高中数学 2.3.4 平面与平面垂直的性质课件 新人教A版必修2.ppt

点 直线 平面之间的位置关系 第二章 2 3直线 平面垂直的判定及其性质 第二章 2 3 4平面与平面垂直的性质 1 直二面角 二面角的平面角是 2 两平面垂直的定义 两平面所成的二面角是 3 两个平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的 那么这两个平面垂直 知识衔接 90 直二面角 一条垂线 4 下列命题正确的是 a 垂直于同一条直线的两直线平行b 垂直于同一条直线的两直线垂直c 垂直于同一个平面的两直线平行d 垂直于同一条直线的一条直线和平面平行 答案 c 平面与平面垂直的性质定理 自主预习 一个平面内 交线 垂直 a a l 垂直 破疑点 平面与平面垂直的性质定理给出了判断直线与平面垂直的另一种方法 即 面面垂直 则线面垂直 揭示了线面垂直与面面垂直的内在联系 知识拓展 垂直关系的知识总结 线面垂直的关键 定义来证最常见 判定定理也常用 它的意义要记清 平面之内两直线 两线交于一个点 面外还有一条线 垂直两线是条件 面面垂直要证好 原有图中去寻找 若是这样还不好 辅助线面是个宝 先作交线的垂线 面面转为线和面 再证一步线和线 面面垂直即可见 借助辅助线和面 加的时候不能乱 以某性质为基础 不能主观凭臆断 判断线和面垂直 线垂面中两交线 两线垂直同一面 相互平行共伸展 两面垂直同一线 一面平行另一面 要让面和面垂直 面过另面一垂线 面面垂直成直角 线面垂直记心间 1 已知平面 平面 则下列命题正确的个数是 内的直线必垂直于 内的无数条直线 在 内垂直于 与 的交线的直线必垂直于 内的任意一条直线 内的任何一条直线必垂直于 过 内的任意一点作 与 交线的垂线 则这条直线必垂直于 a 4b 3c 2d 1 答案 c 预习自测 解析 2 如图所示 在长方体abcd a1b1c1d1的棱ab上任取一点e 作ef a1b1于f 则ef与平面a1b1c1d1的关系是 a 平行b ef 平面a1b1c1d1c 相交但不垂直d 相交且垂直 答案 d 解析 平面abb1a1 平面a1b1c1d1 ef 平面abb1a1 平面abb1a1 平面a1b1c1d1 a1b1 ef a1b1 ef 平面a1b1c1d1 3 如图所示 三棱锥p abc中 平面pab 平面abc pa pb ad db 求证 pd 平面abc 分析 转化为证明pd ab 证明 pa pb ad db pd ab 又 平面pab 平面abc 平面pab 平面abc ab pd 平面abc 已知 l 求证 l 证明 证法1 在 内取一点p 作pa垂直 与 的交线于a 作pb垂直 与 的交线于b 则pa pb l l pa l pb 平面垂直性质定理的应用 互动探究 pa与pb相交 又pa pb l 规律总结 证法一 证法二都是利用 两平面垂直时 在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面 的这一性质 添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线 这是证法一 证法二的关键 证法三是利用 如果两个平面互相垂直 那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线 在第一个平面内 这一性质 添加了l 这条辅助线 这是证法三的关键 通过此例 应仔细体会两平面垂直时 添加辅助线的方法 又在原题条件下 添加条件b b 求证b 在l上任取一点b 过b和b的平面交 于过b的直线a 交 于过b的直线a b a b 同理b a a 和a 同时过b且平行于b a 和a 重合于直线l 由l 可得b 如图 已知v是 abc所在平面外一点 vb 平面abc 平面vab 平面vac 求证 abc是直角三角形 分析 灵活运用线垂直于面与面垂直于面的转化 证明 过b作bd va于d 平面vab 平面vac bd 平面vac bd ac 又 vb 平面abc vb ac ac 平面vab ac ba 即 abc是直角三角形 如右图所示 平面 平面 在 与 的交线l上取线段ab 4cm ac bd分别在平面 和平面 内 ac l bd l ac 3cm bd 12cm 求线段cd的长 与面面垂直有关的计算 探究 要求cd的长 由bd l 易知 bcd为直角三角形 已知bd的长 只要知道bc的长即可 由ac l知 abc为直角三角形 从而可解 规律总结 1 与面面垂直有关的计算问题的类型 1 求角的大小 或角的某个三角函数值 如两异面直线所成的角 线面角 二面角等 2 求线段的长度或点到直线 平面的距离等 3 求几何体的体积或平面图形的面积 2 计算问题的解决方法 1 上述计算问题一般在三角形中求解 所给条件中的面面垂直首先转化为线面垂直 然后转化为线线垂直 往往把计算问题归结为一个直角三角形中的计算问题 2 求几何体的体积时要注意应用转换顶点法 求线段的长度或点到平面的距离时往往也应用几何体中的转换顶点 等体积 法 如图所示 平面 平面 a b ab与平面 所成的角分别为45 和30 过a b分别作两平面交线的垂线 垂足为a b 且ab 12 求a b 的长 如图所示 在四棱锥s abcd中 底面abcd是正方形 sa 平面abcd 且sa ab 点e为ab的中点 点f为sc的中点 求证 1 ef cd 2 平面scd 平面sce 线线 线面 面面垂直的综合应用 探索延拓 2 在rt sae和rt cbe中 sa cb ae be rt sae rt cbe se ec 即 sec为等腰三角形 f为sc的中点 ef sc 又 ef cd 且sc cd c ef 平面scd 又 ef 平面sce 平面scd 平面sce 规律总结 1 空间垂直关系的判定方法 2 在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直 线面垂直 面面垂直的相互转化 每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直 最终达到目的 其转化关系如下 3 在垂直的判定定理和性质定理中 有很多限制条件 如 相交直线 线在面内 平面经过一直线 等 这些条件一方面有很强的约束性 另一方面又为证明指出了方向 在利用定理时 既要注意定理的严谨性 又要注意推理的规律性 2015 南昌高二检测 已知在四棱锥s abcd中 sd 平面abcd ab dc ab ad 1 sd 2 bc bd e为棱sb上的一点 平面edc 平面sbc 证明 1 de 平面sbc 2 se 2eb 解析 1 如图 因为sd 平面abcd 故bc sd 又bc bd 所以bc 平面bds 所以bc de 作bk ec k为垂足 由平面edc 平面sbc 平面edc 平面sbc ec 故bk 平面edc 又de 平面edc 所以bk de 又因为bk 平面sbc bc 平面sbc bk bc b 所以de 平面sbc 如图所示 四棱锥p abcd的底面是一个直角梯形 ab cd ba ad cd 2ab pa 底面abcd e是pc的中点 则平ebd能垂直于平面abcd吗 请说明理由 易错点考虑问题不全面 导致证明过程不严谨 误区警示 错解 平面ebd不能垂直于平面abcd 理由如下 假设平面ebd垂直于平面abcd 过e作eo bd于o 连接ao co eo 平面ebd eo bd 平面ebd 平面abcd bd eo 平面abcd 又 pa 平面abcd eo pa 又 e是pc的中点 o是ac的中点 又 ab cd abo cdo 又 ao oc ab cd 这与cd 2ab矛盾 假设不成立 故平面ebd不能垂直于平面abcd 错因分析 错误的原因是默认了a o c三点共线 而a o c三点若不共线 则 abo cdo不成立 事实上 很容易证a o c三点共线 由于a o c是pc上三点p e c在平面abcd上的投影 故p e c三点的投影均在直线ac上 故a o c三点共线 补上这一点证明就完整了 正解 平面ebd不能垂直于平面abcd 理由如下 假设平面ebd垂直于平面abcd 过e作eo bd于o 连接ao co eo 平面ebd eo bd 平面ebd 平面abcd bd eo 平面abcd 又 pa 平面abcd eo pa a o c是pc上三点p e c在平面abcd上的投影 p e c三点的投影均在直线ac上 a o c三点共线 又 e是pc的中点 o是ac的中点 又 ab cd abo cdo 又 ao oc ab cd 这与cd 2ab矛盾 假设不成立 故平面ebd不能垂直于平面abcd 如图所示 在四棱锥p abcd中 底面abcd是 dab 60 且边长为a的菱形 侧面pad为正三角形 其所在平面垂直于底面abcd 1 求证ad pb 2 若e为bc边的中点 能否在棱pc上找到一点f 使平面def 平面abcd 并证明你的结论 解析 1 证明 设g为ad的中点 连接bg pg pad为正三角形 pg ad 在菱形abcd中 dab 60 g为ad的中点 bg ad 又bg pg g ad 平面pgb pb 平面pgb ad pb 2 当f为pc的中点时 平面def 平面abcd 证明如下 在 pbc中 f是pc的中点 ef pb 在菱形abcd中 gb de 而fe 平面def de 平面def ef de e 平面def 平面pgb 由 1 得pg 平面abcd 而pg 平面pgb 平面pgb 平面abcd 平面def 平面abcd 1 设两个平面互相垂直 则 a 一个平面内的任何一条直线垂直于另一个平面b 过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一平面上c 过交线上一点垂直于交线的直线 必垂直于另一个平面d 分别在两个平面内的两条直线互相垂直 答案 b 2 过两点与一个已知平面垂直的平面 a 有且只有一个b 有无数个c 有且只有一个或无数个d 可能不存在 答案 c 3 如右图所示 三棱锥p abc中 平面pab 平面abc pa pb ad db 则 a pd 平面abcb pd 平面abcc pd与平面abc相交但不垂直d pd 平面abc 答案 b 解析 pa pb ad db pd ab 又 平面pab 平面abc 平面pab 平面abc ab pd 平面pab pd 平面abc 4 在空间中 用x y z表示不同的直线或平面 若命题 x y x z 则y z 成立 则x y z分别表示的元素是 a x y z都是直线b x y z都是平面c x y是平面 z是直线d x是直线 y z是平面 答案 d 解析 垂直于同一条直线的两直线不一定平行故a错 垂直于同一个平面的两个平面不一定平行 故b错 一条直线与一个平面都和同一个平面垂直时 直线可能在平面内 故c错 由线面垂直的性质知 d正确 5 用a b c表示三条不同的直线 表示平面 给出下列命题 若a b b c 则a c 若a b b c 则a c 若a b 则a b 若a b 则a b 其中真命题的序号是 a b c d 答案 c 6 如图所示 在四棱锥s abcd中 底面abcd是矩