2016_17学年高中数学1.1.2蝗制和蝗制与角度制的换算学案新人教B版.docx

1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算1.了解弧度制，能熟练地进行弧度制与角度制之间的换算.2.掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式.(重点)基础初探教材整理1度量角的两种单位制阅读教材P7P8“第17行”以上内容，完成下列问题.1.角度制与弧度制的定义(1)角度制：用度作单位来度量角的制度叫做角度制.角度制规定60分等于1度，60秒等于1分.(2)弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1_rad.以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制.2.角的弧度数的计算在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对圆心角为 rad，则.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)1弧度是1度的圆心角所对的弧.()(2)1弧度是长度为半径的弧.()(3)1弧度是1度的弧与1度的角之和.()(4)1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位.()【解析】根据弧度制的定义知(4)正确.【答案】(1)(2)(3)(4)教材整理2角度制与弧度制的换算阅读教材P8“第18行”P9“例1”以上内容，完成下列问题.1.角度与弧度的互化2.一些特殊角与弧度数的对应关系(1)把6730化成弧度_.(2)把 rad化成度_.【解析】(1)673067.567.5rad rad.(2) rad180108.【答案】(1)(2)108教材整理3扇形的弧长与面积公式阅读教材P10“例4”“例5”内容，完成下列问题.设扇形的半径为r，弧长为l，为其圆心角，则为度数为弧度数扇形的弧长llr扇形的面积SSlrr2圆心角为弧度，半径为6的扇形的面积为_.【解析】扇形的面积为626.【答案】6质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型角度与弧度的互化与应用(1)将下列角度与弧度进行互化.20_；15_；_；_.(2)把15730化成弧度为_.(3)在0,4中，与72角终边相同的角有_.(用弧度表示)【精彩点拨】在进行角度与弧度的换算时，关键是抓住 rad180，1 rad这一关系.【自主解答】(1)2020；1515；105；396.(2)因为15730157.5 rad rad.(3)因为终边与72角相同的角为72k360(kZ).当k0时，72；当k1时，432；所以在0,4中与72终边相同的角有，.【答案】(1)105396(2)(3)，角度制与弧度制互化的方法及注意点：(1)方法：设一个角的弧度数为，角度数为n，则 rad；nn.(2)注意点：以“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写.以“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少的形式，如无特别要求，不必把写成小数.度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度.再练一题1.把5615化为弧度是()【导学号：72010003】A.B.C. D.【解析】561556.25.【答案】D用弧度数表示角(1)与角终边相同的角是()A.B.2k(kZ)C.2k(kZ)D.(2k1)(kZ)(2)若是第三象限的角，则是()A.第一或第二象限的角B.第一或第三象限的角C.第二或第三象限的角D.第二或第四象限的角【精彩点拨】(1)可把选择题中角写成2k，(kZ，0,2)形式来判断；(2)可由范围写出范围后，根据k为奇数或偶数来确定终边位置.【自主解答】(1)选项A中2，与角终边相同，故A错；2k，kZ，当k1时，得0,2)之间的角为，故与有相同的终边，B错；2k，kZ，当k2时，得0,2)之间的角为，与有相同的终边，故C对；(2k1)，kZ，当k0时，得0,2)之间的角为，故D错.(2)因为为第三象限的角，所以有2k2k，kZ，kk，kZ，kk，kZ，故kk，kZ.当k为偶数时，在第一象限；当k为奇数时，在第三象限，故选B.【答案】(1)C(2)B1.弧度制下与角终边相同的角的表示：在弧度制下，与角的终边相同的角可以表示为|2k，kZ，即与角终边相同的角可以表示成加上2的整数倍.2.确定角范围时，k值的取法：在表示角或角的范围时，通常会用到k，如2k(kZ)，kk，kZ，在确定角或的范围时，要根据k的系数来取值，如中k的系数为2，则取k的任一个值如0，得在第一象限.中k的系数为，则要分k为奇数、偶数两种情况取值.k为奇数时，取k1，得，在第二象限；k为偶数时，取k0，得，在第四象限，则为第二或第四象限的角.再练一题2.用弧度表示终边落在如图116所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合.图116【解】因为30 rad,210 rad，这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB上的角为k，kZ，而终边在y轴上的角为k，kZ，从而终边落在阴影部分内的角的集合为.探究共研型弧长公式与扇形面积公式的应用探究1用公式|求圆心角时，应注意什么问题？【提示】应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大小，又要注意其正负.探究2在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以“度”为单位，需注意什么问题？【提示】若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，否则结果出错.(1)(2016鹤岗高一检测)设扇形的周长为8 cm，面积为4 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是()A.1B.2C.3 D.4(2)已知扇形的周长为20 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？【精彩点拨】(1)可由扇形周长和面积建立方程组，通过解方程组求得；(2)可通过建立扇形面积的目标函数来求解.【自主解答】(1)设扇形半径为r，弧长为l，由题意得解得则圆心角2 rad.【答案】B(2)设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S.则l202r，Slr(202r)rr210r(r5)225(0r10).当半径r5 cm时，扇形的面积最大，为25 cm2.此时2 rad.当它的半径为5 cm，圆心角为2 rad时，扇形面积最大，最大值为25 cm2.弧度制下解决扇形相关问题的步骤：(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l|r，Sr2和Slr；(这里必须是弧度制下的角)(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式；(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解.再练一题3.已知扇形的圆心角为，半径为r.(1)若60，r10 cm，求扇形的弧长；(2)若扇形的周长是8，面积是4，求和r.【解】(1)弧长l|r10(cm).(2)由题意得由得ar，代入并整理得r24r40.r2，2.构建体系1.正确表示终边落在第一象限的角的范围的是()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)【解析】B中k1时为显然不正确；因为第一象限角不含终边在坐标轴的角故C，D均错，只有A正确.【答案】A2.与30角终边相同的角的集合是()A.B.|2k30，kZC.|2k36030，kZD.【解析】3030 rad rad，与30终边相同的所有角可表示为2k，kZ，故选D.【答案】D3.在半径为10的圆中，240的圆心角所对弧长为()A. B.C. D.【解析】240240 radrad，弧长l|r10，选A.【答案】A4.将1 485化成2k(02，kZ)的形式为_.【导学号：72010004】【解析】由1 4855360315，所以1 485可以表示为10.【答案】105.一个扇形的面积为1，周长为4，求该扇形圆心角的弧度数.【解】设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为，则2Rl4.由扇形的面积公式S lR，得lR1.由得R1，l2，2 rad.扇形的圆心角为2 rad.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.的角是()A.第一象限的角B.第二象限的角C.第三象限的角 D.第四象限的角【解析】因为4，所以与的终边相同，为第四象限的角.【答案】D2.若2 rad的圆心角所对的弧长为4 cm，则这个圆心角所对的扇形面积是()A.4 cm2 B.2 cm2C.4 cm2 D.2 cm2【解析】r2(cm)，Slr424(cm2).【答案】A3.圆的半径是6 cm，则15的圆心角与圆弧围成的扇形面积是()A. cm2 B. cm2C. cm2 D.3 cm2【解析】15，则S|r262(cm2).【答案】B4.下列说法不正确的是()A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B.1的角是周角的，1弧度的角是周角的C.1 rad的角比1的角要大D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关【解析】用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径无关.【答案】D5.集合中角所表示的范围(阴影部分)是()【解析】k为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线yx左上部分(包含边界)，k为奇数时集合对应的区域为第三象限内直线yx的右下部分(包含边界).故选C.【答案】C二、填空题6.把570写成2k(kZ，(0,2)的形式是_.【导学号：72010005】【解析】法一：570radrad，4.法二：5702360150，5704.【答案】47.一个半径为2的扇形，如果它的周长等于所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是_弧度，扇形面积是_.【解析】由题意知r2，l2rr，l(2)r，圆心角2(rad)，扇形面积Slr(2)rr2(2).【答案】22(2)三、解答题8.已知2 000.(1)把写成2k(kZ，0,2)的形式；(2)求，使得与的终边相同，且(4，6).【解】(1)2 000536020010.(2)与的终边相同，故2k，kZ，又(4，6)，所以k2时，4.9.已知一个扇形的周长是40，(1)若扇形的面积为100，求扇形的圆心角；(2)求扇形面积S的最大值.【解】(1)设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为，则由题意得解得则2(rad).故扇形的圆心角为2 rad.(2)由l2r40得l402r，故Slr(402r)r20rr2(r10)2100，故r10时，扇形面积S取最大值100.能力提升1.如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的倍，则该弧所对的圆心角是原来的()A. B.2倍C. D.3倍【