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2 2 2反证法 回顾初中学过的反证法的步骤 第一步 假设命题的结论不成立 即假设结论的反面成立 第二步 从这个假设出发 经过推理论证 得出矛盾 第三步 由矛盾判定假设不正确 从而肯定命题的结论正确 要证结论p 假设非p为真 导致矛盾 非p为假 p一定为真 反证 由此 因而断定 原命题得证 例1 用反证法证明 如果a b 0 那么 注 用反证法的时候 要注意结论反面共有几种情况 应该把反面的各种情况都要考虑到 不要漏掉任何一种可能 例2 用反证法证明 圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分 证明 假设弦ab cd被p平分 由于p点一定不是圆心o 连结op 根据垂径定理的推论 有op ab op cd 即过一点p有两条直线与op垂直 这与垂线性质矛盾 所以 弦ab cd不被p平分 假设 导致矛盾 下结论 用反证法证明 若p则q时 可能出现的四种情况 1 导出非p为真 即与原命题的条件矛盾 2 导出q为真 即与假设非q为真矛盾 3 导出一个恒假命题 4 引出自相矛盾 一般什么时候 适合用反证法 1 结论本身是以否定形式出现的 如 证明 不可能 没有 不存在 等等 2 有关结论是以 至多 至少 的形式出现的命题 3 关于唯一性 存在性的问题 4 结论的反面比原结论更具体 更简单容易的命题 练习
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