圆锥曲线竞赛考试题及答案.doc

竞赛圆锥曲线专题阶段考试（时间120分钟满分140分）一 ：填空题（ 本题共8个小题，每题8分共计64分）1.方程= | 2 x + y 18 |所表示的曲线是 2.过点的所有直线中，过两个有理点（纵坐标与横坐标都是有理数的点）的直线条数为 3.如图，从双曲线的左焦点F引圆的切线，切点为T延长FT交双曲线右支于P点若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则与的大小关系为 4.对于每一个整数n，抛物线与轴交于两点表示该两点间的距离，则= 5.已知,直线：，直线：，与的位置关系是 6.若a，b，c成等差数列，则直线ax+by+c = 0被椭圆截得线段的中点的轨迹方程为 7.过直线：上的一点作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为，则椭圆的方程为 8已知椭圆的焦距是4，则a = 二：解答题（9题18分，10题18分，11题20分，附加题20分共计76分）9（本题18分）设是抛物线的焦点，为抛物线上异于原点的两点，且满足延长分别交抛物线于点（如图）求四边形面积的最小值10、（本题18分）如图，椭圆的中心为原点，长轴在轴上，离心率，过左焦点作轴的垂线交椭圆于两点，。（1）求该椭圆的标准方程；（2）取垂直于轴的直线与椭圆相交于不同的两点，过作圆心为的圆，使椭圆上的其余点均在圆外。若,求圆的标准方程。 11.（本题20分）已知抛物线的焦点为F，以点A（，0）为圆心，为半径的圆在x轴的上方与抛物线交于M、N两点。 （1）求证：点A在以M、N为焦点，且过F的椭圆上。 （2）设点P为MN的中点，是否存在这样的a，使得的等差中项？如果存在，求a的值；如果不存在，说明理由。附加题（本小题满分20分）设A、B分别为椭圆 和双曲线的公共的左、右顶点。P、Q分别为双曲线和椭圆上不同于A、B的动点，且满足 。设直线AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为k1、k2、k3、k4.（1）求证：k1+k2+k3+k4=0；（2）设 F1、F2分别为椭圆和双曲线的右焦点。若，求的值。竞赛圆锥曲线考试答案1.椭圆 2. 解析： 显然直线上不存在有理点。假设斜率为k的直线上存在两个不同的有理点。若必为有理数。由可得，此时等式左边是有理数而右边是无理数，矛盾。另外当k=0时，对应的直线为OX轴，所以满足条件的直线有且仅有1条。3.4. 5.垂直 6.7.；解析：设直线上的点为，取关于直线的对称点，据椭圆定义，8 9.设是抛物线的焦点，为抛物线上异于原点的两点，且满足延长分别交抛物线于点（如图）求四边形面积的最小值9.解析：设，由题设知，直线的斜率存在，设为因直线过焦点，所以，直线的方程为 联立方程组，消得由根与系数的关系知：， 5分 于是 10分又因为，所以直线的斜率为，从而直线的方程为：，同理可得 15分故当时等号成立所以，四边形的最小面积为32 20分10、11.已知抛物线的焦点为F，以点A（，0）为圆心，为半径的圆在x轴的上方与抛物线交于M、N两点。 （1）求证：点A在以M、N为焦点，且过F的椭圆上。 （2）设点P为MN的中点，是否存在这样的a，使得的等差中项？如果存在，求a的值；如果不存在，说明理由。11.解析：（1）因为 点A的坐标为（，0），抛物线的焦点为F（a，0），准线为， 所以 所以 以A为圆心，|FA| 为半径的圆在x轴的上方的方程为 ，（） 由 得 设M（），N（）（其中：()均为正数），则有 又 抛物线上的点到焦点与准线的距离相等 所以 因为点F、M、N均在A上， 所以， 因为，且 所以点A在以M、N为焦点且过F的椭圆上 （2）假设存在满足条件的a，则有 ，即 设点P的坐标为（），则有 由，得 化简，得 所以，与矛盾 故不存在满足条件的，即不存在值，使得点P为MN的中点，且|FP|是|FM|与|FN|的等差中项。12.解析：(1)设P、Q两点的坐标分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 k1+k2= (4分) 同理可得意k3+k4= (7分) 设O为原点，则，所以，O，P，Q三点共线，于是得由得 kl+k2+k3+k4=0； (11分)(2) 由点Q在椭圆上，有=1 由 ，得(xl，y1)=(x2，y2)所以 x2=x l，y2=y l，从而=2 又由点P在双曲线上，