高中数学 2.3.1抛物线及其标准方程课件 新人教A版选修11(1).ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 人教a版 选修1 11 2 圆锥曲线与方程 第二章 2 3抛物线 第二章 2 3 1抛物线及其标准方程 了解抛物线的定义 抛物线的标准方程及其推导过程 能根据条件确定抛物线的标准方程 经历抛物线标准方程的推导过程 对四种不同形式方程加以对比 提高分析归纳能力 重点 抛物线的定义及标准方程 难点 建立标准方程时坐标系的选取 思维导航1 我们已知二次函数的图象为抛物线 生产生活中我们也见过许多抛物线的实例 如探照灯的纵截面 那么抛物线是怎样定义的 有什么特点 如何画出抛物线 抛物线的定义及标准方程 如图 我们在黑板上画一条直线ef 然后取一个三角板 将一条拉链ab固定在三角板的一条直角边上 并将拉链下边一半的一端固定在c点 将三角板的另一条直角边贴在直线ef上 在拉锁d处放置一支粉笔 上下拖动三角板 粉笔会画出一条曲线 这是一条什么曲线 由画图过程你能给出此曲线的定义吗 新知导学1 平面内与一个定点f和一条定直线l 定点不在定直线上 的点的轨迹叫做抛物线 叫做抛物线的焦点 叫做抛物线的准线 2 从定义可以看出 抛物线不是双曲线的一支 双曲线有渐近线 而抛物线没有 对抛物线定义的理解应注意定点不在定直线上 否则 动点的轨迹是一条 距离相等 定点f 定直线l 直线 思维导航2 结合求曲线方程的步骤 类比椭圆 双曲线方程的推导过程 怎样求抛物线的标准方程 新知导学3 由抛物线的定义推导出它的标准方程时 要考虑怎样选择坐标系 由定义可知直线kf是曲线的对称轴 所以把kf作为 可以使方程不出现y的一次项 因为kf的中点适合条件 所以它在抛物线上 因而以kf的中点为 就不会出现常数项 这样建立坐标系 得出的方程形式比较简单 x轴 原点 4 同一条抛物线在坐标平面内的位置不同 方程也不同 顶点在原点 以坐标轴为对称轴的抛物线有四种形式 请依据这四种抛物线的图形写出标准方程 焦点坐标及准线方程 y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 5 过抛物线焦点的直线与抛物线相交 被抛物线所截得的线段 称为抛物线的 6 通过抛物线的焦点作垂直于坐标轴的直线交抛物线于a b两点 线段ab称为抛物线的通径 通径 ab 的长等于 焦点弦 2p 牛刀小试1 抛物线y2 4x的准线方程为 a x 2b x 2c x 1d x 1 答案 c 2 2015 陕西文 已知抛物线y2 2px p 0 的准线经过点 1 1 则该抛物线焦点坐标为 a 1 0 b 1 0 c 0 1 d 0 1 答案 b 解析 准线方程为x 1 p 2 焦点坐标为 1 0 答案 c 4 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程 1 准线方程为2y 4 0 2 过点 3 4 3 焦点在直线x 3y 15 0上 设抛物线的方程为y ax2 a 0 求抛物线的焦点坐标与准线方程 求抛物线的焦点及准线 方法规律总结 求抛物线的焦点及准线的步骤 1 把解析式化为抛物线标准方程形式 2 明确抛物线开口方向 3 求出抛物线标准方程中参数p的值 4 写出抛物线的焦点坐标或准线方程 求满足下列条件的抛物线的标准方程 抛物线的标准方程 分析 求解这类问题 应首先由已知条件设出标准方程 再根据已知条件求出参数p 最后写出结论 根据已知条件 确定是四种形式中的哪一种是关键 1 中直线与坐标轴有两个交点 4 0 0 3 也就有两种情况 2 开口向左 3 开口向上 4 有四种情况 方法规律总结 求抛物线标准方程的方法 直接法 直接利用题中已知条件确定焦参数p 待定系数法 先设出抛物线的方程 再根据题中条件 确定焦参数p 当焦点位置不确定时 应分类讨论或设抛物线方程为y2 mx或x2 my 已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式 已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式 需根据四种抛物线的图象及开口方向确定 求满足下列条件的抛物线的标准方程 1 过点 3 2 2 焦点在直线x 2y 4 0上 如图 1 所示 花坛水池中央有一喷泉 水管o p 1m 水从喷头p喷出后呈抛物线状 先向上至最高点后落下 若最高点距水面2m p距抛物线的对称轴1m 则水池的直径至少应设计多少米 精确到1m 抛物线的实际应用 图 1 分析 图 2 是图 1 中位于直线o p右边的部分 故o b为水池的半径 以抛物线的顶点为原点 对称轴为y轴建立平面直角坐标系 则易得p点坐标 再由p在抛物线上求出抛物线方程 再由b点纵坐标求出b点的横坐标即可获解 解析 如图 2 所示 建立平面直角坐标系 设抛物线方程为x2 2py p 0 图 2 方法规律总结 抛物线的实际应用问题 关键是建立坐标系 将题目中的已知条件转化为抛物线上点的坐标 从而求得抛物线方程 再把待求问题转化为抛物线的几何量讨论 分析 要解决本题 首先要建立适当的坐标系 求出拱桥的方程 然后求出船与桥恰有两个触点时的坐标 进而转化为水面与拱顶的距离 1 设抛物线y2 8x上一点p到y轴的距离是4 则点p到该抛物线焦点的距离是 a 4b 6c 8d 12 2 过点a 1 0 且与直线l x 1相切的圆的圆心的轨迹是 a 圆b 椭圆c 双曲线d 抛物线 抛物线定义的应用 分析 1 根据点p到y轴的距离求出它到抛物线准线的距离 利用抛物线定义转化为它到焦点的距离 2 根据动圆过点a 且与直线l相切 可知圆心到点a的距离等于它到直线l的距离 由抛物线定义知动圆圆心的轨迹是抛物线 解析 1 抛物线y2 8x的准线为x 2 因为点p到y轴的距离是4 故点p到准线的距离是6 根据抛物线的定义知点p到该抛物线焦点的距离是6 2 如图 设动圆的圆心为m 由题意 m到直线l的距离等于圆的半径 ma 由抛物线的定义知 点m的轨迹是以a 1 0 为焦点 以直线l为准线的抛物线 答案 1 b 2 d 方法规律总结 利用抛物线的定义可以将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离 这一相互转化关系会给解题带来方便 要注意灵活运用定义解题 1 设圆c与圆x2 y 3 2 1外切 与直线y 0相切 则c的圆心轨迹为 a 抛物线b 双曲线c 椭圆d 圆 2 若抛物线y2 4x上有一点p到焦点的距离为5 则点p的坐标为 答案 1 a 2 4 4 解析 1 由题意知动圆圆心c到点 0 3 的距离与到定直线y 1的距离相等 根据抛物线的定义可知 圆心c的轨迹是抛物线 2 设p的坐标为 x0 y0 抛