2017年湖南省湘潭一中、长沙一中等六校联考高考数学模拟试卷（理科）（含解析）

2017年湖南省湘潭一中、长沙一中等六校联考高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）设集合，则ABCD2（5分）复数的共轭复数的虚部是A2BCD3（5分）若点到直线的距离比到点的距离大1，则点的轨迹方程为ABCD4（5分）已知数列满足：对于，都有，且，那么ABCD5（5分）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入的，依次输入的为2，2，5，则输出的A8B17C29D836（5分）若，则ABCD7（5分）为响应“精确扶贫”号召，某企业计划每年用不超过100万元的资金购买单价分别为1500元箱和3000元箱的、两种药品捐献给贫困地区某医院，其中药品至少100箱，药品箱数不少于药品箱数则该企业捐献给医院的两种药品总箱数最多可为A200B350C400D5008（5分）圆的半径为3，一条弦，为圆上任意一点，则的取值范围为A，B，C，D，9（5分）设函数，则关于函数有以下四个命题，；，；函数是偶函数；函数是周期函数其中真命题的个数是A4B3C2D110（5分）若函数，的图象的一条对称轴方程是，函数的图象的一个对称中心是，则的最小正周期是ABCD11（5分）点为棱长是的正方体的内切球球面上的动点，点为的中点，若满足，则动点的轨迹的长度为ABCD12（5分）已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分.13（5分）一个总体分为，两层，其个体数之比为，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为12的样本，已知层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个数为 14（5分）中国古代数学名著九章算术中记载了公元前344年商鞅制造一种标准量器商鞅铜方升，其三视图（单位：寸）如图所示，若取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的为15（5分）设是双曲线的右焦点，若点关于双曲线的一条渐近线的对称点恰好落在双曲线的左支上，则双曲线的离心率为 16（5分）已知数列是各项均为正整数的等差数列，公差，且中任意两项之和也是该数列中的一项若，其中为给定的正整数，则的所有可能取值的和为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）某学校的平面示意图为如下图五边形区域，其中三角形区域为生活区，四边形区域为教学区，为学校的主要道路（不考虑宽度），（1）求道路的长度；（2）求生活区面积的最大值18（12分）如图，三棱柱中，底面，分别是棱，的中点，是棱上的动点（1）当为何值时，平面平面？（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值19（12分）随着生活水平和消费观念的转变，“三品一标”（无公害农产品、绿色食品、有机食品和农产品地理标志）已成为不少人的选择，为此某品牌植物油企业成立了有机食品快速检测室，假设该品牌植物油每瓶含有机物的概率为，需要通过抽取少量油样化验来确定该瓶油中是否含有有机物，若化验结果呈阳性则含，呈阴性则不含若多瓶该种植物油检验时，可逐个抽样化验，也可将若干瓶植物油的油样混在一起化验，仅当至少有一瓶油含有有机物时混合油样呈阳性，若混合油样呈阳性，则该组植物油必须每瓶重新抽取油样并全部逐个化验（1）若，试求3瓶该植物油混合油样呈阳性的概率；（2）现有4瓶该种植物油需要化验，有以下两种方案：方案一：均分成两组化验；方案二：混在一起化验；请问哪种方案更适合（即化验次数的期望值更小），并说明理由20（12分）已知椭圆的离心率为，四个顶点构成的菱形的面积是4，圆过椭圆的上顶点作圆的两条切线分别与椭圆相交于，两点（不同于点，直线，的斜率分别为，（1）求椭圆的方程；（2）当变化时，求的值；试问直线是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由21（12分）已知函数（1）若函数恒有两个零点，求的取值范围；（2）若对任意，恒有不等式成立求实数的值；证明：选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）已知直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为若曲线的左焦点在直线上，且直线与曲线交于，两点（1）求的值并写出曲线的直角坐标方程；（2）求的值选修4-5：不等式选讲23设函数，（1）当时，求不等式的解集；（2）求证：中至少有一个不小于2017年湖南省湘潭一中、长沙一中等六校联考高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）设集合，则ABCD【考点】18：集合的包含关系判断及应用；：交集及其运算【专题】11：计算题；37：集合思想；：定义法；：集合【分析】利用交集定义、集合相等的定义直接求解【解答】解：集合，故选：【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义、集合相等定义的合理运用2（5分）复数的共轭复数的虚部是A2BCD【考点】：虚数单位、复数；：复数的运算【专题】11：计算题；38：对应思想；：数系的扩充和复数【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再求出其共轭复数得答案【解答】解：，复数的共轭复数为，其虚部为故选：【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3（5分）若点到直线的距离比到点的距离大1，则点的轨迹方程为ABCD【考点】：轨迹方程【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；：直线与圆【分析】由题意得，点到直线的距离和它到点的距离相等，故点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，可得轨迹方程【解答】解：点到直线的距离比到点的距离大2，点到直线的距离和它到点的距离相等，故点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，方程为故选：【点评】本题考查抛物线的定义，抛物线的标准方程，判断点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，是解题的关键4（5分）已知数列满足：对于，都有，且，那么ABCD【考点】：数列递推式【专题】11：计算题；33：函数思想；54：等差数列与等比数列【分析】数列对任意的，满足，且，可得，即可【解答】解：数列满足：对于，都有，且，那么故选：【点评】本题考查了数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于基础题5（5分）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入的，依次输入的为2，2，5，则输出的A8B17C29D83【考点】：程序框图【专题】35：转化思想；：转化法；：算法和程序框图【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，可得答案【解答】解：输入的，当输入的为2时，不满足退出循环的条件；当再次输入的为2时，不满足退出循环的条件；当输入的为5时，满足退出循环的条件；故输出的值为29，故选：【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答6（5分）若，则ABCD【考点】：二倍角的三角函数【专题】11：计算题；35：转化思想；：转化法；56：三角函数的求值【分析】由已知利用诱导公式可求，进而利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解【解答】解：，故选：【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题7（5分）为响应“精确扶贫”号召，某企业计划每年用不超过100万元的资金购买单价分别为1500元箱和3000元箱的、两种药品捐献给贫困地区某医院，其中药品至少100箱，药品箱数不少于药品箱数则该企业捐献给医院的两种药品总箱数最多可为A200B350C400D500【考点】：简单线性规划【专题】35：转化思想；48：分析法；59：不等式的解法及应用【分析】设药品为箱，药品为箱，该企业捐献给医院的两种药品总箱数为，则，满足的关系式为，根据约束条件对目标函数的范围进行验证即可【解答】解：设药品为箱，药品为箱，该企业捐献给医院的两种药品总箱数为，则，满足的关系式为，若，又因为，则，不合题意若，又因为，则，合题意故选：【点评】本题考查了一次函数的值域问题，转化思想是解题关键，属于中档题8（5分）圆的半径为3，一条弦，为圆上任意一点，则的取值范围为A，B，C，D，【考点】：平面向量数量积的性质及其运算【专题】15：综合题；31：数形结合；41：向量法；：平面向量及应用【分析】如图所示，连接，过点作，垂足为利用垂径定理可得可得利用向量的三角形法则，可得，代入数量积即可得出的取值范围【解答】解：如图所示，连接，过点作，垂足为则，故选：【点评】本题考查了向量的数量积运算、垂径定理、向量共线定理，属于中档题9（5分）设函数，则关于函数有以下四个命题，；，；函数是偶函数；函数是周期函数其中真命题的个数是A4B3C2D1【考点】：命题的真假判断与应用【专题】15：综合题；33：函数思想；48：分析法；：简易逻辑【分析】由函数的值的求法、函数的性质逐一核对四个命题得答案【解答】解：由，可得或1，则，故正确；当时，故正确；为有理数，则为有理数，为无理数，则为无理数，函数是偶函数，故正确；任何一个非0的有理数都是函数的周期，函数是周期函数，故正确真命题的个数是4个故选：【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查函数的性质，是中档题10（5分）若函数，的图象的一条对称轴方程是，函数的图象的一个对称中心是，则的最小正周期是ABCD【考点】：三角函数的周期性【专题】35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图象与性质【分析】由题意可得，由此得到，再根据函数的图象的一个对称中心是，求得的值，可得的最小正周期【解答】解：函数，的图象的一条对称轴方程是，即，又函数的图象的一个对称中心是，即，故取，则的最小正周期是，故选：【点评】本题主要考查三角函数的周期性以及图象的对称性，求复合三角函数的导数，属于中档题11（5分）点为棱长是的正方体的内切球球面上的动点，点为的中点，若满足，则动点的轨迹的长度为ABCD【考点】：轨迹方程【专题】31：数形结合；35：转化思想；：空间位置关系与距离【分析】首先，求解其内切球的半径，然后，结合球面的性质求解点到平面的距离，然后，确定其周长【解答】解：根据题意，该正方体的内切球半径为，由题意，取的中点，连接，则，正方体，为在平面中的射影，点的轨迹为过，的平面与内切球的交线，正方体的棱长为，到过，的平面的距离为1，截面圆的半径为：，点的轨迹周长为：故选：【点评】本题考查了正方体的性质、内切球的性质、线面位置关系与距离、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12（5分）已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是ABCD【考点】：函数的图象与图象的变换【专题】33：函数思想；44：数形结合法；51：函数的性质及应用【分析】令在上有解，根据函数图象得出的范围【解答】解：关于轴对称的函数为，令得，则方程在上有解，作出与的函数图象如图所示：当时，函数与的函数图象在上必有交点，符合题意；若，若两图象在上有交点，则，解得，综上，故选：【点评】本题考查了方程解与函数图象的关系，函数图象的变换，属于中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分.13（5分）一个总体分为，两层，其个体数之比为，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为12的样本，已知层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个数为48【考点】：分层抽样方法【专题】11：计算题；35：转化思想；：定义法；：概率与统计【分析】设出层中的个体数，根据条件中所给的层中甲、乙都被抽到的概率值，写出甲和乙都被抽到的概率，使它等于，算出的值，由已知和之间的比值，得到总体中的个体数【解答】解：设层中有个个体，层中甲、乙都被抽到的概率为，（舍去），总体分为，两层，其个体数之比为，共有个体，故答案为：48【点评】本题是分层抽样的相关知识容易出错的是不理解分层抽样的含义或与其它混淆抽样方法是数学中的一个小知识点，但一般不难，故也是一个重要的得分点，不容错过14（5分）中国古代数学名著九章算术中记载了公元前344年商鞅制造一种标准量器商鞅铜方升，其三视图（单位：寸）如图所示，若取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的为3【考点】：由三视图求面积、体积；：棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】11：计算题；31：数形结合；：空间位置关系与距离；：立体几何【分析】由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，由此构造关于的方程，解得答案【解答】解：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，由题意得：，解得，故答案为：3【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，圆柱的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档15（5分）设是双曲线的右焦点，若点关于双曲线的一条渐近线的对称点恰好落在双曲线的左支上，则双曲线的离心率为【考点】：双曲线的性质【专题】11：计算题；35：转化思想；：转化法；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设，渐近线方程为，对称点为，运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到所求值【解答】解：设，渐近线方程为，对称点为，即有，且，解得，将，即，代入双曲线的方程可得，化简可得，即有，解得故答案为：【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为，以及点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题16（5分）已知数列是各项均为正整数的等差数列，公差，且中任意两项之和也是该数列中的一项若，其中为给定的正整数，则的所有可能取值的和为【考点】84：等差数列的通项公式【专题】11：计算题；37：集合思想；：定义法；54：等差数列与等比数列【分析】由公差是的约数，得到，1，2，由此能求出的所有可能取值之和【解答】解：数列是各项均为正整数的等差数列，公差，且中任意两项之和也是该数列中的一项，公差是的约数，1，2，的所有可能取值之和为：故答案为：【点评】本题考查等差数列的公差的所有可能取值之和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）某学校的平面示意图为如下图五边形区域，其中三角形区域为生活区，四边形区域为教学区，为学校的主要道路（不考虑宽度），（1）求道路的长度；（2）求生活区面积的最大值【考点】：余弦定理；：解三角形；：点、线、面间的距离计算【专题】11：计算题；31：数形结合；58：解三角形；：空间位置关系与距离【分析】（1）连接，在中，由余弦定理得：，在中，求解即可（2）设，在中，由正弦定理，求解，表示，然后求解最大值【解答】解：（1）如图，连接，在中，由余弦定理得：，又，在中，所以（2）设，在中，由正弦定理，得，当，即时，取得最大值为，即生活区面积的最大值为注：第（2）问也可用余弦定理和均值不等式求解【点评】本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，考查距离的求法，是中档题18（12分）如图，三棱柱中，底面，分别是棱，的中点，是棱上的动点（1）当为何值时，平面平面？（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值【考点】：平面与平面垂直；：二面角的平面角及求法【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；：空间位置关系与距离；：空间角【分析】（1）当为中点（即时，平面平面证明，四点共面连接交于证明，推出平面，即可证明平面平面（2）以为原点，所在的直线分别为，轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，平面的法向量，设平面与平面所成的锐二面角为，利用数量积求解即可【解答】解：（1）当为中点（即时，平面平面证明如下：由于且，故，四点共面连接交于在正方形中，故，即又平面，平面，所以，又因为，故平面，从而平面平面（2）三棱柱中，底面，于是可以以为原点，所在的直线分别为，轴建立空间直角坐标系，如图所示因为，分别是棱，的中点，所以，0，1，1，2，1，2，1，由（1）知平面的法向量为，2，设平面的法向量为，则，即：，令得，设平面与平面所成的锐二面角为，则【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及平面与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力19（12分）随着生活水平和消费观念的转变，“三品一标”（无公害农产品、绿色食品、有机食品和农产品地理标志）已成为不少人的选择，为此某品牌植物油企业成立了有机食品快速检测室，假设该品牌植物油每瓶含有机物的概率为，需要通过抽取少量油样化验来确定该瓶油中是否含有有机物，若化验结果呈阳性则含，呈阴性则不含若多瓶该种植物油检验时，可逐个抽样化验，也可将若干瓶植物油的油样混在一起化验，仅当至少有一瓶油含有有机物时混合油样呈阳性，若混合油样呈阳性，则该组植物油必须每瓶重新抽取油样并全部逐个化验（1）若，试求3瓶该植物油混合油样呈阳性的概率；（2）现有4瓶该种植物油需要化验，有以下两种方案：方案一：均分成两组化验；方案二：混在一起化验；请问哪种方案更适合（即化验次数的期望值更小），并说明理由【考点】：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；：离散型随机变量的期望与方差【专题】34：方程思想；35：转化思想；：概率与统计【分析】（1）设为3瓶该植物油中油样呈阳性的瓶数，利用相互对立事件的概率计算公式可得所求的概率为（2）设，则方案一：设所需化验的次数为，则的所有可能取值为2，4，6次，利用二项分布列的概率计算公式及其数学期望计算公式即可得出方案二：设所需化验的次数为，则的所有可能取值为1，5次，进而得出数学期望【解答】解：（1）设为3瓶该植物油中油样呈阳性的瓶数，所求的概率为，所以3瓶该种植物油的混合油样呈阳性的概率为（2）设，则方案一：设所需化验的次数为，则的所有可能取值为2，4，6次，方案二：设所需化验的次数为，则的所有可能取值为1，5次，因为，即，所以方案二更适合【点评】本题考查了相互对立与互斥事件的概率计算公式、二项分布列的概率计算公式及其数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20（12分）已知椭圆的离心率为，四个顶点构成的菱形的面积是4，圆过椭圆的上顶点作圆的两条切线分别与椭圆相交于，两点（不同于点，直线，的斜率分别为，（1）求椭圆的方程；（2）当变化时，求的值；试问直线是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由【考点】：椭圆的标准方程；：圆锥曲线的综合；：直线与椭圆的综合【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）利用已知条件求出，即可求解椭圆的方程（2），则有，化简得，直线，同理有，推出，是方程的两实根，故考虑到时，是椭圆的下顶点，趋近于椭圆的上顶点，故若过定点，则猜想定点在轴上联立直线与椭圆方程，求出相关点的坐标，求出直线的方程，推出直线过定点【解答】解：（1）由题设知，又，解得，故所求椭圆的方程是（2），则有，化简得，对于直线，同理有，于是，是方程的两实根，故考虑到时，是椭圆的下顶点，趋近于椭圆的上顶点，故若过定点，则猜想定点在轴上由，得，于是有直线的斜率为，直线的方程为，令，得，故直线过定点【点评】本题考查椭圆的简单性质椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，直线恒过定点问题，考查转化思想以及计算能力21（12分）已知函数（1）若函数恒有两个零点，求的取值范围；（2）若对任意，恒有不等式成立求实数的值；证明：【考点】：函数恒成立问题；：利用导数研究函数的最值；：不等式的证明【专题】32：分类讨论；34：方程思想；35：转化思想；53：导数的综合应用；59：不等式的解法及应用【分析】（1）利用导数的运算法则可得，对分类讨论，当时，故单调递增，舍去当时，有唯一解，此时，求出极值，进而得出答案（2）当时，不符合题意当时，由（1）可知，故只需令，上式即转化为，利用导数研究其单调性极值即可得出由可知，因而只需证明：，恒有注意到前面已经证明：，因此只需证明：对分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值即可得出【解答】解：（1），则当时，故单调递增，故不可能存在两个零点，不符合题意；当时，有唯一解，此时，则注意到，因此（2）当时，单调递增，的值域为，不符合题意；当时，则，也不符合题意当时，由（1）可知，故只需令，上式即转化为，设，则，因此在上单调递增，在上单调递减，从而（1），所以因此，从而有故满足条件的实数为证明：由可知，因而只需证明：，恒有注意到前面已经证明：，因此