高考数学第9章平面解析几何第4节双曲线及其性质模拟创新题理.docx

【大高考】2017版高考数学一轮总复习 第9章 平面解析几何 第4节 双曲线及其性质模拟创新题 理一、选择题1.(2016山东青岛模拟)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线平行于直线l：x2y50，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析由题意知：，c5，所以a220，b25，则双曲线的方程为1，故选A.答案A2.(2015河南开封模拟)已知ab0 ，椭圆 C1 的方程为1，双曲线 C2 的方程为1，C1 与 C2 的离心率之积为， 则C1 、 C2 的离心率分别为()A.，3 B.，C.，2 D.，2解析由题意知，所以a22b2，则C1、C2的离心率分别为e1，e2，故选B.答案B3.(2014洛阳模拟)设点P是双曲线1(a0，b0)与圆x2y2a2b2在第一象限的交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|3|PF2|，则双曲线的离心率为()A. B. C. D.解析令c，则c为双曲线的半焦距长.据题意，F1F2是圆的直径，|F1F2|2|PF1|2|PF2|2.(2c)2(3|PF2|)2|PF2|2，即2c|PF2|.根据双曲线的定义有|PF1|PF2|2a，|PF1|PF2|3|PF2|PF2|2|PF2|2a.e，双曲线的离心率为.答案D二、填空题4.(2016四川成都模拟)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程为2x3y0，则双曲线的离心率是_.解析由渐近线方程可设a3k，b2k，(k0)，ck，双曲线离心率为e.答案5.(2014广州一模)已知双曲线1的右焦点为(，0)，则该双曲线的渐近线方程为_.解析由题意得c，所以9ac213，所以a4.即双曲线方程为1，所以双曲线的渐近线为2x3y0.答案2x3y0创新导向题双曲线定义应用问题6.P是双曲线1(a0，b0)的右支上的一点，F1，F2分别是左、右焦点，则PF1F2的内切圆圆心的横坐标为()A.a B.bC. D.ab解析如图所示，F1(c，0)，F2(c，0)，设x轴与内切圆的切点是H，PF1，PF2与内切圆的交点分别为M，N，由双曲线定义得|PF1|PF2|2a，又|PM|PN|，故|MF1|NF2|2a，则|HF1|HF2|2a，设内切圆圆心的横坐标为x，则点H的横坐标为x ，故(xc)(cx)2a，解得xa，故选A.答案A双曲线几何性质应用问题7.线段AB是圆C1：x2y22x6y0的一条直径，离心率为的双曲线C2以A，B为焦点，若P是圆C1与双曲线C2的一个公共点，则|PA|PB|()A.2 B.4 C.4 D.6解析圆C1的半径r，AB是圆C1的直径，双曲线C2以A，B为焦点.双曲线的焦距2c|AB|2.又P是圆与双曲线的一个公共点，|PA|PB|2a，|PA|2|PB|240，|PA|2|PB|22|PA|PB|4a2，c，e，a，2|PA|PB|32，|PA|2|PB|22|PA|PB|(|PA|PB|)272， |PA|PB|6.故选D.答案D专项提升测试模拟精选题一、选择题8.(2015青岛一中月考)已知椭圆C1：1(ab0)与双曲线C2：x21有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则()A.a2 B.a213 C.b2 D.b22解析由题意知，a2b25，因此椭圆方程为(a25)x2a2y25a2a40，双曲线的一条渐近线方程为y2x，联立方程消去y，得(5a25)x25a2a40，直线截椭圆的弦长d2a，解得a2，b2.答案C二、填空题9.(2016豫晋冀三省调研)已知双曲线C的中心在原点，且左、右焦点分别为F1、F2，以F1F2为底边作正三角形，若双曲线C与该正三角形两腰的交点恰为两腰的中点，则双曲线C的离心率为_.解析设以F1F2为底边的正三角形与双曲线C的右支交于点M，连接MF1，则在RtMF1F2中，有|F1F2|2c，|MF1|c，|MF2|c，由双曲线的定义知|MF1|MF2|2a，即cc2a，所以双曲线C的离心率e1.答案110.(2016广东茂名模拟)已知抛物线y24x与双曲线1(a0，b0)有相同的焦点F，O是坐标原点，点A、B是两曲线的交点，若()0，则双曲线的实轴长为_.解析抛物线y24x与双曲线1有相同的焦点F(1，0)，由()0知AFx轴，不妨设A点在第一象限，则A点坐标为(1，2).设双曲线的左焦点为F，则|FF|2.由勾股定理得|AF|2.由双曲线定义知2a|AF|AF|22.答案2211.(2016湖南常德3月模拟)已知双曲线1(a0，b0)的左顶点为M，右焦点为F，过F的直线l与双曲线交于A，B两点，且满足：2，0，则该双曲线的离心率是_.解析因为2，所以F为AB的中点，所以ABx轴，即|AB|，又0，所以MAMB，所以|MF|，所以ac，即c2ac2a20，所以e2e20.解得e2.答案212.(2014衡水模拟)设点F1、F2是双曲线x21的两个焦点，点P是双曲线上一点，若3|PF1|4|PF2|，则PF1F2的面积为_.解析据题意，|PF1|PF2|，且|PF1|PF2|2，解得|PF1|8，|PF2|6.又|F1F2|4，在PF1F2中，由余弦定理得，cosF1PF2.所以sinF1PF2，所以SPF1F2683.答案3三、解答题13.(2016重庆万州模拟)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，).点M(3，m)在双曲线上.(1)求双曲线方程；(2)求证：0；(3)求F1MF2的面积.(1)解e，可设双曲线方程为x2y2(0).双曲线过点(4，)，1610，即6.双曲线方程为x2y26.(2)证明由(1)可知，在双曲线中ab，c2，F1(2，0)，F2(2，0).kMF1，kMF2，又点M(3，m)在双曲线上，9m26，m23.kMF1kMF21.MF1MF2.0.(3)解由(2)知MF1MF2，MF1F2为直角三角形.又F1(2，0)，F2(2，0)，m，M(3，)或(3，)，由两点间距离公式得|MF1|，|MF2|，SF1MF2|MF1|MF2|126.即F1MF2的面积为6.创新导向题双曲线中的探索性问题14.已知双曲线E：1(a0，b0)的两条渐近线分别为l1：y2x，l2：y2x.(1)求双曲线E的离心率；(2)如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点(A，B分别在第一、四象限)，且OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由.解(1)因为双曲线E的渐近线分别为y2x，y2x，所以2，所以2，故ca，从而双曲线E的离心率e.(2)由(1)知，双曲线E的方程为1.设直线l与x轴相交于点C.当lx轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|a，|AB|4a，因为OAB的面积为8，所以|OC|AB|8，因此a4a8，解得a2，此时双曲线E的方程为1.若存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能为1.以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E：1也满足条件.设直线l的方程为ykxm，依题意，得k2或k2，则C，记A(x1，y1)，B(x2，y2).由得y1，同