高考数学二轮复习 专题一 第5讲 导数与实际应用及不等式问题课件 理.ppt

第5讲导数与实际应用及不等式问题 高考定位高考对本内容的考查主要有 1 导数在实际问题中的应用为函数应用题注入了新鲜的血液 使应用题涉及到的函数模型更加宽广 要求是b级 2 导数还经常作为高考的压轴题 能力要求非常高 它不仅要求考生牢固掌握基础知识 基本技能 还要求考生具有较强的分析能力和计算能力 估计以后对导数的考查力度不会减弱 作为导数综合题 主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题 利用导数证明不等式等 常伴随对参数的讨论 这也是难点之所在 真题感悟 考点整合1 解决函数的实际应用题 首先考虑题目考查的函数模型 并要注意定义域 其解题步骤是 1 阅读理解 审清题意 分析出已知什么 求什么 从中提炼出相应的数学问题 2 数学建模 弄清题目中的已知条件和数量关系 建立函数关系式 3 解函数模型 利用数学方法得出函数模型的数学结果 4 实际问题作答 将数学问题的结果转化成实际问题作出解答 2 常见构造辅助函数的四种方法 1 移项法 证明不等式f x g x f x g x 的问题转化为证明f x g x 0 f x g x 0 进而构造辅助函数h x f x g x 2 构造 形似 函数 对原不等式同解变形 如移项 通分 取对数 把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构 根据 相同结构 构造辅助函数 3 放缩法 若所构造函数最值不易求解 可将所证明不等式进行放缩 再重新构造函数 4 主元法 对于 或可化为 f x1 x2 a的不等式 可选x1 或x2 为主元 构造函数f x x2 或f x x1 3 利用导数解决不等式恒成立问题的 两种 常用方法 1 分离参数法 将原不等式分离参数 转化为不含参数的函数的最值问题 利用导数求该函数的最值 根据要求得所求范围 一般地 f x a恒成立 只需f x min a即可 f x a恒成立 只需f x max a即可 2 函数思想法 将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题 利用导数求该函数的极值 最值 然后构建不等式求解 4 不等式的恒成立与能成立问题 1 f x g x 对一切x i恒成立 i是f x g x 的解集的子集 f x g x min 0 x i 2 f x g x 对x i能成立 i与f x g x 的解集的交集不是空集 f x g x max 0 x i 3 对 x1 x2 i使得f x1 g x2 f x max g x min 4 对 x1 i x2 i使得f x1 g x2 f x min g x min 热点一导数在实际问题中的应用 例1 2015 徐州质检 现有一张长为80cm 宽为60cm的长方形铁皮abcd 准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒 要求材料利用率为100 不考虑焊接处损失 如图 若长方形abcd的一个角剪下一块正方形铁皮 作为铁皮盒的底面 用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面 设长方体的底面边长为x cm 高为y cm 体积为v cm3 1 求出x与y的关系式 2 求该铁皮盒体积v的最大值 探究提高在利用导数求实际问题中的最大值和最小值时 不仅要注意函数模型中的定义域 还要注意实际问题的意义 不符合的解要舍去 探究提高 1 证明f x g x 或f x g x 可通过构造函数h x f x g x 将上述不等式转化为求证h x 0或h x 0 从而利用求h x 的最小值或最大值来证明不等式 或者 利用f x min g x max或f x max g x min来证明不等式 2 在证明不等式时 如果不等式较为复杂 则可以通过不等式的性质把原不等式变换为简单的不等式 再进行证明 探究提高存在性问题和恒成立问题的区别与联系存在性问题和恒成立问题容易混淆 它们既有区别又有联系 若g x m恒成立 则g x max m 若g x m恒成立 则g x min m 若g x m有解 则g x min m 若g x m有解 则g x max m 训练2 2015 泰州调研 已知函数f x lnx x2 ax a为常数 1 若x 1是函数f x 的一个极值点 求a的值 2 当0 a 2时 试判断f x 的单调性 3 若对任意的a 1 2 x0 1 2 不等式f x0 mlna恒成立 求实数m的取值范围 1 不等式恒成立 能成立问题常用解法有 1 分离参数后转化为最值 不等式恒成立问题在变量与参数易于分离的情况下 采用分离参数转化为函数的最值问题 形如a f x max或a f x min 2 直接转化为函数的最值问题 在参数难于分离的情况下 直接转化为含参函数的最值问题 伴有对参数的分类讨论 3 数形结合 2 利用导数证明不等式的基本步骤 1 作差或变形 2 构造新的函数h x 3 利用导数研究h x 的单调性或最值 4