2019学年辽宁省沈阳市东北育才中学高三（上）期中数学试卷（理科）（含解析）

2018-2019学年辽宁省沈阳市东北育才中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）集合，则AB，CD，2（5分）“”是“”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3（5分）已知曲线在，（5）处的切线方程是，则（5）与（5）分别为A5，B，5C，0D0，4（5分）在中，则A1B2C3D45（5分）若，则ABCD6（5分）已知函数，则的图象大致为ABCD7（5分）已知函数，的零点依次为，则以下排列正确的是ABCD8（5分）欧拉公式为虚数单位是瑞士数学家欧拉发明的，将指数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式可知，表示的复数的模为ABCD9（5分）设、是两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列四个命题中不正确的是A，且，则B，且，则C，且，则D，且，则10（5分）函数在，内的值域为，则的取值范围是ABCD11（5分）设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是ABCD12（5分）设函数，给定下列命题不等式的解集为，；函数在单调递增，在单调递减；若时，总有恒成立，则；若函数有两个极值点，则实数则正确的命题的个数为A1B2C3D4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上.13（5分）设函数是定义在上的周期为2的奇函数，当时，则14（5分）已知点是椭圆上的一点，分别为椭圆的左、右焦点，已知，且，则椭圆的离心率为15（5分）在中，角，的对边分别为，且，则的面积为16（5分）已知对满足的任意正实数，都有，则实数的取值范围为三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）已知幂函数在上单调递增，函数（）求的值；（）当，时，记，的值域分别为集合，设命题，命题，若命题是成立的必要条件，求实数的取值范围18（12分）已知函数的最小正周期为，当时，有最大值4（）求，的值；（）若，且，求的值19（12分）已知数列满足（）求数列的通项公式；（）若，求数列的前项和为20（12分）设函数，其中为常数（）当（2），求的值；（）当，时，关于的不等式恒成立，求的取值范围21（12分）如图，在地正西方向的处和正东方向的处各有一条正北方向的公路和，现计划在和路边各修建一个物流中心和，为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路和，设（）为减少对周边区域的影响，试确定，的位置，使与的面积之和最小；（）为节省建设成本，求使的值最小时和的值22（12分）已知函数（1）若在定义域上不单调，求的取值范围；（2）设，分别是的极大值和极小值，且，求的取值范围2018-2019学年辽宁省沈阳市东北育才中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）集合，则AB，CD，【考点】：交集及其运算【专题】37：集合思想；：定义法；：集合【分析】化简集合、，根据交集的定义写出【解答】解：集合或，则故选：【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题2（5分）“”是“”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件【专题】11：计算题；：简易逻辑【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论【解答】解：，当时，；， “”是的必要不充分条件故选：【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础3（5分）已知曲线在，（5）处的切线方程是，则（5）与（5）分别为A5，B，5C，0D0，【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】34：方程思想；48：分析法；52：导数的概念及应用【分析】由切线方程和导数的几何意义，可得切点和切线的斜率【解答】解：曲线在，（5）处的切线方程是，可得切线的斜率为（5），（5），故选：【点评】本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，考查方程思想和运算能力，属于基础题4（5分）在中，则A1B2C3D4【考点】：平面向量数量积的性质及其运算【专题】35：转化思想；5：高考数学专题；：平面向量及应用【分析】直接利用向量的线性运算建立方程组，进一步求出和的坐标，最后利用向量的数量积的应用求出结果【解答】解：在平行四边形中，则：，解得：，则：故选：【点评】本题考查的知识要点：主要考察向量的线性运算和向量的数量积运算的应用，属于基础题型5（5分）若，则ABCD【考点】：不等式的基本性质【专题】：转化法；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用【分析】对于，利用不等式的性质即可判断出结论对于，利用对数的运算性质即可判断出正误【解答】解：，可得，不正确对于，又，可得：，因此正确故选：【点评】本题考查了不等式的性质、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6（5分）已知函数，则的图象大致为ABCD【考点】：函数的图象与图象的变换；：利用导数研究函数的单调性【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用【分析】利用函数的定义域与函数的值域排除，通过函数的单调性排除，推出结果即可【解答】解：令，则，由，得，即函数在上单调递增，由得，即函数在上单调递减，所以当时，函数有最小值，于是对任意的，有，故排除、，因函数在上单调递减，则函数在上递增，故排除，故选：【点评】本题考查函数的单调性与函数的导数的关系，函数的定义域以及函数的图形的判断，考查分析问题解决问题的能力7（5分）已知函数，的零点依次为，则以下排列正确的是ABCD【考点】52：函数零点的判定定理【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用【分析】利用数形结合，画出函数的图象，判断函数的零点的大小即可【解答】解：函数，的零点依次为，在坐标系中画出，与的图象如图：可知，满足故选：【点评】本题考查了函数的零点的判定理，数形结合的应用，属于基础题8（5分）欧拉公式为虚数单位是瑞士数学家欧拉发明的，将指数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式可知，表示的复数的模为ABCD【考点】：复数的运算【专题】38：对应思想；：定义法；：数系的扩充和复数【分析】由已知可得，整理后利用复数模的公式求解【解答】解：由，可得表示的复数的模为故选：【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础的计算题9（5分）设、是两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列四个命题中不正确的是A，且，则B，且，则C，且，则D，且，则【考点】：空间中直线与直线之间的位置关系；：平面与平面之间的位置关系【专题】14：证明题【分析】本题中四个选项涉及的命题是在线面关系的背景下研究线线位置关系，两个选项是在面面垂直的背景下研究线线平行与垂直，两个选项是在面面平行的背景下研究线线平行与垂直，分别由面面垂直的性质与面面平行的性质进行判断得出正确选项【解答】解：选项中的命题是正确的，分别垂直于两个平面的两条直线一定垂直，故不是正确选项；选项中的命题是错误的，因为，且成立时，两直线的关系可能是相交、平行、异面，故是正确选项；选项中的命题是正确的，因为，可得出，再由可得出，故不是正确选项；选项中的命题是正确的因为且，可得出，再由，可得出故不是正确选项故选：【点评】本题考查平面之间的位置关系，解题的关键是有着较好的空间想像能力以及对空间中线面，面面位置关系性质熟练掌握，本题是一个易错题，其问法找出“不正确”的选项，做题时易因为看不到“不”字而出错，认真审题可以避免此类错误10（5分）函数在，内的值域为，则的取值范围是ABCD【考点】：三角函数的最值【专题】33：函数思想；：转化法；57：三角函数的图象与性质【分析】根据余弦函数的图象与性质，结合题意得出，从而求出的取值范围【解答】解：函数，当，时，结合余弦函数的性质，则，解得，的取值范围是，故选：【点评】本题考查了余弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题11（5分）设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是ABCD【考点】：函数恒成立问题【专题】33：函数思想；35：转化思想；53：导数的综合应用【分析】对任意的，不等式恒成立，令，转化为在时恒成立；即可求解【解答】解：由题意，令，则在是恒大于0的，在，是递增函数，可得为（e）在恒成立即可实数，在，是递减函数，（e），即解得：的最大值为故选：【点评】本题主要考查了函数恒成立问题的求解，分类讨论以及转化思想的应用，导函数的单调性的应用12（5分）设函数，给定下列命题不等式的解集为，；函数在单调递增，在单调递减；若时，总有恒成立，则；若函数有两个极值点，则实数则正确的命题的个数为A1B2C3D4【考点】：利用导数研究函数的单调性【专题】33：函数思想；：转化法；53：导数的综合应用【分析】求出函数的导数，根据函数的单调性分别判断即可【解答】解：函数，则，对于，即，即故正确，对于，当时，递增，故错误，对于，若时，总有恒成立，则在恒成立，令，只需恒成立，即恒成立，令，则，令，解得：，故在递增，在递减，故（e），故，故成立，对于，若函数有2个极值点，则有2个零点，即，令，则，在递增，在递减，（1），即，故错误，综上，只有正确，故选：【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上.13（5分）设函数是定义在上的周期为2的奇函数，当时，则【考点】：函数奇偶性的性质与判断【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用【分析】根据是定义在上的周期为2的奇函数即可得出，而根据时，即可得出【解答】解：是定义在上的周期为2的奇函数；（1）（1）；（1）；又时，；故答案为：【点评】考查周期函数和奇函数的定义，已知函数求值的方法，对数的运算14（5分）已知点是椭圆上的一点，分别为椭圆的左、右焦点，已知，且，则椭圆的离心率为【考点】：椭圆的性质【专题】11：计算题；34：方程思想；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据椭圆定义和已知得：，然后在三角形中用余弦定理列式可解得离心率【解答】解：因为，又因为，解得：，在三角形中由余弦定理得：，化简得：，故答案为：【点评】本题考查了椭圆的性质属中档题15（5分）在中，角，的对边分别为，且，则的面积为【考点】：余弦定理【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形【分析】由正弦定理和三角函数公式化简已知式子可得的值，由余弦定理可求，利可求，用三角形面积公式即可得解【解答】解：在中，由正弦定理可得，解得，由余弦定理可得：，可得：，的面积故答案为：【点评】本题考查正、余弦定理解三角形，涉及同角三角函数基本关系和三角形的面积公式，属于基础题16（5分）已知对满足的任意正实数，都有，则实数的取值范围为【考点】：基本不等式及其应用【专题】11：计算题；59：不等式的解法及应用【分析】由正实数，满足，可求得，由恒成立可求得恒成立，利用对勾函数的性质即可求得实数的取值范围【解答】解：因为正实数，满足，而，解得或（舍去），由可得，即，令，则问题转化为，函数在，递增，所以，所以故答案为：【点评】本题考查基本不等式，考查对勾函数的单调性质，求得是关键，考查综合分析与运算的能力，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）已知幂函数在上单调递增，函数（）求的值；（）当，时，记，的值域分别为集合，设命题，命题，若命题是成立的必要条件，求实数的取值范围【考点】：幂函数的概念、解析式、定义域、值域【专题】33：函数思想；：转化法；51：函数的性质及应用【分析】（）根据幂函数的定义和性质求出检验即可，（）结合集合的关系进行求解【解答】解：（）依题意得：，或，当时，在上单调递减，与题设矛盾，舍去，（）由（）得：，当，时，即，当，时，即，若命题是成立的必要条件，则，则，即，解得：【点评】本题主要考查幂函数性质和定义的应用，函数值域的计算以及集合关系的应用，综合性较强18（12分）已知函数的最小正周期为，当时，有最大值4（）求，的值；（）若，且，求的值【考点】：两角和与差的三角函数；：三角函数的周期性【专题】33：函数思想；：转化法；57：三角函数的图象与性质【分析】（）利用辅助角公式化积，由周期求得，再由最值求得；（）由（）得，再由求得，进一步得到，则可求【解答】解：（），其中，由，得又当时，有最大值4，则；（）由（）得：，则，【点评】本题考查三角函数的恒等变换应用，考查型函数的图象和性质，是中档题19（12分）已知数列满足（）求数列的通项公式；（）若，求数列的前项和为【考点】：数列的求和【专题】11：计算题；33：函数思想；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列【分析】（1），两式作差求解数列的通项公式（2）化简数列的通项公式，利用裂项消项法求解数列的和即可【解答】解：（1），当时，（2分）得，（4分）又时，也适合式，（6分）（2）由已知，（三个等号一个一分，分）（12分）【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力20（12分）设函数，其中为常数（）当（2），求的值；（）当，时，关于的不等式恒成立，求的取值范围【考点】：函数恒成立问题【专题】34：方程思想；48：分析法；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用【分析】（）由的解析式，结合对数的运算性质，解方程即可得到所求值；（）由题意可得在恒成立，即有在恒成立，运用换元法和对勾函数的单调性，可得不等式右边函数的最大值，进而得到所求范围【解答】解：（）函数，（2），可得，即为，解得，检验满足对数的真数大于0，故；（）当，时，关于的不等式恒成立，即为在恒成立，即有在恒成立，由可得，在递增，可得的最小值为，则的最大值为，可得，即的取值范围是，【点评】本题考查对数函数的单调性和不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和对勾函数的单调性，考查方程思想和运算能力，属于中档题21（12分）如图，在地正西方向的处和正东方向的处各有一条正北方向的公路和，现计划在和路边各修建一个物流中心和，为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路和，设（）为减少对周边区域的影响，试确定，的位置，使与的面积之和最小；（）为节省建设成本，求使的值最小时和的值【考点】：解三角形【专题】11：计算题；38：对应思想；44：数形结合法；58：解三角形【分析】（）借助三角函数求出与的面积，利用基本不等式性质，求出，的位置；（）借助三角函数求出，利用导数求出当为，且为时，的