元素集D二元素集【考点】：数列与函数的综合【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】先验证前几个函数的表达式，找出同期再计算求值即可【解答】解：由题设可知，故从开始组成了一个以为首项，以周期为4重复出现一列代数式，由得，故整理得，无解，故选：【点评】本题主要考查了函数的周期性，解题的关键是求函数的周期，同时考查了计算能力，属于基础题二、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）13（5分）若，且满足则的最大值等于15【考点】：简单线性规划【专题】11：计算题；35：转化思想；44：数形结合法；：不等式【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数为，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大，有最大值为故答案为：15【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题14（5分）在平面直角坐标系中，已知圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，则实数的值是【考点】：直线与圆的位置关系【专题】11：计算题；35：转化思想；44：数形结合法；：直线与圆【分析】由题意画出图形，把圆上有且仅有三个点到直线的距离为1转化为原点到直线的距离为，再由点到直线的距离公式得答案【解答】解：如图，由题意可知，原点到直线的距离为由点到直线的距离公式可得：，故答案为：【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线距离公式的应用，是基础的计算题15（5分）已知数列为等比数列，是它的前项和设，若，且与的等差中项为，则160.5【考点】88：等比数列的通项公式；89：等比数列的前项和【专题】11：计算题；34：方程思想；：定义法；54：等差数列与等比数列【分析】利用等比数通项公式及等差中项性质，列出方程组，由此能求出结果【解答】解：数列为等比数列，是它的前项和设，且与的等差中项为，解得，故答案为：160.5【点评】本题考查等比数列的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列、等差数列的性质的合理运用16（5分）若，且，则下列关系式：；其中正确的序号是：【考点】：三角函数线【专题】15：综合题；35：转化思想；：演绎法；51：函数的性质及应用【分析】构造函数，利用奇偶函数的定义可判断其奇偶性，利用可判断，与，上的单调性，从而可选出正确答案【解答】解：令，为偶函数又，当，即在，单调递增；同理可证偶函数在，单调递减；当时，即，反之也成立，故答案为【点评】本题考查正弦函数的单调性，难点在于构造函数，通过研究函数，的奇偶性与单调性解决问题，属于难题三、解答题（共70分）17（10分）已知数列中，（1）证明数列是等差数列，并求的通项公式；（2）设，求的前和【考点】：数列的求和【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列【分析】（1）利用已知条件转化推出是以2为首项，3为公差的等差数列，然后求解通项公式（2）化简，然后利用错位相减法求和求解即可【解答】解：（1）证明：当时，又，故是以2为首项，3为公差的等差数列，（2），令，则，得：，【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力18（10分）如图所示的三棱台中，平面，（1）证明：平面；（2）若点为中点，求二面角的余弦值【考点】：直线与平面垂直；：平面与平面垂直；：二面角的平面角及求法【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；：空间位置关系与距离；：空间角【分析】（1）过点作说明为等腰直角三角形，证明，推出平面，得到，然后证明平面（2）建立空间直角坐标系如图，求出平面的一个法向量平面的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可【解答】（1）证明：如图，过点作，故为等腰直角三角形，又平面，又，且，平面，又，平面（2）解：如图，建立空间直角坐标系，0，0，4，0，2，由（1）知，平面的一个法向量为设平面的一个法向量为，则即令，则，故二面角的余弦值为【点评】本题考查直线与平面垂直，平面与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面镜的求法，考查空间想象能力以及计算能力19（10分）如图所示，小波从街区开始向右走，在每个十字路口都会遇到红绿灯，要是遇到绿灯则小波继续往前走，遇到红灯就往回走，假设任意两个十字路口的绿灯亮或红灯亮都是相互独立的，且绿灯亮的概率都是，红灯亮的概率都是（1）求小波遇到4次红绿灯后，处于街区的概率；（2）若小波一共遇到了3次红绿灯，设此时小波所处的街区与街区相距的街道数为（如小波若处在街区则相距零个街道，处在，街区都是相距2个街道），求的分布列和数学期望【考点】：离散型随机变量及其分布列；：离散型随机变量的期望与方差【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；：概率与统计【分析】（1）设小波遇到4次绿灯之后处于街区为事件，则事件共有三个基本事件，由此能求出小波遇到4次绿灯后，处于街区的概率（2）可能的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出分布列和数学期望【解答】解：（1）设小波遇到4次红绿灯之后处于街区为事件，则事件共有三个基本事件，即四次遇到的红绿灯情况分别为红红绿绿，绿红红绿，绿绿红红故（2）可能的取值为0，1，2，3，故分布列为：0123【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一20（10分）已知抛物线过点，为抛物线的准线与轴的交点，若（1）求抛物线的方程；（2）在抛物线上任取一点，过点作两条直线分别与抛物线另外相交于点和点，连接，若直线，的斜率都存在且不为零，设其斜率分别为，求证：【考点】：直线与抛物线的综合【专题】15：综合题；35：转化思想；：演绎法；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）求出的坐标，利用，求出，即可求抛物线的方程；（2）求出，的坐标，确定相应的斜率，即可证明结论【解答】（1）解：，代入解得：或（舍去），所以抛物线的方程为（2）证明：设点，因为点，在抛物线上，所以，故直线的方程为，由得，此方程的两个根分别为，同理可得，化简得，故，【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题21（10分）已知函数（1）当时，求的单调区间；（2）若，对于任意，都有恒成立，求的取值范围【考点】：利用导数研究函数的单调性；：利用导数研究函数的最值【专题】33：函数思想；：转化法；53：导数的综合应用【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；根据函数的单调性求出的最大值，问题转化为恒成立，令，根据函数的单调性求出的范围即可【解答】解：（1）当时，当时，解得或，函数单调递增，当时，解得，函数单调递减，在，上为增函数，在上为减函数；（2）， 时，在上单调递增，在单调递减，所以，故，恒成立，即恒成立，即恒成立，令，易知在其定义域上有最大值（1），所以【点评】本题