高中数学 7.2两条直线的位置关系、对称问题配套课件 理 新人教A版.ppt

第二节两条直线的位置关系 对称问题 三年2考高考指数 1 掌握两条直线平行与垂直的条件 两条直线所成的角和点到直线的距离公式 2 能够根据两直线的方程判断两条直线的位置关系 1 两条直线位置关系的判断 两直线的交点 对称问题及距离公式是高考考查的重点 2 利用数形结合 分类讨论判断两直线的位置关系 利用待定系数法求直线方程等问题是重点 也是难点 3 题型以选择题和填空题为主 与圆锥曲线交汇时以解答题为主 1 两条直线的位置关系 k1 k2且b1 b2 条件 方程 关系 k1k2 1 k1 k2 k1 k2且b1 b2 即时应用 1 思考 两条直线l1 l2的斜率之积为 1是两直线垂直的什么条件 提示 充分不必要条件 由两直线的斜率之积为 1 可以得出两直线垂直 反过来 两直线垂直 斜率之积不一定为 1 如果l1 l2中有一条直线的斜率不存在 另一条直线的斜率为0时 l1与l2互相垂直 2 已知直线l1过点a 1 1 和b 2 1 直线l2过点c 1 0 和d 0 a 若l1 l2 则a 解析 l1与l2的斜率分别为由l1 l2可知 a 2 答案 2 3 直线l的倾斜角为30 若直线l1 l 则直线l1的斜率k1 若直线l2 l 则直线l2的斜率k2 解析 由直线斜率的定义知 直线l的斜率k tan30 l1 l k1 k l2 l k2 k 1 k2 答案 2 两条直线所成的角 l1到l2的角与l2到l1的角中不超过90 的角 直线l1与直线l2相交 l1按逆时针方向旋转到与l2重合时所转过的最小的角 即时应用 1 思考 l1到l2的角 1与l2到l1的角 2有何关系 提示 1 2 2 已知三条直线l1 y x 1 l2 y 1 l3 x y 1 0 l1与l2的夹角为 l2与l3的夹角为 则 的值为 解析 直线l1 y x 1的倾斜角为60 l2 y 1的倾斜角为0 l3 x y 1 0的倾斜角为135 故 60 45 105 答案 105 3 距离 即时应用 1 原点到直线x 2y 5 0的距离是 2 已知a a 5 b 0 10 ab 17 则a 3 两平行线y 2x与2x y 5间的距离为 解析 1 因为 2 依题设及两点间的距离公式得 解得 a 8 3 因为两平行线方程可化为 2x y 0与2x y 5 0 因此 两平行线间的距离为 答案 1 2 8 3 直线平行 垂直关系的判断及应用 方法点睛 两直线平行 垂直的判断方法 1 已知两直线的斜率存在 两直线平行 两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等 两直线垂直 两直线的斜率之积等于 1 2 已知两直线的一般方程可利用直线方程求出斜率 转化为第一种方法 或利用以下方法求解 a1a2 b1b2 0 例1 1 a 1 是 直线x y 0和直线x ay 0相互垂直 的 a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充要条件 d 既不充分也不必要条件 2 已知过点a 2 m b m 4 的直线与直线2x y 1 0平行 则m的值为 3 已知长方形abcd的三个顶点的坐标分别是a 0 1 b 1 0 c 3 2 求第四个顶点d的坐标 解题指南 1 本题关键是看由a 1是否能得出两直线垂直 由两直线垂直是否能得出a 1 2 可根据两直线平行 斜率相等 得出一个等式 解方程即可求值 3 设所求点的坐标为d x y 利用长方形的性质得出关于x y的方程组 解方程组即可得出d点的坐标 规范解答 1 选c 当a 1时 直线x ay 0可化为x y 0 此时x y 0和直线x ay 0相互垂直 当直线x y 0和直线x ay 0相互垂直时 1 1 1 a 0 解得 a 1 因此 a 1 是 直线x y 0和直线x ay 0相互垂直 的充要条件 2 因为直线2x y 1 0的斜率k 2 又因为过a 2 m b m 4 的直线与直线2x y 1 0平行 所以解得m 8 答案 8 3 设d的坐标为 x y 因为四边形abcd为长方形 所以 即解得即点d的坐标为 2 3 互动探究 本例 3 中条件不变 试求该四边形的四条边所在的直线方程 解析 因为a 0 1 b 1 0 所以ab边所在的直线方程为 即x y 1 0 又因为b 1 0 c 3 2 所以bc边所在的直线方程为 即x y 1 0 同理可得 cd边所在的直线方程为 x y 5 0 ad边所在的直线方程为 x y 1 0 反思 感悟 通过本例的解析过程可知 处理两直线的位置关系 在两直线斜率都存在的前提下 利用两直线的斜率和在y轴上的截距去处理 若直线的斜率不存在 则可考虑数形结合 变式备选 若直线l过点 1 2 且与直线2x 3y 4 0垂直 则直线l的方程为 解析 方法一 直线2x 3y 4 0的斜率为 k 设所求直线的斜率为k 所求直线与直线2x 3y 4 0垂直 k k 1 k 所求直线方程为y 2 x 1 即 3x 2y 1 0 方法二 由已知 设所求直线l的方程为 3x 2y c 0 又l过点 1 2 3 1 2 2 c 0 得 c 1 所以所求直线方程为3x 2y 1 0 答案 3x 2y 1 0 两直线的交点及夹角问题 方法点睛 1 两直线交点的求法求两直线的交点坐标 就是解由两直线方程组成的方程组 以方程组的解为坐标的点即为交点 2 过直线a1x b1y c1 0与a2x b2y c2 0交点的直线系方程a1x b1y c1 a2x b2y c2 0 不包括直线a2x b2y c2 0 3 应用夹角公式与到角公式时应注意以下两种情况的区别 1 过a点与l夹角为 的直线有两条 2 过a点到l的角为 的直线只有一条 例2 1 求经过直线x y 1 0与直线x y 3 0的交点 且也经过点a 8 4 的直线方程为 2 已知两直线l1 mx 8y n 0与l2 2x my 1 0 若l1与l2相交 求实数m n满足的条件 3 已知等腰直角三角形abc中 c 90 直角边bc在直线2x 3y 6 0上 顶点a的坐标是 5 4 求边ab和ac所在的直线方程 解题指南 1 可求出两直线的交点坐标 用两点式解决 也可用过两直线交点的直线系解决 2 两直线相交可考虑直线斜率之间的关系 从而得到m n满足的条件 3 求直线方程的关键是求点和斜率 利用等腰直角三角形的性质可求出 abc 45 据此可构造方程求斜率 规范解答 1 方法一 因为直线x y 1 0与直线x y 3 0的交点坐标为 2 1 直线又过a 8 4 所以所求直线方程为 即x 2y 0 方法二 设过直线x y 1 0与直线x y 3 0的交点的直线方程为x y 1 x y 3 0 又因为直线过a 8 4 所以8 4 1 8 4 3 0 解得 所以 所求直线方程为x 2y 0 答案 x 2y 0 2 因为两直线l1 mx 8y n 0与l2 2x my 1 0相交 因此 当m 0时 l1的方程为y l2的方程为x 两直线相交 此时 实数m n满足的条件为m 0 n r 当m 0时 两直线相交 解得m 4 此时 实数m n满足的条件为m 4 n r 3 直线bc的斜率 直线ac与直线bc垂直 ac边所在的直线方程为y 4 x 5 即3x 2y 7 0 abc 45 kab 5或kab ab边所在的直线方程为 y 4 x 5 或y 4 5 x 5 即x 5y 15 0或5x y 29 0 互动探究 本例 1 中的 且也经过点a 8 4 改为 与直线2x y 0垂直 求该直线方程 解析 方法一 因为直线x y 1 0与直线x y 3 0的交点坐标为 2 1 又直线与直线2x y 0垂直 所以所求直线的斜率因此所求直线方程为 即x 2y 0 方法二 设过直线x y 1 0与直线x y 3 0的交点的直线方程为x y 1 x y 3 0 即 1 x 1 y 1 3 0 又因为直线与直线2x y 0垂直 所以所求直线的斜率即有解得 所以所求直线方程为x 2y 0 反思 感悟 1 本例 1 是求直线方程 其关键是寻找确定直线的两个条件 可以直接求交点 利用两点式得出方程 此法要注意两点的纵 或横 坐标相同时 两点式方程不适用 也可以利用直线系方程求解 其关键是利用已知点求 的值 2 本例 2 考查两直线相交的条件 即斜率不等或有一条直线的斜率不存在 3 本例 3 考查两直线的夹角公式 要注意夹角公式中的绝对值符号 以免漏解 变式备选 当m为何值时 三条直线l1 4x y 3 0与l2 x y 0 l3 2x 3my 4 0能围成一个三角形 解析 三条直线能围成三角形即三条直线两两相交且不共点 当m 0时 解得 m 且m 又因为l1 4x y 3 0与l2 x y 0的交点为 1 1 所以2 3m 4 0 解得m 当m 0时 l3 2x 4 0 l1 4x y 3 0 l2 x y 0 l1与l3的交点为 2 5 l1与l2的交点为 1 1 l2与l3的交点为 2 2 能构成三角形 符合题意 综上可知 m m 且m 距离公式的应用 方法点睛 1 两点间的距离的求法可直接用公式求解设点a xa ya b xb yb 特例 ab x轴时 ab ya yb ab y轴时 ab xa xb 2 点到直线的距离的求法可直接利用点到直线的距离公式来求 但要注意此时直线方程必须为一般式 3 两平行直线间的距离的求法 1 利用 化归 法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离 2 利用两平行线间的距离公式 提醒 应用两平行线间的距离公式求距离时 要注意两平行直线方程中x y的系数必须相等 例3 已知三条直线l1 2x y a 0 a 0 l2 4x 2y 1 0和l3 x y 1 0 且l1与l2的距离是 1 求a的值 2 能否找到一点p 使p同时满足下列三个条件 p是第一象限的点 p点到l1的距离是p点到l2的距离的 p点到l1的距离与p点到l3的距离之比是若能 求p点坐标 若不能 说明理由 解题指南 1 由l1与l2的距离及两平行线之间的距离公式 可得关于a的方程 解方程即可得出a的值 2 由点p x0 y0 满足 条件可得出关于x0 y0的方程组 解方程组 即可求出点p的坐标 注意验证是否适合条件 规范解答 1 l2为2x y 0 l1与l2的距离 a 0 a 3 2 设存在第一象限的点p x0 y0 满足条件 则p点在与l1 l2平行的直线l 2x y c 0上且 即c 或c 2x0 y0 0或2x0 y0 0 若p点满足条件 由点到直线的距离公式有 即 2x0 y0 3 x0 y0 1 x0 2y0 4 0或3x0 2 0 p在第一象限 3x0 2 0不可能 由解得由解得 存在p 同时满足条件 反思 感悟 在解答本题时 首先要根据题设条件 由点到直线的距离公式 两平行线间的距离公式得出方程 组 这是很关键的问题 另外 还要注意每种距离公式所要求的条件 以防漏解 错解 变式训练 已知a 4 3 b 2 1 和直线l 4x 3y 2 0 在坐标平面内求一点p 使 pa pb 且点p到直线l的距离为2 解析 设点p的坐标为 a b a 4 3 b 2 1 线段ab的中点m的坐标为 3 2 线段ab的垂直平分线的方程为y 2 x 3 即x y 5 0 由题意知点p a b 在上述直线上 a b 5 0 又点p a b 到直线l 4x 3y 2 0的距离为2 即4a 3b 2 10 联立 可得 所求点p的坐标为 1 4 或 变式备选 过点p 1 2 引一直线 两点a 2 3 b 4 5 到该直线的距离相等 求这条直线的方程 解析 方法一 当斜率不存在时 过点p 1 2 的直线方程为 x 1 a 2 3 到x 1的距离等于3 且b 4 5 到x 1的距离也等于3 符合题意 当直线的斜率存在时 设斜率为k 过点p 1 2 的直线方程为 y 2 k x 1 即kx y k 2 0 依题设知 解上式得 所以 所求直线方程为 x 3y 5 0 综上可知 所求直线方程为x 1或x 3y 5 0 方法二 依题设知 符合题意的直线共有两条 一条是过点p 1 2 与ab平行的直线 另一条是过点p及ab中点的直线 因为a 2 3 b 4 5 所以因此 过点p与ab平行的直线的方程为 y 2 x 1 即x 3y 5 0 又因为a 2 3 b 4 5 的中点坐标d 1 4 所以过点p及ab中点的直线方程为x 1 综上可知 所求直线方程为x 1或x 3y 5 0 对称问题 方法点睛 1 对称中心的求法若两点a x1 y1 b x2 y2 关于点p a b 对称 则由中点坐标公式求得a b的值 即2 轴对称的两个公式若两点m x1 y1 n x2 y2 关于直线l ax by c 0 a 0 对称 则线段mn的中点在对称轴l上 而且连结mn的直线垂直于对称轴l 故有 3 对称问题的类型 1 点关于点对称 2 点关于直线对称 3 直线关于点对称 4 直线关于直线对称 以上各种对称问题最终化归为点关于点对称 点关于直线对称 4 对称问题的具体应用 1 在直线上求一点 使它到两定点距离之和最小问题 当两定点分别在直线的异侧时 两点连线与直线的交点即为所求 当两定点在直线的同一侧时 可借助于点关于直线对称 将问题转化为 情形来解决 2 在直线上求一点 使它到两定点距离之差的绝对值最大问题 当两定点在直线的同一侧时 利用三角形的两边之差小于第三边 可知两定点的连线与直线的交点即为所求 当两定点分别在直线的异侧时 可借助于点关于直线对称 将问题转化为 情形解决 例4 求直线a 2x y 4 0关于直线l 3x 4y 1 0对称的直线b的方程 解题指南 本题实质上是求直线的方程 可设法找到两个点的坐标 再由两点式即可求出方程 本题还可利用求曲线方程的方法求解 设所求曲线上任意一点 由该点关于直线l的对称点在已知曲线上 即可求得 规范解答 方法一 由解得直线a与l的交点e 3 2 e点也在直线b上 在直线a 2x y 4 0上取一点a 2 0 设a点关于直线l的对称点b的坐标为 x0 y0 由两点式得直线b的方程为即2x 11y 16 0 方法二 设直线b上的动点p x y 关于l 3x 4y 1 0的对称点为解上式得 由于q x0 y0 在直线a 2x y 4 0上 则化简得2x 11y 16 0是所求的直线b的方程 反思 感悟 1 此题是求直线关于直线对称的直线方程 通过求解本题 我们可体会到求直 曲 线的对称直 曲 线方程时可以转化为求点的对称点坐标来求解 2 利用两点式求直线方程要注意两点横坐标相等或纵坐标相等的情形 此时可直接写出直线方程 变式训练 1 在直线l 3x y 1 0上求一点p 使得p到a 4 1 和b 0 4 的距离之差最大 2 在直线l 3x y 1 0上求一点q 使得q到a 4 1 和c 3 4 的距离之和最小 解析 1 如图甲所示 设点b关于l的对称点为b 连结ab 并延长交l于p 此时的p满足 pa pb 的值最大 设b 的坐标为 a b 则kbb kl 1 即 3 1 a 3b 12 0 又由于线段bb 的中点坐标为且在直线l上 即3a b 6 0 联立 解得a 3 b 3 b 3 3 于是ab 的方程为即2x y 9 0 解得 所求p点的坐标为 2 5 2 如图乙所示 设c关于l的对称点为c 连结ac 与l交于点q 此时的q满足 qa qc 的值最小 设c 的坐标为 x y 由两点式得直线ac 的方程为即19x 17y 93 0 所求q点的坐标为 新定义下的直线方程问题 创新探究 典例 2012 上海模拟 在平面直角坐标系中 设点p x y 定义 op x y 其中o为坐标原点 对于以下结论 符合 op 1的点p的轨迹围成的图形的面积为2 设p为直线x 2y 2 0上任意一点 则 op 的最小值为1 其中正确的结论有 填上你认为正确的所有结论的序号 解题指南 根据新定义 讨论x的取值 得到y与x的分段函数关系式 画出分段函数的图象 即可求出该图形的面积 认真观察直线方程 可举一个反例 得到 op 的最小值为1是假命题 规范解答 由 op 1 根据新定义得 x y 1 上式可化为 y x 1 0 x 1 y x 1 1 x 0 y x 1 1 x 0 y x 1 0 x 1 画出图象如图所示 根据图形得到 四边形abcd为边长是的正方形 所以面积等于2 故 正确 当点p为 0 时 op x y 0 1 所以 op 的最小值不为1 故 错误 所以正确的结论有 答案 阅卷人点拨 通过对本题的深入研究 我们可以得到以下创新点拨和备考建议 1 2012 钦州模拟 如图 已知a 4 0 b 0 4 从点p 2 0 射出的光线经直线ab反射后再射到直线ob上 最后经