高考数学第一轮总复习 2.5 对数函数课件（含高考真题和模拟题）新人教A版.ppt

第五节对数函数 知识梳理 1 对数的定义 1 对数的定义 请根据如图的提示填写与对数有关的概念 其中a的取值范围是 指数 对数 幂 真数 底数 a 0 且a 1 2 两种常见对数 10 lgn e lnn 2 对数的性质 换底公式与运算性质 0 1 n logam logan logam logan nlogam 3 对数函数的定义 图象与性质 y logax 0 r 1 0 y 0 y 0 y 0 增函数 减函数 4 反函数指数函数y ax a 0 且a 1 与对数函数 a 0 且a 1 互为反函数 它们的图象关于直线 对称 y logax y x 考点自测 1 思考 给出下列命题 logax2 2logax 函数y log2 x 1 是对数函数 函数y 与y ln 1 x ln 1 x 的定义域相同 若logam logan 则m n 其中正确的命题有 a b c d 解析 选b 错误 logax2 2loga x 错误 不符合对数函数定义 正确 函数y 的定义域为 1 1 而函数y ln 1 x ln 1 x 的定义域亦为 1 1 错误 当a 1时成立 而0 a 1时不成立 2 2013 陕西高考 设a b c均为不等于1的正实数 则下列等式中恒成立的是 a logab logcb logcab logab logca logcbc loga bc logab logacd loga b c logab logac 解析 选b 由对数的运算性质 loga bc logab logac 可判断选项c d错误 选项a 由对数的换底公式知 logab logcb logca lg2b lg2a 此式不恒成立 故错误 对选项b 由对数的换底公式知 logab logca故恒成立 3 下列函数中 既是偶函数 又在区间 1 2 内是增函数的为 a y cos2x x rb y log2 x x r且x 0c y x rd y x3 1 x r 解析 选b y log2x x 0 是增函数 又y log2 x x r且x 0的图象关于y轴对称 故是偶函数 4 若函数y f x 是函数y ax a 0 且a 1 的反函数 且f 2 1 则f x 等于 a b 2x 2c d log2x 解析 选d 由题意知f x logax 又f 2 1 所以loga2 1 所以a 2 所以f x log2x 5 2014 株洲模拟 已知a log23 6 b log43 2 c log43 6 则 a a b cb a c bc b a cd c a b 解析 选b 因为a log23 6 1 0c log43 6 b log43 2 所以选b 6 2013 四川高考 lg lg的值是 解析 答案 1 考点1对数的运算 典例1 1 2014 威海模拟 定义在r上的函数f x 满足f x f x f x 2 f x 2 且x 1 0 时 f x 2x 则f log220 a 1b c 1d 2 lg25 lg2 lg log29 log32的值是 解题视点 1 根据函数的性质及对数运算性质将待求值调节到 1 0 上求值 2 根据对数运算性质进行计算 规范解答 1 选c 由f x f x f x 2 f x 2 可知函数为奇函数 且f x 4 f x 所以函数的周期为4 4 log220 5 0 log220 4 1 即log220 4 log2 所以f log220 f log220 4 f log2 f log2 f log2 因为 1 log2 0 所以f log2 所以f log220 f log2 1 2 原式 lg5 lg2 lg10 2log23 log32 1 2 答案 规律方法 对数运算的一般策略 1 首先利用幂的运算把底数或真数进行变形 化成分数指数幂的形式 使幂的底数最简 然后正用对数运算性质化简合并 2 将对数式化为同底数对数的和 差 倍数运算 然后逆用对数的运算性质 转化为同底对数真数的积 商 幂的运算 提醒 在运算中要注意对数化同底和指数与对数的互化 变式训练 2014 济南模拟 设函数f x 则f f 1 解析 f 1 2 1 所以f f 1 f log2 1 答案 1 加固训练 1 2013 宝鸡模拟 计算 lg2 2 lg2 lg5 lg5 解析 原式 lg2 lg2 lg5 lg5 lg2 lg5 1 答案 1 2 2014 保定模拟 设2a 5b m 且 2 则m 解析 因为2a 5b m 所以a log2m b log5m 所以 logm2 logm5 logm10 2 所以m2 10 m 答案 3 已知loga2 m loga3 n 求a2m n 解析 因为loga2 m loga3 n 所以am 2 an 3 所以a2m n am 2 an 22 3 12 考点2对数函数的图象及其应用 典例2 1 2014 荆州模拟 已知lga lgb 0 a 0且a 1 b 0且b 1 则函数f x ax与g x logbx的图象可能是 2 2014 南京模拟 已知实数a 0 f x 若方程f x a2有且仅有两个不等实根 且较大实根大于2 则实数a的取值范围是 解题视点 1 根据条件将b用a表示 进而根据f x ax与g x logbx的解析式关系确定图象 2 作出函数y f x a2的图象 数形结合求解 规范解答 1 选b 因为lga lgb 0 即lgab 0 所以ab 1 得b 故g x logbx logx logax 则f x 与g x 互为反函数 其图象关于直线y x对称 结合图象知 b正确 2 根据题意 作出函数y f x 的图象 发现 当x 1时 函数的图象是由y logx的图象向上平移个单位而得 它与x轴必有一个交点 且交点的横坐标大于1 而x 1时的图象是抛物线的一部分 各段图象如图 若方程f x 有且仅有两个不等实根 且较大实根大于2 则有 解得即 a 2 所以实数a的取值范围是 2 答案 2 互动探究 若本例 2 中的条件变为 已知函数f x 且关于x的方程f x a 0有两个实根 则实数a的范围如何 解析 当x 0时 0 2x 1 由图象可知方程f x a 0有两个实根 即y f x 与y a的图象有两个交点 所以由图象可知0 a 1 易错警示 注意图象的准确性利用对数函数图象求解对数型函数性质及对数方程 不等式等问题时切记图象的范围 形状一定要准确 否则数形结合时将误解 规律方法 利用对数函数的图象可求解的两类热点问题 1 对一些可通过平移 对称变换作出其图象的对数型函数 在求解其单调性 单调区间 值域 最值 零点时 常利用数形结合思想求解 2 一些对数型方程 不等式问题常转化为相应的函数图象问题 利用数形结合法求解 变式训练 1 2014 郑州模拟 当0 x 时 4x logax 则a的取值范围是 a 0 b 1 c 1 d 2 解析 选b 由04x 0 可得0 综上 可得a的取值范围是 1 2 函数y log2 x 1 的单调递减区间为 单调递增区间为 解析 作出函数y log2x的图象 再将其关于y轴对称 两支共同组成函数y log2 x 的图象 再将图象向左平移1个单位长度就能得到函数y log2 x 1 的图象 如图所示 由图知 函数y log2 x 1 的单调递减区间为 1 单调递增区间为 1 答案 1 1 加固训练 1 已知函数f x lnx g x lgx h x log5x 直线y a ax3 x2 故选a 2 2014 太原模拟 已知函数若a b c互不相等 且f a f b f c 则abc的取值范围是 a 1 10 b 5 6 c 10 12 d 20 24 解析 选c 作出f x 的大致图象 不妨设a b c 因为a b c互不相等 且f a f b f c 由函数的图象可知10 c 12 且 lga lgb 因为a b 所以lga lgb 可得ab 1 所以abc c 10 12 故选c 3 2014 兰州模拟 已知函数y f x x r 满足f x 2 f x 且当x 1 1 时 f x x2 则y f x 与y log7x的图象的交点的个数为 a 3b 4c 5d 6 解析 选d 因为f x 2 f x 所以t 2 又因为x 1 1 时 f x x2 利用图象法分别作出y f x 与y log7x的图象可得有6个交点 故选d 考点3对数函数的性质及其应用 考情 对数函数的性质为高考考查函数部分的一个重要亮点 常以选择 填空题的形式出现 考查比较对数值的大小 解简单的对数不等式 判断对数型函数单调性 区间 奇偶性以及求对数型函数最值 值域 等问题 高频考点通关 典例3 1 2013 新课标全国卷 设a log32 b log52 c log23 则 a a c bb b c ac c b ad c a b 2 2014 吉首模拟 关于函数f x lg x 0 有下列命题 其图象关于y轴对称 当x 0时 f x 是增函数 当x 0时 f x 是减函数 f x 的最小值是lg2 f x 在区间 1 0 和 1 上是增函数 其中所有正确结论的序号是 解题视点 1 引入中间量 1 并结合单调性比较求解 2 根据求解一般函数奇偶性 单调性 最值的方法求解 规范解答 1 选d 因为log32 1 log52 1 又log23 1 所以c最大 又1 log23 log25 所以 即a b 所以c a b 选d 2 因为函数f x f x 所以函数为偶函数 所以 图象关于y轴对称 所以 正确 因为函数f x 在 0 上不单调 所以函数f x 也不单调 所以 错误 因为 2 所以f x lg2 最小值为lg2 所以 正确 因为在区间 1 0 和 1 上 递增 所以函数f x 在区间 1 0 和 1 上也是增函数 所以 正确 所以正确的结论为 答案 通关锦囊 特别提醒 解决对数型函数 对数型不等式问题 一定要注意定义域优先原则 通关题组 1 2014 龙岩模拟 下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是 a y 2 x b y lg x c y 2x 2 xd y lg 解析 选d 根据奇偶性定义知 a c为偶函数 b为奇函数 d定义域为 x x 1 不关于原点对称 故选d 2 2014 北京模拟 函数f x 的定义域为 a 0 b 1 c 0 1 d 0 1 1 解析 选b 要使函数有意义 则有即所以解得x 1 即定义域为 1 3 2014 重庆模拟 设函数f x 若f a f a 则实数a的取值范围是 a 1 0 0 1 b 1 1 c 1 0 1 d 1 0 1 解析 选c 由题意可得或解得a 1或 1 a 0 4 2014 长沙模拟 若函数在r上是减函数 则实数a的取值集合是 解析 函数在r上是减函数 则 a 1 答案 加固训练 1 2014 石家庄模拟 若x e 1 1 a lnx b c elnx 则a b c的大小关系为 a c b ab b c ac a b cd b a c 解析 选b 依题意得a lnx 1 0 b 1 2 c x e 1 1 因此b c a 2 2014 成都模拟 函数f x loga 6 ax 在 0 2 上为减函数 则a的取值范围是 a 0 1 b 1 3 c 1 3 d 3 解析 选b 当0 x 2时 函数t g x 6 ax单调递减 所以要使函数f x 为减函数 所以函数y logat为增函数 所以有a 1且g 2 6 2a 0 即1 a 3 所以a的取值范围是 1 3 3 2014 中山模拟 已知函数f x loga 8 ax a 0 a 1 若f x 1在区间 1 2 上恒成立 则实数a的取值范围为 解析 当a 1时 f x loga 8 ax 在 1 2 上是减函数 由f x 1恒成立 则f x min loga 8 2a 1 解之得1 a 若01恒成立 则f x min loga 8 a 1 且8 2a 0 所以a 4 且a 4 故不存