（应用数学专业论文）关于一类丢番图方程整数解的研究.pdf

中文摘要丢番图方程，作为数论中的一个重要的组成部分，它不仅与数学学科的各个分支，如：代数数论、组合数学等都联系紧密，而且对其它理学科的研究也起着重要的作用因此，我们有必要去研究、求解一些基本类型的丢番图方程目前，对一次丢番图方程和二次丢番图方程的相关研究，已经基本成熟，但是，三次丢番图方程的求解，还没有得到一般性的结论，有待于进一步讨论本文用初等方法和代数数论的方法，讨论了一类形如x 3 + a = b y 2 ( 其中曰是含有6 尼+ 1 之形的素因子) 的丢番图方程，主要工作是：1 讨论了方程x 3 1 = 砂2 ( 这里d 是无平方因子的正整数且含有形如6 七+ 1 的素因子) 的解的情况2 讨论了方程x 3 1 = 3 砂2 ( 这里d 是无平方因子的正整数且含有形如6 七+ 1 的素因子) 的解的情况3 讨论了方程x 3 8 = 以j ，2 ( 这里q 是无平方因子的正整数且含有形如6 后+ 1 的素因子) 的解的情况4 用代数数论的方法讨论了方程y 2 = x 3 1 4 的整数解的情况关键词丢番图方程，素数，整数解，勒让德符号，同余a b s t r a c tt h ed i o p h a n t i n ee q u a t i o ni sa l li m p o r t a n tp a r ti nn u m b e rt h e o r y ，w h i c hd o e s n to n l yh a v ec l o s ec o n n e c t i o n s 、 ，i t l lt h ea l g e b r a i cn u m b e rt h e o r y ，t h ec o m b i n a t o r i a ln u m b e rt h e o r ya n ds oo n ，b u ta l s op l a ya ni m p o r t a n tr o l ei no t h e rs c i e n c es u b j e c t s t h e r e f o r e ，i ti sn e c e s s a r yf o ru st os t u d ya n ds o l v es o m eb a s i ct y p e so ft h es o l u t i o n so ft h ed i o p h a n t i n ee q u a t i o n s n o w , w ea r ef a m i l i a rt ot h es o l u t i o no ft h es i m p l ed i o p h a n t i n ee q u a t i o na n dq u a d r a t i cd i o p h a n t i n ee q u a t i o n , w h i l ew i t ht h es o l u t i o no fc u b i cd i o p h a n t i n ee q u a t i o n ，t h e r ei sn og e n e r a lc o n c l u s i o n ，s oi tn e e d sf u r t h e rd i s c u s s i n g i nt h i sp a p e r , w i t ht h ee l e m e n t a r ya n da l g e b r a i cn u m b e rt h e o r y , id i s c u s s e dt h ed i o p h a n t i n ee q u a t i o n sx 3 + a = 砂2 ，w h e r ebc a nb ee x a c t d i v i d e db yt h ep r i m en u m b e r6 七+ 1 ，t h e m a i n w o r k i s ：1 i n v e s t i g a t i n gt h ep o s i t i v ei n t e g e rs o l u t i o no ft h ed i o p h a n t i n ee q u a t i o nx 3 l = b y 2 ，w h e r edi sas q u a r e f r e ep o s i t i v ei n t e g e ra n dc a l lb ee x a c t d i v i d e db yt h ep r i m en u m b e r6 后+ 1 2 i n v e s t i g a t i n gt h ep o s i t i v ei n t e g e rs o l u t i o no ft h ed i o p h a n t i n ee q u a t i o nx 3 1 = 3 b y 2 ，w h e r edi sas q u a r e - f r e ep o s i t i v ei n t e g e ra n dc a l lb ee x a c t d i v i d e db yt h ep r i m en u m b e r6 尼+ 1 3 i n v e s t i g a t i n gt h ep o s i t i v ei n t e g e rs o l u t i o no ft h ed i o p h a n t i n ee q u a t i o nx 3 8 = p d l y 2 ，w h e r ed li sas q u a r e f r e ep o s i t i v ei n t e g e ra n dc a l lb ee x a c t d i v i d e db yt h ep r i m en u m b e r6 k + 1 4 w i t ht h em e t h o do fa l g e b r a i cn u m b e rt h e o r y , i n v e s t i g a t i n gt h ei n t e g e rs o l u t i o no ft h ed i o p h a n t i n ee q u a t i o ny 2 = x 3 1 4k e yw o r d sd i o p h a n t i n ee q u a t i o n ，p r i m e ，i n t e g e rs o l u t i o n , l e g e n d r es y m b o l ，c o n g r u e n c e西北大学学位论文知识产权声明书本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它相关数据库。、保密论文待解密后适用本声明。+ ，。学位论文作者签名：鎏堑圣赞指导教师签名：筮燮为厂。年多月d 日u i o 年6 只fo 日西北大学学位论文独创性声明本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢二凸二思。学位论文作者签名：年月日西北大学硕士学位论文1 1丢番图方程概述第一章绪论弟一早珀t 匕方程，这个词是出自于我国古代的著名的数学著作九章算术，大约在公元一世纪成书，书中的第八章是“方程章 ，其内容就相当于现在所学习的线性方程组“方程 的取名，是由于我国在当时所采用的是“竹筹 记数，将各个方程的系数用竹筹排列出来，就够成了一个长方形，然后，变动长方形的竹筹阵来求解，故“方”是“列筹成方 的意思，“程 是“课程”的意思，所以，方程就是由这种“列筹成方的课程得名的从古到今，方程一直就是一个备受人们重视、极具吸引力的研究课题在数论中，一个古老而又重要的研究分支之一是不定方程不定方程，就是未知数的个数多于方程的个数的方程( 方程组) ，但是它们的解，通常受到某种限制，如要求是整数、正整数或者是有理数等例如：求x 2 8 y 4 = 1 的正整数解( x ，y ) ，求x 2 + 7 = 2 ”的整数解( x ，玎) 等，这些都是不定方程的求解问题古希腊的数学家丢番图( 被誉为代数学之父) ，在3 世纪初就已经研究过这样的方程了，所以，不定方程也被称作丢番图方程实际上，中国是最早对不定方程进行研究的国家，在周髀算经中就提出了“勾三股四弦五”的商高定理，这表明方程x 2 + y 2 = z 2 有一组整数解x = 3 ，y = 4 ，z = 5 ，还早于丢番图的研究在公元5 世纪，张丘建算经中的百鸡问题，标志着中国对不定方程的理论有了系统性的研究百鸡问题说：“鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一百千买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何? 若用x ，y ，z 分别表示鸡翁、母、雏的个数，则该问题就转化为了不定方程组的非负整数解x ，y ，z ，这是一个三元不定方程组的问题孙子定理，比欧洲国家的研究要早5 0 0 年，此定理也被称作中国剩余定理孙子定理是数论中的一个重要定理，是中国古代求解不定方程组所用的方法孙子算经中有“物不知数的问题：“今有物，不知其数三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何? 答日“二十三 也就是求不定方程组x 兰2 ( m o d 3 ) ，x 三3 ( m o d 5 ) ，x 羞2 ( m o d 7 ) 的正整数解在此基础上，秦九韶发明创造了世界数学史上的一项伟大的成就“大衍求一术 ，即：解决了一次不定方程组的一般第一章绪论解法，在求解的过程中应用了辗转相除法，直到余数为1 时丢番图方程的类型是极其丰富的，例如：可分为一次方程、二次方程、三次方程、高次方程、指数方程和一些特殊类型的方程在代数数论、群论和组合数论等数学课题中，都提到了一些关于丢番图方程的问题因此，丢番图方程与数学的一些分支是有着密切联系的由于这种联系，近代有许多优秀的数学家，如f e r m a t 、e u l e r 、g a u s s 、l a g r a n g e 、k u m m e r 、h i l b e r t 等都从事过对丢番图方程的研究他们的研究极大地丰富了丢番图方程的内容，推进了数论的发展1 。2 丢番图方程的主要成果研究丢番图方程的历史悠久，近年来，在这一领域已经出现了许多引人注目的优秀成果，主要归纳为两方面的，一方面是对丢番图方程本身的，一方面是丢番图方程对群论、组合论、代数数论以及相关学科领域的应用【1 埘对于丢番图方程，特别重大的成果有：1 、b a k e r 3 1 给出了方程厂( 黾，x ：) = o 的整数解的绝对值上界，其中f ( x 。，x ：) 不可约且厂的次数3 2 、对h i l b e r t 第十问题给出了否定的回答，即：证明了不存在一种只有有限步运算的方法能判定丢番图方程厂( x l ，一，x 。) = o ，x l ，一，x 。z 是否有解3 、1 9 8 3 年，f a l t i n g s 4 1 证明了m o r d e l l 猜想，由此推导出f e r m a t 方程x ”+ 少”= z “，( x ，y ) = 1 ，刀4 时最多只有有限组正整数解更重要的是1 9 9 5 年，英国剑桥数学家w i l e s 5 1 证明了f e r m a t 大定理，即：方程x ”+ y ”= z 一，刀3 时没有整数解，这一困扰人类智者的数学难题终于被攻克，当时轰动了整个科学界在丢番图方程的应用方面，取得的突出成果有：1 、曹珍富【6 】利用了广义p e l l 方程算法，给出了所有阶为p f - p ，p 口的单群的确定算法，这里p l ，一，p ，是给定的j 个不同的素数，p 为一个任意的素数，口，和口均为正整数，特别是决定了阶为2 铂3 吒5 口3 7 以p 口5 的单群2 、在组合数论与图论方面，有几个在很长时间以来都没有解决的问题也被解决t 7 , 8 , 9 , 1 0 1 ，其中之一是1 9 6 7 年s t o r e r 1 1 1 对w h i t e m a n 1 2 1 差集的推广，长期以来，人们所关心的问题慰1 3 】：s t o r e r 差集中有多少个不是w h i t e m a n 差集? 曹珍富【1 4 1 在解决了一系列的丢番图方程的问题后，证明了s t o r e r 差集均是w h i t e m a n 差集2西北大学硕士学位论文另一个是有关整图的，原始的整图问题在被解决之后，又提出了许多新的整图问题，参阅文献 1 5 】这些问题都是利用丢番图方程解决的3 、代数数论中的一个重要研究课题是研究二次域的类数【1 6 l ，特别是随着现代密码学的发展，类数能被某个大素数所整除的二次域已经成为了研究者们更为关注的课题，这方面也取得了许多进展，例如见文献 1 7 ，1 8 ，1 9 总之，对丢番图方程的研究，已经得到了许多优秀的成果，虽然如此，这一领域还有许多未解决的问题，特别是在研究其他相关学科的过程中，提出了许多有待完全解决的丢番图方程的问题我们利用现代数论的研究成果，一般可以给出二元的高次丢番图方程的解的绝对值的上界，但是所得出的上界却往往太大，因此很难给出方程的全部解而对于其它类型的丢番图方程，特别是指数丢番图方程，还存在相当广阔的研究领域1 3 求解丢番图方程的困难性由于丢番图方程的类型较多而且解丢番图方程又没有一个一般的方法，这就决定了求解丢番图方程是困难的尽管有一些方程的问题叙述起来很简单，但解起来却相当困难例如：求丢番图方程1 + x 2 = 2 y 4( 1 1 )的正整数解( x ，y ) ，在很长的一段时间里，数学家们只研究出它有两组解( x ，y ) = ( 1 ，1 ) ，( 2 3 9 ，1 3 ) ，但是要证明它是否存在另外的解却很不容易直到1 9 4 2 年，l j u n g g r e nw 【2 0 1 研究了关于四次域的单位数之后，并运用了许多数论已有的研究结论才得以证明：方程( 1 1 ) 最多有两组正整数解但l j u n g g r e nw 的证明复杂又不初等，且所采用的方法技巧又特殊，不能被多数人所理解，因此大数学家m o r d e l ll j 2 1 1 就公开的提出了一个问题：能否找到一个较为简单的或者是初等的证明? 这个问题至今仍未解决对于丢番图方程x x y y = z 7 ，x l ，y 1 ( 1 2 )著名的数学家e e r d 6 s 猜想它是没有正整数解的但于1 9 4 0 年，我国著名的数学家柯召3第一章绪论 2 2 1 推翻了这一猜想，他证明了方程( 1 2 ) 有无穷多组解：x = 2 2 ”1 ( 2 4 叫卜1 ) 幽( 2 ”一1 ) 2 ( 2 4 一n ，y = 2 2 ”1 ( 2 。巾1 ( 2 “一1 ) 2 ( 2 4 1 ) “，z ：2 2 “1 ( 2 4 咖帅+ 1 ( 2 ”一1 ) 2 ( 2 。一1 ) ”一i ，其中刀 1 1 9 5 9 年，m i l l sw h 【2 3 】发现柯召得出的解都满足r _ 4 x y = z 2 ，在此基础上，他证明了：1 、如果4 x y z 2 ，则方程( 1 2 ) 没有正整数解：2 、如果4 x y = z 2 ，则柯召找到的解是方程( 1 2 ) 的全部正整数解1 9 8 4 年，u c h i y a m as 阱1 又证明了：如果4 砂 2 )e e r d 6 s 和r o b l a t h 2 1 1 解决了当p 2 时方程的解，但未能解决p = 2 时的情况s i m m o n sg ：j 提出：方程刀! = ( m 一1 ) m ( m + 1 ) 是否仅有正整数解( m ，n ) = ( 2 ，3 ) ，( 3 ，4 ) ，( 5 ，5 ) 和( 9 ，6 ) ? 这个问题也未得出结论丢番图方程的形式各不相同，对其解的猜想也十分复杂繁多在研究这些方程的过程当中，有的猜想被证明是正确的，有的猜想被证明是不成立的，还有一些猜想到现在为止，仍未定论，既不能被证明也不能被否定因此，丢番图方程的研究空间仍然非常广阔，需要数学家们坚持不懈的努力1 4 求解丢番图方程的基本方法丢番图方程的类型众多，但又没有一个比较统一的研究方法就对其求解方法的研究目的而言，人们是希望能够找到某种类型的方程的一个一般性的求解方法，以便能在更多的场合且更好地应用例如：有的问题在整数环上已经被解决，但为了探究新的解题方法，人们可能把它拓展到了代数整环上进一步去研究有的问题的解决方法复杂，但人们还想将其转化为容易理解的方法或者找到较为初等的方法因为通过这些研究能够产生新的结构和新的技巧，而这些恰恰可能就是新数学分支的萌芽，同时4西北大学硕士学位论文也会对科学技术的发展进步起到重要的作用求解丢番图方程的方法主要概括为以下两种：第一：初等方法它主要包括因子分解法、简单同余法、二次剩余法、递归序列法、无穷递降法、p e l l 方程法和比较素数幂法等上面这些初等方法都是通过制造一些矛盾的等式，证明它在某些范围内是不成立的，从而得出在某处成立此外，还包括不等式方法，以及利用整函数的某些性质来解丢番图方程等等第二：高等方法因为有些丢番图方程利用初等方法来解是非常困难的( 例如f e r m a t 大定理) ，因此人们为了解决这些方程，还创立了许多其它的数学方法，主要有：代数数论法、丢番图逼近法和p a d i c 法等等此外，还可以利用解析数论和丢番图几何的研究成果来求解一些丢番图方程但是，这两种方法的侧重点有所不同，解析数论主要研究的是对方程解的个数的估计，而丢番图几何主要研究的是对方程解的定性或者定量问题实际上，求解丢番图方程问题的方法从古至今都是不同问题采用不同方法一般而言，我们只能是给出求解丢番图方程的基本原则，也就是综合利用各种初等的，高等的方法，将该丢番图方程转化为一些容易处理的或者有熟知结果的方程总之，这些方法为我们求解更多的丢番图方程提供了有力的工具，同时也大大地丰富了数论的内容对于一个具体的丢番图方程f ( x l ，一，x 。) = o ，x f ，扛1 ，刀( 1 3 )其中厂( x l ，- ，x 。) 是关于未知数x l ，一，x 。的整系数的多项式，甲。( 江1 ，n ) 是未知数取值的集合，一般情况下，我们需要解决以下问题：1 方程( 1 3 ) 是否有解( x l 一，x 。) ?2 方程( 1 3 ) 有解时，它的解是否为有限组?3 a 如果方程( 1 3 ) 的解是有限多组时，能否具体找出各组解?b 如果方程( 1 3 ) 的解是无限多组时，能否找到一个统一的求解公式?第二章预各知识2 1课题的研究背景第二章预备矢1 i - i 识弟一早耿亩 大识丢番图方程是数论专业中的一个重要研究课题，其内容极为广泛，与组合数学、代数几何、代数数论等都有非常密切的联系，近几十年来，这个领域又取得了重要的发展丢番图逼近论、代数数论、信息编码论等相关学科的研究都会用到一些丢番图方程的结论，所以为了科学的发展，我们有必要去研究丢番图方程的解法由于对一次和二次丢番图方程的解法及其研究，已经基本完成，而对三次丢番图方程的解法，还没有得到一般性的结论，因此我们要进一步讨论研究一些基本类型的三次丢番图方程对于形如x 3 + a = 砂2 的这一类型的丢番图方程，已经有一些学者对它进行了研究从d i c k s o n 的数论的历史( 卷i i ) 可知，e u l e r t 2 5 1 和l e b e g u e t 2 6 】很早就研究了方程x 34 - 1 = 功2 和x 3 1 = 印2 的正整数解1 9 2 4 年，n a g e l l 2 7 , 2 8 1 ：将他们的工作进一步推广，研究了方程x 3 l = b y 2 的正整数解设d 是不能被6 后+ l 之型的素数整除的无平方因子正整数早在1 9 4 2 年l j u n g g r e n 2 9 1 就讨论了方程x 3 1 = 砂2 ，x ，y n 的求解问题，因而把方程x 3 1 = b y 2 称为l j u n g g r e n 方程同年，功u i l g g r e n 又证明了方程x 3 1 = 3 b y 2 ，石3 2 3 = b y 2 和x 3 2 3 = 3 缈2 总共最多有一组正整数解，在这以前n a g e l l 证明了当d仅被3 或1 2 k 4 - 5 之型的素数整除时，方程x 3 1 = b y 2 只有整数解( x ，y ) = ( 一1 , 0 ) ：1 9 5 2年l j u n g g r e n 运用了p e l l 方程法，给出了方程x 3 1 = 2 y 2 的一个初等解法：1 9 7 2 年v a n d e rw a l l l 3 0 1 和r o b e r t 也利用了p e l l 方程法，证明了方程x 3 1 = 2 y 2 仅有整数解( x ，y ) = ( 1 ，0 ) ，方程x 3 - i - l = 2 y 2 仅有整数解( x ，y ) = ( 1 ，1 ) ，( - 1 ，0 ) ，( 2 3 ，7 8 ) 我国是在8 0 年代开始研究这一类型方程的许多研究数论的前辈们，经过不断的探索和研究，为这一理论的发展做出了巨大的贡献，推动了数学的发展1 9 8 1 年，柯召、孙琦【3 l 3 2 2 3 3 1 证明了丢番图方程x 3 l = b y 2 、x 3 1 = 3 d y 2 ，其中d 2 ，无平方因子且不能被3 或6 七+ 1 之形的素数整除，无非平凡整数解后来，曹珍富【3 4 ，3 5 1 等人给出了方程x 3 l = b y 2 的所有前述结论的统一证明( 包括6西北大学硕士学位论文d = 1 , 2 ，3 ，5 ，6 ) ，以及方程x 3 2 3 = 印2 的更进一步的结论因此，目前有关该类型方程的主要问题是讨论d 是含有形如6 j + 1 的素因子的情形，至今为止，虽然也有不少专家学者对其研究，但只得到了一些零散的结果，还有许多未解决的问题1 9 8 9 年，曹玉书、郭庆俭【3 6 】研究了丢番图方程x 3 1 = 3 b y 2 ，给出了d 是含有形如6 七+ 1 的素因子时方程无正整数解的一些充分条件1 9 9 1 年，曹玉书【3 7 1 研究了丢番图方程x 3 8 = 3 d y 2 ，给出了d 是含有形如6 后+ 1的素因子时方程无正整数解的一些充分条件1 9 9 2 年，曹玉书、黄龙弦刚研究了丢番图方程x 3 8 = b y 2 ，给出了d 是含有形如6 七+ 1 的素因子时方程无正整数解的一些充分条件1 9 9 7 年，张海燕【3 9 1 给出了当d 是含有6 七+ l 之型的素因子时，方程x 3 1 = 2 d y 2无正整数解的充分条件1 9 9 7 年，潘家宇h 0 1 证明了：设d = 2 4 3 p 或2 口3 p 兀g 。，其中口= o 或1 ，i = lq f 暑5 ( m o d 6 ) ，o = 1 ，j ) ，j = 1 或2 ，则当p = 7 ，1 3 ，3 1 ，6 1 ，7 3 ，7 9 ) 时，方程x 3 + 1 = 缈2 除开d = 3 5 3 7 仅有解( z ，y ) = ( 3 1 ，5 4 3 ) 外，无其他的正整数解，而方程x 3 1 = 缈2 除开d = 3 5 9 7 仅有解( x ，y ) = ( 4 3 5 5 ，7 5 6 3 ) 外，无其他的正整数解2 0 0 3 年，邓谋杰【4 1 】等人给出了丢番图方程x 3 1 = 缈2 ，其中d 0 ，无平凡因子且含有形如6 七+ 1 的素因子时无正整数解的一些充分性条件2 0 0 4 年，乐茂华【4 2 ，4 3 1 证明了：设p 是奇素数，如果p = 1 2 r 2 + 1 ，其中，是正整数时，则方程x 3 1 = 3 p y 2 , z ，y n ( 这里是全体正整数的集合) 无解( x ，y ) 2 0 0 4 年，乐茂华m 1 证明了：当d 是奇素数时，如果d = 1 2 r 2 + 1 ，其中，是偶数，则方程x 3 8 = o y 2 ：, x ，y n ，g c d ( x ，y ) = 1 无解( x ，y ) 2 0 0 5 年，段辉明【4 5 1 总结了：0 d 1 ，那么，必有a = p 1 p 2 p 。( 2 1 )其中p j ( 1 s ) 均为素数，且在不计次序的情况下，：a - - 揪( 2 1 ) 是唯一的8西北大学硕士学位论文把式( 2 1 ) 中相同的素数合并，就得口= p f l p ，p l p 2 2 ，d 是整数，pj ，d 如果同余方程x 2 兰d ( m o d p ) 有解，则称d 是模p 的二次剩余：若无解，则称d 是模p 的二次非剩余定义4 设素数p 2 定义整变数d 的函数9第二章预备知识。鸟拈一黧；【0 ，黝id ，我们把( 兰) 称为模p 的l e g e n d r e 符号矽定义5 设奇数尸 1 ，p = p l p ，p ，( 1 歹j ) 是素数定义c 知 c 这里( 旦p ) ( 1 _ ，s ) 是模p 的符号我们把( ；) 称为是j a c 0 b i 符号j? l e g e n d r er显见，当p 是奇素数时，j a c o b i 符号就是l e g e n d r e 符号定理3j a c o b i 符号有以下性质：( i ) ( ；) = 1 ：当( d ，p ) 1 时，( ；) = 。：当( d ，尸) = 1 时，( 吾) 取值1 ；( i i ) ( ；) = 下d + p ) ：( i i i ) ( 争= 万d ) 【芦c ：( i v ) ( 矗) = _ ) d 万d ) ：( v ) 舯= 1 时，( 争= ( 争- 1 定理4 设奇数尸 1 ，奇数9 1 ，( p ，q ) = 1 我们有c 弘扣州m 协1 0西北大学硕士学位论文第三章几个形如x 。+ 彳：砂z 的丢番图方程解的讨论3 1 关于丢番图方程x 3 l = o y 2为了定理的证明，需要f = 面的引理。引理3 1 1 h 7 ，4 8 1 i 发d = d l d 2 ，d l 不含6 尼+ 1 形的素因子，d 2 t t , 含6 k + 1 形的素因子，则方程x 3 1 = o y 2有非平凡整数解的必要条件是存在某个( p ，g ) 使方程x 1 = d l q a 2 ，x 2t - x + 1 = p b 2 ，y = a b ，( 3 1 )或x 1 = 3 d l q a 2 ，x 2 - t x + l = 3 p b 2 ，y = 3 a b ，( 3 2 )有解，这里p 0 ，q 0 ，p q = d 2 ：当d 2 ，p = l 时，( 3 1 ) 和( 3 2 ) 均无非平凡解定理3 1 1 设d = d 。p ，这里d 是无平方因子的正整数，q 不能被形如3 或6 尼+ l的素数整除，p 是奇素数p = 1 2 r 2 + 1 ，其中，是正整数，则1 当d 1 - - - 3 ( m o d 4 ) i 对，方程x 3 + 1 = o y 2 , x ，y n( 3 3 )无解( x ，y ) 2 当d l - l ( m o d 4 ) i j 寸，方程x 3 1 = b y 2 ) x ，y n( 3 4 )无解( x ，y ) 定理3 1 1 的证明：证明1 设g ，y ) 是方程( 3 3 ) 的解因为x 2 一x + l = ( x + 1 ) 2 3 x ，( x ，x + 1 ) = 1 可知( x + 1 ，z 2 一x + 1 ) = 1 或3 第三章几个形如x 3 + a = 8 y 2 的丢番图方程解的讨论对于q = - 5 ( r o o d 6 ) ，有qj ，x 2 一x + 1 若不然，x 2 一x + l 暑0 ( m o d q ) ，从而得到( 2 x 1 ) 2 暑一3 ( m o d g ) ，于是( 二呈) = 1 ，但因g ：6 l + 5 ，贝0g( ( - 1 ) 孚( - 1 ) 弩( 拍竽) - ( 手i( 二) = ( 一1 ) 2 ( 一1 ) 22 ( 詈) = ( ￥) = ( 詈) = 一q53s矛盾显然2j ，x 2 一x + 1 所以：x 2 一x + i 的素因数必为3 或6 后+ 1 之形由于d l 不能被3 或6 j i + 1 之形的素数整除，p = 1 2 r 2 + 1 ，故方程( 3 3 ) 有下列四种可能的分解：( i ) x + l = d l p a 2 ，x 2 一x + l = b 2 ，y = a b( i i ) x + l = d i a 2 , x 2 - x + l = p b 2 ，j ，= a b( i i i ) x + l = 3 d ! p a 2 , x 2 一x + l = 3 b 2 , y = 3 a b( i v ) x + l = 3 d l a 2 ，x 2 - x + l = 3 p b 2 ，y = 3 a b情形( i ) ，由第二式得( 2 b ) 2 一( 2 x 一1 ) 2 = 3 ，可解得x = 1 或x = 0 ，但由第一式知x = d i p a 2 1 1 故情形( i ) 无正整数解情形( i i ) ，由d l - 3 ( m o d 4 ) ，又由x + l = d l a 2 ，得x 三d i a 2 1一j ( d 1 1 ) ( m o d 4 ) ，当口为奇数时；【3 ( r o o d 4 ) ，当口为偶数时；兰船 2 ( m o d4 ) ，, 篓嚣熹n 5 ，1 3 ( m o d 4 ) ，当口为偶数时、7由x 2 一x + l = p b 2 得：2j ，p 6 2 ，故2l ，b 2 ，所以b 2 三l ( m o d 4 ) ，则有p 量p b 2 ( r o o d 4 ) ，再由( 3 5 ) 可得p = - p b 2 - - - - x 2 一x + 1 - 3 ( r o o d 4 )( 3 6 )然而，因p = 1 2 r 2 + 1 ，其中，是正整数，i 救有- p - l ( m o d 4 ) ，与( 3 6 ) 矛盾因此情形( i i )无正整数解1 2西北大学硕士学位论文情形( i i i ) ，可由引理3 1 1 中的知其无正整数解情形( i v ) ，由x 2 一x + 1 = 3 p b 2 得( 2 x - 1 ) 2 + 3 = 3 p ( 2 b ) 2( 3 7 )将x = 3 d ! a 2 1 代入( 3 7 ) ，得3 ( 2 d t a 2 1 ) 2 + 1 = p ( 2 b ) 2( 3 8 )从( 3 8 ) 可知( x ，y ) = ( 2 6 ，2 d i a 2 1 ) 是方程2 3 y 2 = l ，x ，】，n( 3 9 )的一组解因为p = 1 2 r 2 + l ，所以方程( 3 9 ) 的最小解是( x l ，k ) = ( 1 ，2 ，) 于是根据文献【4 9 的结果可得2 6 , 7 + ( 2 d l a 2 1 ) 压= ( 石+ 2 r f 3 ) ( 3 1 0 )其中f 是正奇数，从( 3 1 0 ) 可得2 d l a 2 - 1 量o ( m o d 2 r )( 3 11 )因为2 d i 口2 1 是奇数，所以( 3 1 1 ) 不成立故情形( ) 无正整数解因此可知，方程( 3 3 ) 在题设条件下无解证明2 设g ，y ) 是方程( 3 4 ) 的解由 一1 ，x 2 + z + 1 ) = 1 或3 ，且x 2 + x + 1 的素因数必为3 或6 七+ 1 之形，所以方程( 3 4 ) 可分解为以下四种情形：( i ) x - 1 = d 1 p a 2 , x 2 + x + 1 = b 2 ，y = a b( i i ) x - 1 = d l a 2 ，x 2 + x + 1 = p b 2 ，y = a b( i i i ) x - 1 = 3 d l p a 2 , x 2 + z + 1 = 3 b 2 , y = 3 a b( i v ) x - 1 = 3 d , a 2 , x 2 + 工+ 1 = 3 p b 2 , y = 3 a b情形( i ) ，由第二式得( 2 b ) 2 一( 2 x + 1 ) 2 = 3 ，可解得x = 0 或x = 一1 ，不满足第一式故情形( i ) 无正整数解情形( i i ) ，由a 2 兰0 ，l ( m o d4 ) ，x - 1 量日口2 - 0 ，d l ( r o o d 4 ) 得z 兰1 ，4 + 1 ( r a m 4 ) ，故当d l 置1 ( m o d 4 ) 时，x - - 1 ，2 ( m o d 4 ) ，x 2 + x + 1 - 3 ( m o d 4 ) 由x 2 + x + l = p b 21 3第三章几个形如x 3 + a = 8 y 2 的丢番图方程解的讨论得：2j ，加2 ，故2fb 2 ，所以b 2 兰l ( m o d 4 ) ，则有p 兰p b 2 暑x 2 + x + 1 量3 ( m o d 4 ) ( 3 1 2 )然而，因p = 1 2 r 2 + 1 ，其中，是正整数，故有p - - - l ( m o d 4 ) ，与( 3 1 2 ) 矛盾因此，情形( i i ) 无正整数解情形( i i i ) ，根据引理3 1 1 中的知其无正整数解情形( i v ) ，由x - 1 = 3 d l a 2 和x 2 + x + 1 = 3 p b 2 可得3 ( 2 d i a 2 + 1 ) 2 + 1 = 4 p b 2( 3 1 3 )从( 3 1 3 ) 可知( x ，y ) = ( 2 b ，2 d 1 a 2 + 1 ) 是方程2 3 y 2 = 1 ，x ，y n( 3 1 4 )的一组解因为p = 1 2 r 2 + 1 ，所以方程( 3 1 4 ) 的最小解( x 1 ，k ) = ( 1 , 2 r ) 于是由文献【4 9 】的结果可得2 6 扛+ ( 2 d i a 2 + 1 ) 压= ( 厄+ 2 r 西( 3 1 5 )其中f 是正奇数，从( 3 1 5 ) 可得2 d l a 2 + 1 量0 ( m o d 2 r )( 3 1 6 )因为2 d l a 2 + 1 是正奇数，所以( 3 1 6 ) 不成立故情形( i v ) 无正整数解因此可知，方程( 3 4 ) 在题设条件下无解定理3 1 1 证毕定理3 1 2 设d = d l p ，这里d 是无平方因子的正整数，d ，不能被3 或6 七+ 1 之形的素数整除，p 是奇素数，p = 3 ( 2 4 r + 1 9 ) ( 2 4 r + 2 0 ) + l ，其中，是正整数，则1 当d i 三7 ( m o d l 2 ) l 对，方程x 3 + 1 = d 少2 ，x ，y n( 3 1 7 )无解( x ，y ) 2 当d l - 5 ，1 4 ，1 7 ，2 3 ( m o d 2 4 ) 时，方程x 3 1 = d y e , x ，y n( 3 1 8 )1 4西北大学硕士学位论文无解( x ，y ) 定理3 1 2 的证明：证明1 设g ，y ) 是方程( 3 1 7 ) 1 懈由于d l 不能被3 或6 k + 1 之形的素数整除，p = 3 ( 2 4 r + 1 9 ) ( 2 4 r + 2 0 ) + 1 ，故根据引理3 1 1 中的，方程( 3 1 7 ) 有下列4 种可能的分解：( i ) x + l = d l 册2 ，x 2 - x + l = 6 2 ，y = a b( i i ) x + l = d l a 2 ，x 2 - x + l = p b 2 ，y = a b( i i i ) x + l = 3 d r p a 2 , x 2 一x + l = 3 b 2 , y = 3 a b( i v ) x + l = 3 d l a 2 ，x 2 一x + l = 3 p b 2 ，y = 3 a b情形( i ) 和( i i i ) ，可由引理3 1 1 中的知其不成立情形( i i ) ，由d l 三7 ( m o d l 2 ) 得q - - 3 ( m o d 4 ) ，又由x + l = 日口2 得x 三日口2 1 ，所以当a 为奇数时，x 三( d i - 1 ) ( m o d 4 ) - 2 ( r o o d 4 ) ，( 3 1 9 )当a 为偶数时，x 车3 ( m o d 4 ) ( 3 2 0 )由x 2 一x + l = p b 2 得：2fp b 2 ，故2lb 2 ，所以b 2 三l ( m o d 4 ) ，则有p 暑p b 2 ( m o d 4 ) ，再由( 3 1 9 ) 和( 3 2 0 ) 可得p 量p b 2 暑x 2 一x + 1 暑3 ( m o d 4 )( 3 2 1 )然而，因p ：3 ( 2 4 r + 1 9 ) ( 2 4 r + 2 0 ) + 1 ，其中，是正整数，i 故有- p - l ( m o d 4 ) ，与( 3 2 1 ) 矛盾因此情形( i i ) 不成立情形( i v ) ，由x 2 一x + 1 - 3 p b 2 得( 2 x 1 ) 2 + 3 = 3 p ( 2 b ) 2( 3 2 2 )将x = 3 d t a 2 - 1 代a ( 3 2 2 ) ，得3 ( 2 d l a 2 1 ) 2 + l = p ( 2 b ) 2 ( 3 2 3 )第三章几个形如x 3 + a = 缈2 的丢番图方程解的讨论从( 3 2 3 ) 可矢n ( x ，d = ( 2 6 ，2 d l a 2 - 1 ) 是方程p x 2 - 3 y 2 = l ，x ，y n( 3 2 4 )的一组解因为p = 3 ( 2 4 r + 1 9 ) ( 2 4 r + 2 0 ) + 1 ，所以方程( 3 2 4 ) 的最小解是( x l ，z ) = ( 2 , 4 8 r + 3 9 ) 于是根据文献 4 9 】的结果可得2 b - q p + ( 2 d l a 2 1 ) 压= ( 2 f f - f i + ( 4 8 r + 3 9 ) 两其中f 是正奇数，从( 3 2 5 ) 可得2 d l a 2 - 1 兰0 ( m o d ( 4 8 r + 3 9 ) )( 3 2 5 )( 3 2 6 )因为3 1 4 8 r + 3 9 ，所以2 d l a 2 1 量0 ( r o o d 3 ) ，d l a 2 - 2 ( m o d 3 ) ，因此( 孕) 乩b 2 7 ，其中( 孚) 表示模的勒让德符号然而b 三7 ( m 。d 1 2 ) 得。，三l ( m o d 3 ) ，故坝2 了d 1 ) 锻沪与( 3 2 7 ) 矛盾故情形( ) 不成立综上所述，方程( 3 17 ) 在题设条件下无解证明2 设g ，少) 是方程( 3 1 8 ) 的解根据引理3 1 1 ，方程( 3 1 8 ) 可分解为以下两种情形：( i ) x 一1 = d i a 2 , x 2 + x + l = p b 2 ，y = a b( i i ) x - 1 = 3 d i a 2 , x 2 + x + 1 = 3 p b 2 , y = 3 a b情形( i ) ，由a 2 量0 ，1 ，4 ( m o d 8 ) ，x - 1 量d l a 2 童0 ，d l ，4 日( r o o d 8 ) 彳寻x 兰1 ，d l + 1 ，4 d 1 + l ( m o d 8 ) 故，当d l - 5 ( m o d 2 4 ) i 对，d l - - 5 ( m o d s ) ，x - = l ，6 ，5 ( m o d s ) ，x 2 + x + 1 - - 3 ，7 ( r o o d s ) ：当d 1 - 1 4 ( m o d 2 4 ) 1 紊j ，d l - 6 ( m o d 8 ) ，x - = l ，7 ( m o d s ) ，x 2 + x + l - - - 3 ，l ( m o d s ) ：1 6西北大学硕士学位论文当d l 誊1 7 ( r o o d 2 4 ) 时，d l 兰l ( m o d s ) ，x - - 1 ，2 ，5 ( r o o d s ) ，x 2 + x + 1 - - 3 ，7 ( m o d 8 ) ：当d l - - 2 3 ( m o d 2 4 ) 时，d 1 暑7 ( m o d 8 ) ，x - - 1 ，0 ，5 ( m o d s ) ，x 2 + x + 1 - - 3 ，1 ，7 ( m o d 8 ) ：由x 2 + x + 1 = p b 2 得：2j ，p 6 2 ，故2j ，b 2 ，所以b 2 - - l ( m o d 8 ) ，则有p 暑p b 2 誊x 2 + x + 1 暑1 , 3 ，7 ( m o d 8 ) ( 3 2 8 )然而，因p = 3 ( 2 4 r + 1 9 ) ( 2 4 r + 2 0 ) + 1 ，其中，是正整数，i 故：f i p 暑5 ( m o d 8 ) ，与( 3 2 8 ) 矛盾因此，情形( i ) 不成立情形( i i ) ，由x - 1 = 3 d l a 2 和x 2 + x + 1 = 3 p b 2 可得3 ( 2 d l a 2 + 1 ) 2 + l = 4 p b 2从( 3 2 9 ) 可知( x ，d = ( 2 b ，2 d l a 2 + 1 ) 是方程趟2 3 y 2 = 1 ，x ，】，n( 3 2 9 )( 3 3 0 )的一组解因为p = 3 ( 2 4 r + 1 9 ) ( 2 4 r + 2 0 ) + 1 ，所以方程( 3 3 0 ) 的最小解是( x l ，巧) = ( 2 , 4 8 r + 3 9 ) 于是根据文献 4 9 】的结果可得2 b , c p + ( 2 d l a 2 + 1 ) 压= ( 2 厄+ ( 4 8 r + 3 9 ) 压) 其中f 是正奇数，从( 3 3 1 ) 可得2 d l 口2 + 1 三0 ( m o d ( 4 8 r + 3 9 ) )( 3 3