高中数学 4.1.2圆的一般方程课件 新人教A版必修2.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 人教版 必修2 圆的方程 第四章 4 1圆的方程 第四章 4 1 2圆的一般方程 1 圆的标准方程为 2 用待定系数法求圆的标准方程步骤如下 1 由题意设出标准方程 2 列出关于a b r的方程 或方程组 3 解出a b r代入标准方程 3 由几何意义求圆的标准方程步骤如下 1 由题意确定圆心和半径长 2 写出标准方程 4 平面几何中的结论 不共线的 确定一个圆 知识衔接 x a 2 y b 2 r2 r 0 三点 答案 c 自主预习 d2 e2 4f 0 3 用 待定系数法 求圆的方程的大致步骤 根据题意 选择 或 根据条件列出关于a b r或d e f的 解出a b r或d e f 代入标准方程或一般方程 破疑点 若一个二元方程ax2 bxy cy2 dx ey f 0表示圆 应满足的条件是 a c 0 b 0 d2 e2 4f 0 标准方程 一般方程 方程组 拓展 1 圆的标准方程和一般方程的对比 1 由圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2 可以直接看出圆心坐标 a b 和半径r 圆的几何特征明显 2 由圆的一般方程x2 y2 dx ey f 0 d2 e2 4f 0 知道圆的方程是一种特殊的二元二次方程 圆的代数特征明显 3 相互转化 如图所示 2 由圆的一般方程判断点与圆的位置关系剖析 已知点m x0 y0 和圆的方程x2 y2 dx ey f 0 d2 e2 4f 0 则其位置关系如下表 2 轨迹方程点m的坐标 x y 满足的 称为点m的轨迹方程 拓展 当动点m的变化是由点p的变化引起的 并且点p在某一曲线c上运动时 常用中间量法 又称为相关点法 来求动点m的轨迹方程 其步骤是 1 设动点m x y 2 用点m的坐标来表示点p的坐标 3 将所得点p的坐标代入曲线c的方程 即得动点m的轨迹方程 关系式 预习自测 答案 b 2 若方程x2 y2 4x 2y 5k 0表示圆 则实数k的取值范围是 a rb 1 c 1 d 1 答案 b 解析 d2 e2 4f 0 16 4 20k 0 k 1 故选b 3 点p x0 y0 是圆x2 y2 4上的动点 点m是op o是原点 的中点 则动点m的轨迹方程是 答案 x2 y2 1 1 2015 荆州高二检测 圆x2 y2 2x 4y 0的圆心坐标为 a 1 2 b 1 2 c 1 2 d 1 2 二元二次方程与圆的关系 互动探究 探究 1 怎样由圆的一般方程得出其圆心和半径 2 题2中二元二次方程在什么件下表示圆 答案 1 b 2 a 规律总结 1 判断一个二元二次方程是否表示圆的步骤是 先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征 即 x2与y2的系数相等 不含xy项 当它具有圆的一般方程的特征时 再看它能否表示圆 此时有两种途径 一是看d2 e2 4f是否大于零 二是直接配方变形 看右端是否为大于零的常数即可 2 圆的标准方程指出了圆心坐标与半径的大小 几何特征明显 圆的一般方程表明圆的方程是一种特殊的二元二次方程 代数特征明显 1 过三点a 1 5 b 5 5 c 6 2 的圆的方程是 a x2 y2 4x 2y 20 0b x2 y2 4x 2y 20 0c x2 y2 4x 2y 20 0d x2 y2 4x 4y 20 0 用待定系数法求圆的方程 探究 1 题1中三点与圆心 半径无直接联系 应怎样设出圆的方程 2 圆的一般方程中含有几个待定系数 在求圆的方程时如何求出待定系数 答案 1 c 规律总结 求圆的方程有以下两种方法 1 几何法 利用圆的几何性质确定出圆心和半径 2 待定系数法 大致步骤为 根据题意 选择标准方程或一般方程 根据条件列出关于a b r或d e f的方程组 解出a b r或d e f 代入标准方程或一般方程 注 不论是圆的标准方程还是一般方程 必须具备三个独立条件 才能确定一个圆 在选择圆的标准方程或一般方程时 如果由已知条件容易知圆心坐标 半径长或可用圆心 半径长列方程 通常设圆的标准方程 如果已知条件和圆心坐标或半径长都无直接关系 通常选择一般方程 而利用圆的几何性质及数形结合思想又易于寻找解题思路 1 已知圆经过a 2 3 和b 2 5 若圆心在直线x 2y 3 0上 求圆的方程 2 求过点a 1 0 b 3 0 和c 0 1 的圆的方程 分析 由题设三个条件 可利用待定系数法求方程 也可利用弦的中垂线过圆心 先确定圆心 再求圆的半径 规律总结 1 第 1 题中 容易发现 利用圆的性质的解法3比用待定系数法的解法1和解法2计算量小 充分利用圆的性质可简化解题过程 2 用待定系数法求圆的方程时 如果由已知条件容易求得圆心坐标 半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题 一般采用圆的标准方程 求出a b r即可 如果给出圆上三个点坐标或已知条件与圆心或半径都无直接关系 一般采用一般方程 求出d e f即可 已知点p在圆c x2 y2 8x 6y 21 0上运动 求线段op的中点m的轨迹方程 探究 求动点的轨迹方程即求动点的坐标 x y 满足的关系式 可以建立点p与点m的坐标之间的关系 由点p的坐标满足方程x2 y2 8x 6y 21 0 得点m的坐标满足的条件 求出点m的轨迹方程 也可以根据图形的几何特征 直接利用圆的定义求解 求轨迹方程 探索延拓 点评 本题解法一为代入法 它用于处理一个主动点与一个被动点问题 只需找出这两点坐标之间的关系 然后代入主动点满足的轨迹方程即可 本题解法二为定义法 动点的轨迹满足某种曲线的定义 然后根据定义直接写出动点的轨迹方程 规律总结 求轨迹方程的常用方法 1 直接法 能直接根据题目提供的条件列出方程 步骤如下 说明 因为除个别情况外 化简过程都是同解变形过程 所以证明时步骤可以不写 如果有特殊情况 可适当予以说明 2 代入法 也称相关点代入法 找到所求动点与已知动点的关系 代入已知动点的所在的方程 具体步骤如下 设所求轨迹上任意一点q x y 与点q相关的动点p x0 y0 根据条件列出x y与x0 y0的关系式 求得x0 y0 即用x y表示出来 将x0 y0代入已知曲线的方程 从而得到点q x y 满足的关系式即为所求的轨迹方程 等腰三角形的顶点是a 4 2 底边一个端点是b 3 5 求另一个端点c的轨迹方程 并说明它的轨迹是什么 分析 先设出点c的坐标 x y 根据 ab ac 列方程化简整理 即可得点c的轨迹方程 然后由轨迹方程指明轨迹 已知点o 0 0 在圆x2 y2 kx 2ky 2k2 k 1 0外 求k的取值范围 易错点忽视圆的方程成立的条件 误区警示 错因分析 本题忽视了圆的一般方程x2 y2 dx ey f 0表示圆的条件为d2 e2 4f 0 而导致错误 思路分析 方程是否满足表示圆的条件 这是将二元二次方程按圆的方程处理时应首先考虑的问题 当m是什么实数时 关于x y的方程 2m2 m 1 x2 m2 m 2 y2 m 2 0表示的图形是一个圆 错解 形如ax2 by2 f 0的方程表示一个圆 只要a b 0 所以2m2 m 1 m2 m 2 即m2 2m 3 0 解得m1 1 m2 3 所以当m 1 或m 3时 原方程表示的图形是一个圆 1 圆x2 y2 4x 6y 0的圆心坐标是 a 2 3 b 2 3 c 2 3 d 2 3 答案 d 解析 圆的一般程化成标准方程为 x 2 2 y 3 2 13 可知圆心坐标为 2 3 2 过坐标原点 且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为 a x2 y2 2x 3y 0b x2 y2 2x 3y 0c x2 y2 2x 3y 0d x2 y2 2x 3y 0 答案 a 3 动点p到点a 8 0 的距离是到点b 2 0 的距离是2倍 则动点p的轨迹方程为 a x2 y2 32b x2