高中数学 2.4.2抛物线的简单几何性质课件 新人教B版选修21.pptVIP

抛物线的简单几何性质 前面我们已学过椭圆与双曲线的几何性质 它们都是通过标准方程的形式研究的 现在请大家想想抛物线的标准方程 图形 焦点及准线是什么 一 复习回顾 y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 练习 填空 顶点在原点 焦点在坐标轴上 开口向右 开口向左 开口向上 开口向下 二 抛物线的几何性质 抛物线在y轴的右侧 当x的值增大时 y 也增大 这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸 1 范围 由抛物线y2 2px p 0 所以抛物线的范围为 即点 x y 也在抛物线上 故抛物线y2 2px p 0 关于x轴对称 则 y 2 2px 若点 x y 在抛物线上 即满足y2 2px 定义 抛物线和它的轴的交点称为抛物线的顶点 由y2 2px p 0 当y 0时 x 0 因此抛物线的顶点就是坐标原点 0 0 注 这与椭圆有四个顶点 双曲线有两个顶点不同 顶点 4 离心率 抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离之比 叫做抛物线的离心率 由抛物线的定义 可知e 1 下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质 归纳 抛物线的几何性质 y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 x 0y r x 0y r y 0 x r y 0 x r 0 0 x轴 y轴 1 特点 1 抛物线只位于个坐标平面内 它可以无限延伸 但没有渐近线 2 抛物线只有条对称轴 对称中心 3 抛物线只有个顶点 个焦点 条准线 4 抛物线的离心率是确定的 其值为 半 1 无 1 1 1 1 思考 抛物线标准方程中的p对抛物线开口大小的影响 f a b y2 2px 2p 过焦点而垂直于对称轴的弦ab 称为抛物线的通径 利用抛物线的顶点 通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图 ab 2p 2p越大 抛物线张口越大 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径 pf x0 p 2 焦半径公式 思考 下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的焦半径公式 焦点在x轴上 焦点在y轴上 三 典型例题 例1 已知抛物线以x轴为轴 顶点是坐标原点且开口向右 又抛物线经过点m 求它的标准方程 解 根据已知条件 设抛物线的方程为 得 因此所求方程为 变式 顶点在坐标原点 对称轴是坐标轴 并且过点m 2 的抛物线有几条 求它的标准方程 当焦点在x y 轴上 开口方向不定时 设为y2 2mx m 0 x2 2my m 0 可避免讨论 跟踪练习 求适合下列条件的抛物线的方程 顶点在原点 关于x轴对称 并且经过点m 5 4 例2 汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分 灯泡位于抛物线焦点处 已知灯口的直24cm 灯深10cm 那么灯泡与反射镜的顶点 即截得抛物线的顶点 距离是多少 10 12 所在平面内建立直角坐标系 使反射镜的顶点与原点重合 x轴垂直于灯口直径 取反射镜的轴即抛物线的轴为x轴 抛物线的顶点为坐标原点 建立平面直角坐标系xoy 如图所示 设抛物线的方程为 y2 2px p 0 由条件可得a 10 12 代入方程得 122 2p 10 解得 p 抛物线焦点f的坐标为 3 6 0 解 因此灯泡与反射镜顶点的距离是3 6cm 解法一 由已知得抛物线的焦点为f 1 0 所以直线ab的方程为y x 1 联立方程组 解法二 由题意可知 由焦半径公式得 所以 即所求线段的长为8 跟踪练习 1 已知抛物线的顶点在原点 对称轴为x轴 焦点在直线3x 4y 12 0上 那么抛物线通径长是 2 过抛物线的焦点 作倾斜角为的直线 则被抛物线截得