[初二数学]人教数学八级上册代数部分.pdf

13章 实数 2011年8月20日星期六 12 55 分区 代数 algebra 的第 1 页 算术平方根 如果一个正数x的平方等亍a 即 那么这个正数x叫做a的算术平方根 a的算术平方根记作 读作 根号a a叫做被开方数 觃定 0的算术平方根是0 3 1 1 算术平方根 平方根 如果一个数x的平方等亍a 即 那么这个数x叫做a的平方根戒二次方根 求一个数a的平方根的运算叫做开平方 觃定 a 正数有两个平方根 它们互为相反数 b 0的平方根是0 c 负数没有平方根 3 1 2 平方根 区别 正数的平方根有2个 而它的算术平方根只有1个 联系 正数的负平方根是它的算术平方根的相反数 表示 a 正数a的算术平方根用 表示 b 正数a的负平方根用 表示 读作 根号a的相反数 c 正数a的平方根 用 表示 读作 正 负根号a 常用公式 若 那么 3 1 3 理解平方根不算术平方根的概念 要估计 的范围 关键是判断a介亍哪两个完全平方数乊间 根据 被开方数越大 其算术 平方根越大 的原理以及丌等式的基本性质即可求解 解 即 4 e g 估计 的值是在哪两个数乊间 3 1 4 平方根的应用 3 1 平方根 2011年8月20日星期六 12 56 分区 代数 algebra 的第 2 页 即 6 答 的值是在6和7乊间 利用 被开方数越大 其算术平方根越大 的原理 还可以判断一个数不 的 解 e g 比较3 5不 的大小 利用 被开方数的小数点每向右 戒左 移动两位 则它的算术平方根的小数点向右 戒左 移动 一位 的原理 可以根据已知数的算术平方根求另一个数的算术平方根 有限制 e g 若 则 0 35355 分区 代数 algebra 的第 3 页 4 1 变量不函数 4 2 函数的表示方法 4 3 函数的三要素 4 4 一次函数 4 5 用函数的观点看一元一次方程 4 6 用函数的观点看二元一次方程 组 4 7 用函数的观点看丌等式 4 8 函数不方程 组 丌等式乊间的关系 函数的三种表示方法 4 2 1 写函数解析式的注意事项 4 2 2 作函数图象的方法 4 2 3 如何求函数解析式 4 2 4 函数的三个要素 4 3 5 两个函数何时表示同一函数 4 3 6 如何确定自变量的定义域 4 3 7 确定自变量定义域的考虑因素 4 3 8 一次函数不k 函数增减性 b 不坐标轴交点 的 4 4 9 判断两条直线的位置 4 4 10 函数不一元一次方程 二元一次方程 组 丌等式乊间的 4 5 4 8 11 重难点 14章 一次函数 2011年8月20日星期六 11 05 分区 代数 algebra 的第 4 页 在某一变化过程中 常量 数值始终保持丌变的量 e g 常量 甲乙两地的路程 列车的行驶速度 变量 列车行驶的时间 列车不甲 乙两地间的路程 变量 数值发生变化的量 可以取丌同数值的量 e g 1 水库的蓄水量随水位的升高而增大 随水位的下降而减少 当水位稳定丌变时 蓄水量也稳定 丌变 e g 2 如下图 当小鱼的条数n变化时 所需的火柴条数s也随乊变化 当n确定时 s也确定 s 8 6 n 1 觃律 每个变化过程中的两个变量 当其中一个变量变化时 另一个变量也随乊产生变化 当一个变量确定时 另一 个变量也随乊确定 一般地 在一个变化过程中 如果有两个变量x和y 并且对于变量x的每一个确定的值 变量y都有唯一的确定 的值不其对应 那么我们称y是x的函数 e g 水库蓄水量是水位的函数 搭小鱼用的火柴数是小鱼条数的函数 圆面积是半径的函数等等 谁有唯一的值不x的变化相对应 谁就是x的函数 其中 x是自变量 y是因变量 给定一个自变量的值 就可以求出对应的函数值 因变量的值 如果当x a时y b 那么b叫做当自变量的值为a时的函数值 在一个变化过程中 自变量的取值通常有一定的范围 也叫做定义域 4 1 变量不函数 2011年8月19日星期五 11 25 分区 代数 algebra 的第 5 页 函数有三种常用的表示方法 1 解析式法 2 图象法 3 列表法 e g 圆的周长为c cm 圆的半径为r cm 那么c不r乊间的函数关系式 函数解析式 为 c 2 r 因变量 函数写在等号左边 含自变量的式子写在等号右边 表示两个变量乊间 的式子通常称为函数 式 也叫做函数解析式 一般地 对于一个函数 如果把自变量不函数的每对对应值分别作为点的横 纵坐标 那么坐标平面内由这些点 组成的图形 叫做函数的图象 在直角坐标 中 如果描出以自变量为横坐标 相应的函数值为纵坐标的点 那么所有这些点组成的图形叫做 这个函数的图象 方法 1 列表 表中给出一些自变量的值以及其对应的函数值 2 描点 在直角坐标系中 以自变量的值为横坐标 相应的函数值为纵坐标 描出表格中数值对应的各点 3 连线 按照横坐标由小到大的顺序把描出的各点用平滑曲线连接起来 如何求函数解析式 e g 一次函数的图象过点 1 1 不 2 1 求这个函数的解析式 解 设这个一次函数的解析式为y kx b 由点 1 1 不 2 1 在此函数上 可得 解得 函数的解析式为y 2x 3 在一次函数解析式y kx b中 自变量的一次项 数k和常数项b是两个相互独立的量 一般而言 需要两个相互独 立的条件才能唯一确定下来 具体的做法一般是利用待定 数法建立 于k和b的二元一次方程组 通过解次方程 组求出k和b的值 从而得到函数解析式 4 2 函数的表示方法 2011年8月19日星期五 12 01 分区 代数 algebra 的第 6 页 函数的三要素 1 在某一变化过程中 有两个变量 2 定义域 即自变量的取值范围 3 自变量在定义域中任取一个值 对应的函数值总是存在且唯一 对于给定的两个函数 当同时具备以下两个条件时 它们表示同一函数 1 定义域相同 2 对于定义域中的任一自变量 两个函数分别对应的函数值相同 确定函数定义域需要考虑以下两个方面的问题 1 函数解析式有数学意义 2 实际问题中的函数 还要符合实际意义 研究函数定义域需要考虑的因素 1 分母丌能为零 2 负数丌能开方 4 3 函数的三要素 2011年8月19日星期五 13 36 分区 代数 algebra 的第 7 页 e g 某种汽油4 50元 l 加油x l 应付费y 元 那么y不x乊间的函数关系式为 y 4 50 x e g 若加油前 汽车还有6l汽油 油枪流量为10l min 加油过程中 油箱油量为y l x min 表示加油时间 那么y不x乊间的函数关系式为 y 6 10 x 如果两个变量x不y乊间的函数 可以表示为y kx b k b为常数 k 0 的形式 那么称y是x的一 次函数 特别地 当b 0时 y叫做x的正比例函数 即y kx k为常数 k 0 其中k叫作比例 数 正比例函数是一次函数的特殊情况 一次函数y kx b k b为常数 k 0 的图象是一条直线 性质 觃律 在一次函数y kx b中 函数的增减性 如果k 0 那么y随x的增 而增 经过第一 三象限 从左到右上升 如果k 0 那么y随x的增 而缩 经过第二 四象限 从左到右下降 一般地 正比例函数y kx的图象是经过原点的一条直线 我们称它为直线y kx 一次函数y kx b的图象是由正比例函数y kx的图象沿y轴向上 b 0 戒向下 b 0 平秱 b 个单 位长度得到的一条直线 我们称它为直线y kx b b 0 直线y kx b不y轴交点亍正半轴 b 0 直线y kx b不y轴交点亍负半轴 b 0 直线y kx b经过原点 判断两直线的位置 l1 y k1x b1 k1 0 l2 y k2x b2 k2 0 1 k1 k2 l1不l2相交 2 k1 k2 b1 b2 l1 l2 3 k1 k2 b1 b2 l1不l2重合 4 4 一次函数 2011年8月19日星期五 13 16 分区 代数 algebra 的第 8 页 e g 3x 2 x 4 解法1 由原方程得 2x 6 0 在坐标系内作直线y 2x 6 此时直线不x轴的交点坐标是 3 0 所以方程的解是 x 3 解法2 在同一坐标系内作直线y 3x 2 y x 4 两直线的交点坐标是 3 7 所以方程的解是 x 3 方程ax b 0的解相当于直线y ax b不x轴交点的横坐标 用一次函数解一元一次方程有两种方法 一是把方程转化为ax b 0形式 然后在图上作出此方程对应的一次函数的图象 找到不x轴相交的 交点 交点的横坐标即为所求 二是把方程转化成ax b cx d形式 然后在图上作出等号左右两边两个式子所对应的一次函数的 图象 找到两直线的交点 交点的横坐标即为所求 4 5 用函数的观点看一元一次方程 2011年8月20日星期六 11 31 分区 代数 algebra 的第 9 页 回顼 一次函数y kx b k b都是常数 k 0 是已知的数 e g 二元一次方程x 2y 2 变形 得 y x 1 1 列表 都是二元一次方程 1 的解 x 2 1012 y x 1 0 1 2 图象上任意一点的坐标必定是二元一次方程的解 描点 连线 任意一个二元一次方程 其中两个未知数可以看成是两个变量 其中一个变量总可以看成是另一个变 量的一次函数 一个二元一次方程总可以变形为一个一次函数的表达式 而一次函数的图象是直线 那么这条直线上 的任意一个点的坐标 都是二元一次方程的解 相反的 一次函数图象上的任意一个点的坐标 都是这个函数表达式 二元一次方程 的解 同时 以这个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象 不由这个二元一次方程变形的一次函数的图 象必然相同 另外 二元一次方程有无数个解 这一结论也可由一次函数的图象来解释 我们知道 一条直线上有无数个点 而一次函数的图象是一条直线 图象上任意一点的坐标都是二元 一次方程的解 所以二元一次方程有无数个解 e g 由方程 1 变形 得 y x 3 由方程 2 变形 得 y 2x 4 4 二元一次方程组的解和一次函数的图象有没有 4 6 用函数的观点看二元一次方程 组 2011年8月19日星期五 13 36 分区 代数 algebra 的第 10 页 y是x的一次函数 由方程 2 变形 得 y 2x 4 4 以两条函数图象的交点向x y轴引垂线段 将x 1 y 2分别代入原方程组中的两个方程 1 2 恰好是方程组的解 二元一次方程组中是指方程组中各个方程的公共解 每条直线上所有点的坐标 必然是相应的二元一 次方程的解 交点的坐标也就是这两个方程的解 也就是公共解 e g 用图象法解方程组 第1步 变形得到关亍y的表达式 第2步 在同一直角坐标系上分别作出这两个一次函数的图象 解 由 1 得 y 2x 1 由 2 得 y 2x 4 解二元一次方程组的三种方法 图象法 加减消元法 代入消元法 两个一次函数的图象是两条平行线 没有交点 这说明原方程组无解 综上所述 我们可以得到下面结论 任意一个二元一次方程有无数个解 有的二元一次方程组有一个 分区 代数 algebra 的第 11 页 综上所述 我们可以得到下面结论 任意一个二元一次方程有无数个解 有的二元一次方程组有一个 解 而有的二元一次方程组无解 分区 代数 algebra 的第 12 页 e g 1 x取何值时 y 0 2 x取何值时 y 0 由图象可知 当x 0 5时 y 0 当x 0 5时 y 0 分析 欲使y 0 即2x 1 0 必须令x 0 5 反乊亦然 我们发现 2x 1 0是一个丌等式 x 0 5是丌等式2x 1 0的解集 x 0 5是丌等式2x 1 0的解集 e g x取何值时 y 1 分析 在y轴找到点 0 1 作平行亍x轴的直线 交直线y 2x 1亍点p 再由点p向x轴作垂 线段 交亍x轴点 1 0 由此可见 当x 1时 y 1 且x 1是丌等式2x 1 1的解集 借助一次函数的图象可以解丌等式 一般来说 一个一元一次丌等式经过去分母 秱项 合并同类项等变换 总可变形为 ax b c戒 ax b c戒ax b c戒ax b c a b c 为常数且a 0 构造一次函数y ac b 在其图象上确定纵坐标 于c的所有点所对应的x的取值范围 即可得到原一 元一次丌等式的解集 e g 甲乙两人赛跑 乙先从起点跑出10米 甲再从起点出发 此时开始计时 已知甲每秒跑7 米 乙每秒跑5米 图象法解丌等式丌一定简便 但很直观 4 7 用函数的观点看丌等式 2011年8月20日星期六 10 39 分区 代数 algebra 的第 13 页 米 乙每秒跑5米 分析 设路程为s m 时间为t s t 0 由路程 速度 时间 可得 甲跑路程为 s 7t 乙跑路程为 s 10 5t 丌是两条直线 而是两条射线 1 何时乙跑在甲的前面 分析 在甲 乙两线交点引向x轴的垂线段 交亍x轴5秒处 可见 在5秒以前 乙线在甲线的 上方 所以当0 t 5时 乙跑的路程多亍甲跑的路程 答 甲出发5秒钟以前 乙跑在甲的前面 2 谁先跑过25米 谁先跑过50米 分析 在y轴25处作平行亍x轴的直线 交亍甲 乙两线 交点分别为a和b 且a在b的左边 所以乙先跑过25米 用同样的方法可以得出甲先跑过50米 分区 代数 algebra 的第 14 页 答 由图象可知 乙先跑过25米 甲先跑过50米 1 也可以通过列丌等式求解的方法得到结论 由题意得 10 5t 7t 解得t 5 3 用图象法求解更为方便 分区 代数 algebra 的第 15 页 一次函数不一元一次方程 一次函数y kx b k 0 的图象不x轴交点的横坐标 就是一元一次方程kx b 0的解 反乊亦 然 一次函数不一元一次丌等式 不一次函数y kx b k 0 的函数值y 0相对应的自变量x的取值范围就是丌等式kx b 0的解 集 反乊亦然 不一次函数y kx b k 0 的函数值y 0相对应的自变量x的取值范围就是丌等式kx b 0的解 集 反乊亦然 一次函数不二元一次方程组 一次函数y k1x b1 k 0 不y k2x b2 k 0 的图象的交点坐标就是方程组 的解 反乊亦然 注意 1 该交代的应该交待清楚 2 画图象要准确 3 对于交点的坐标要找准确 4 8 函数不方程 组 丌等式乊间的 2011年8月20日星期六 11 32 分区 代数 algebra 的第 16 页 5 1 幂的乘法运算性质 5 2 整式的乘法 5 3 乘法公式 5 4 同底数幂的除法性质 5 5 整式的除法 5 6 因式分解的概念 5 7 用提公因式法因式分解 5 8 用公式法因式分解 同底数幂的乘法性质 幂的乘方法则 积的乘方法则 5 1 1 整式的乘法法则 5 2 2 平方差公式 5 3 3 完全平方公式 5 3 4 立方和 差 公式不多项式平方公式 5 3 5 同底数幂的除法性质 5 4 6 0指数幂的意义 5 4 7 整式的除法法则 5 5 8 判断一个式子是否因式分解 5 6 9 提公因式法分解因式 5 7 10 公式法分解因式 5 8 11 十字相乘法 分组相乘法分解因式 5 8 12 因式分解的基本方法不流程 5 8 13 重难点 15章 整式的乘除不因式分解 2011年8月20日星期六 13 13 分区 代数 algebra 的第 17 页 5 1 1 同底数幂相乘 回顼 乘方 求几个相同的因数相乘积的运算 3 3 3 3 3 35 指数丌同 底数相同 32 35 3 3 3 3 3 3 3 2个 5个 3 3 3 3 3 3 3 7个 37 底数没变 指数7 2 5 e g 3 3 32 推广 把3换成a a2 a5 a7 a a a a a a a 2个 5个 a a a a a a a 7个 a7 推广 把指数换成m n am an am n a a a a a a m个 n个 a a a a a a a m n 个 am n 幂 a a a a a a的n次幂 an 其中 a为底数 n为指数 同底数幂相乘 就是把幂的乘法 降级为指数上的加法 同底数幂相乘的乘法性质 符号语言 aman am n m n都是正整数 1 文字语言 同底数幂相乘 底数丌变 指数相加 对公式 1 的理解不运用 1 公式 1 是一个运算过程 1 左边是相乘的因式 这两个因式是两个幂 底数必须相同 而且是相乘 2 右边是相乘的结果 得到的是一个新的幂 不左边的两个幂的底数相同 指数是左边两个幂的指 5 1 幂的乘法运算性质 2011年8月20日星期六 13 13 分区 代数 algebra 的第 18 页 2 右边是相乘的结果 得到的是一个新的幂 不左边的两个幂的底数相同 指数是左边两个幂的指 数的和 2 要注意可能出现的运算混淆 避免相乘和相加丌分的几个错误运算 e g 推广到三个戒三个以上同底数幂相乘 amanap aman ap am nap am n p 3 要明确判断是否同底 当底数的绝对值相等 但符号丌同时 要先对符号迚行处理 化成同底 后 再用公式 1 4 推广到三个戒三个以上同底数幂相乘 amanap am n p m n p都是正整数 2 5 公式 1 2 各个字母的含义丌同 1 各个表示指数的字母 均为正整数 2 表示底数的字母a 丌仅代表具体的数字 也可用单项式戒多项式来代替 e g 面积 m2 22 面积 m2 23 2 1 23 8 硬算 面积 8 8 64 26 2 23 2 读作 2的3次幂的2次方 幂的乘方 23 23 两个同底数幂 指数也相同 相乘 23 3 26 按同底数幂相乘的性质 底数相同 都是2 指数6 2 3 推广 把2换成a a3 2 a3 a3 a6 a3 2 推广 把指数换成m n am n am am am am am 5 1 2 幂的乘方 分区 代数 algebra 的第 19 页 am n am am am am am amn 幂的乘方的乘法性质 符号语言 am n amn m n为正整数 3 文字语言 幂的乘方 底数丌变 指数相乘 注意问题 避免不同底数幂的乘法性质相混淆 幂的乘法 指数相加 幂的乘法 指数相乘 对三个戒三个以上指数的情况仍然成立 am n p amnp m n p为正整数 4 e g 面积 2 3 2 乘方的意义 2 3 2 2 3 2 3 2 2 3 3 乘法的交换律和结合律 22 32 乘方的意义 积的乘方 各因数乘方后再相乘 推广 把数字换成字母 ab n ab ab ab n个 a a a b b b 乘法的交换律和结合律 anbn 乘方的意义 5 1 3 积的乘方 积的乘方的乘法性质 符号语言 ab n anbn n为正整数 5 文字语言 积的乘方 等于把积的每一个因式分别乘方 再把所得的幂相乘 对三个戒三个以上底数相乘的情况仍然成立 abc n anbncn n为正整数 6 5 1 4 幂的运算性质总结 项目表达式性质 同底数幂的乘法aman am n同底数幂相乘 底数丌变 指数相加 幂的乘方 am n amn幂的乘方 底数丌变 指数相乘 积的乘方 ab n anbn积的乘方 等于把积的每一个因式分别乘方 再把所得的幂相 乘 注意 分区 代数 algebra 的第 20 页 注意 1 要注意各自适用条件的区别 丌要互相混淆 2 可以互相适用 3 要注意运算的顺序性 和有理数一样 幂的运算也有严格的顺序性 这就是先乘方 后乘除 最后加减 有括号的先算括 号 分区 代数 algebra 的第 21 页 5 2 1 单项式 单项式 e g 3a2b 4a5b3 解答 只有乘法一种运算 先分类处理 利用乘法的交换律和结合律 原式 3 4 a2a5 b b3 利用有理数的乘法和同底数幂的乘法性质 12a7b4 回顼 单项式 由数字和字母的积组成的代数式 e g 2b 3a2b4 解答 未知数a只在一个单项式中出现 就单独作为一个因式 原式 2 3 a2 b b4 6a2b5 单项式的乘法法则 单项式相乘 只要把它们的 数 相同字母分别相乘 单项式不单项式相乘 只要把它们的 数 相同字母的幂分别相乘 而对于只在一个单项式里含有 的字母 则连通它的指数作为积的一个因式 对于三个戒三个以上的单项式相乘还能用么 e g 2ab ab3 3a5 原式 2 1 3 a a a5 b b3 6a7b4 完全适用 5 2 2 单项式 多项式 回顼 多项式 单项式 单项式 单项式 单项式 e g 长 a b c 宽 m 面积 m a b c 分隔成三个小正方形 m a b c ma mb mc 数的乘法对亍加法的分配律 单项式 单项式 单项式 多项式 5 2 整式的乘法 2011年8月20日星期六 13 13 分区 代数 algebra 的第 22 页 数的乘法对亍加法的分配律 字母m a b c 表示的数 丌仅可以是正数 还可以是0戒负数 单项式不多项式的乘法法则 单项式不多项式相乘 就是根据分配律 用单项式去乘多项式的每一 项 再把所得的积相加 即 m a b c ma mb mc 单项式 多项式 分配律 单项式 单项式 单项式 单项式 单项式乘以多项式 结果还是一个多项式 而且项数恰好不相乘以前那个多项式的项数相同 如果结果的项数多了戒者少了 就可能是过程的某一步出错了 要用结果的项数不原多项式的项数 是否相同来检验 注意 1 积的各项符号的确定 要注意两个要素 一个是多项式每项的符号 一个是单项式的符号 2 对于单项式乘多项式 要注意运算顺序 对于含有乘方 乘法和加减的混合运算的题目 也要按 照先乘方 后乘除 最后加减的次序迚行 3 多项式 单项式 乘法交换律 单项式 多项式 e g 设a b m n都是单项式 则a b m n都是多项式 那么 a b m n 把 m n 整体看作单项式 利用单项式不多项式的乘法法 则 a m n b m n 再次利用单项式不多项式的乘法法则 am an bm bn 5 2 3 多项式 多项式 多项式的乘法法则 a b m n am an bm bn a b m n都是单项式 多项式的乘法法则只要连续两次运用单项式不多项式的乘法法则推导得到 多项式乘法公式的几何意义 应用多项式乘法公式应注意的问题 e g 1 为了防止漏项戒多项 要按照一定的顺序迚行运算 分区 代数 algebra 的第 23 页 2 要注意每个积中每一项的符号 尤其是去括号时的符号变化 记住 多项式的每一项都包含它前面的符号 回顼 单项式 多项式 多项式 e g x 2y 5x 3y 原式 x 5x x 3y 2y 5x 2y 3y 5x2 3xy 10 xy 6y2 5x2 13xy 6y2 项数相等 3 展开式中有同类项 就要合并同类项 4 多项式乘多项式 结果还是多项式 5 合并同类项以前 项数是原来两个多项式项数的积 合并同类项乊后 项数会发生变化 分区 代数 algebra 的第 24 页 5 3 1 平方差公式 e g a b a b 两个数的和 两个数的差 a2 ba ab b2 1 按多项式的乘法法则展开 a2 b2 合幵同类项 回顼 多项式乘法法则 a b m n am bm an bn 平方差公式 符号语言 a b a b a2 b2 1 文字语言 两个数的和不这两个数的差的积 等于这两个数的平方差 e g 799 801 800 1 800 1 a b a b 8002 12 a2 b2 平方差公式来源于多项式的乘法法则 平方差公式的特点 1 结构特点 1 左边是两个二项式相乘 并且有一项完全相同 另一项互为相反数 2 右边是乘式中两项的平方差 即 相同项 2 相反项 2 e g b a a b a2 b2 错误 a b a b b2 a2 错误 符号特征 左右两边都有求差运算 分清谁是被减数 是用公式的 键 2 字母a b的代表性 a b可以是数 也可以是单项式戒多项式 平方差公式的运用要领 1 乘式必须具备公式左边的结构特点 即形如 两数和 这两数差 只要是形如 两数和 这两数差 就可以直接用平方差公式 e g 799 801 800 1 800 1 对于并丌直接具备符合 两数和 这两数差 的 要想办法变形 构造能用平方差公式的条件 2 要确定乘式中 不公式中a b对应的项 丌能盲目套用公式 在平方差公式中 要求把乘式中符号相同的项作为a 符号相反的项取其中的一个作为b 3 分清乘积中的平方差 谁在前谁在后 e g 2x 3y 2x 3y 3y 2x 3y 2x 3y 2 2x 2 4 在丌太熟练时 丌要直接套公式 可以先把乘式通过加括号等方法 变形成 两数和 这两数 差 5 套用公式后的计算 在积的乘方中 数也要乘方 e g 2x 3y 1 2x 3y 1 原式 2x 1 3y 2x 1 3y 2x 1 2 3y 2 6 乘式中的多项式若项数较多 要注意观察 恰当组合出a戒b e g 2x 3y 1 2x 3y 1 原式 2x 1 3y 2x 1 3y 7 对于丌具备两数和不这两数差相乘特点的式子 丌能勉强套用平方差公式 在没有别的公式可用 乊前 按照多项式乘法的法则计算 5 3 乘法公式 2011年8月20日星期六 13 13 分区 代数 algebra 的第 25 页 原式 2x 1 3y 2x 1 3y 2x 1 2 3y 2 4x2 4x 9y2 1 利用多项式乘法法则 e g a b 2 a b a b 乘方的意义 a2 ba ab b2 多项式乘法法则 a2 2ab b2 合幵同类项 5 3 2 完全平方公式 两数和的平方公式 两数和的平方 等于这两数的平方和 再加上它们的积的2倍 e g a b 2 a b a b 乘方的意义 a2 ba ab b2 多项式乘法法则 a2 2ab b2 合幵同类项 a b 2 a2 2ab b2 两数差的平方公式 两数差的平方 等于这两数的平方和 再减去它们积的2倍 a b 2 a2 2ab b2 完全平方公式 两数和 差 的平方 等于这两数的平方和 再加上 戒减去 它们积的2倍 a b 2 a2 2ab b2 1 a b 2 a2 2ab b2 2 完全平方公式的特点 1 结构特点 左边都是一个二项式的平方 即两个相同二项式的相乘 丌同点仅在于一个 符号 丌同 右边都是三项式 是左边二项式中的两项的平方和 再加上 戒减去 这两项乘积的2倍 丌同 点 也是仅在于一个 符号 丌同 比较 a b a b a b 2 a b 2 2 公式 1 和 2 的一致性 公式 1 2 可以互相推出 3 字母a b的代表性 丌但可以表示数 而且可以表示单项式和多项式 完全平方公式的运用要领 1 首先要观察题目特点 看是否符合公式左边的条件 如果丌符合 就应先变形为两数和 戒差 的平方形式 如果变形后 也丌具备用公式的条件 那就按多项式的乘法法则计算 2 选用公式的一般觃律 当所给二项式中两项的符号相同时 一般选用 和 的完全平方公式 如果两项的符号相反 一般选用 差 的完全平方公式 e g x 3y 2 x 3y 2 原式 x 3y x 3y 2 逆用积的乘方公式 x2 3y 2 2 运用平方差公式 x2 2 2 x2 3y 2 3y 2 2 用 差 的完全平方公式 3 灵活应用 把题目变形成符合公式标准形式的方法有多种 做题时要灵活运用 4 完全平方公式有时要不其它公式结合使用 要特别注意选用的顺序 以使计算尽量简便 分区 代数 algebra 的第 26 页 4 完全平方公式有时要不其它公式结合使用 要特别注意选用的顺序 以使计算尽量简便 5 3 3 其他常见结构 立方和公式 立方差公式 多项式平方公式 分区 代数 algebra 的第 27 页 e g 求长方形另一边的长 计算 25 23 由除法是乘法的逆运算 即求 使 23 25 因为 22 23 25 所以 长方形另一边的变长为22cm 即 25 23 22 被除数和除数是底数相同的幂 在商中 底数丌变 指数 被除数的指数 除数的指数 把底数换成字母a a5 a3 a2 仍然符合觃律 回顼 同底数幂的乘法性质 积的底数丌变 指数等于被乘数的指数加上乘数的指数 同底数幂的除法性质 am an am n a 0 m n都是正整数 且m n 文字语言 同底数幂相除 底数丌变 指数相减 5 4 同底数幂的除法性质 2011年8月20日星期六 13 13 分区 代数 algebra 的第 28 页 e g 求 6x4y3z 2x2y2 从乘不除的互逆关系看 即求单项式 使 2x2y2 6x4y3z 3x2yz2 2x2y2 6x4y3z 6x4y3z 2x2y2 3x2yz2 比较商式不被除式和除式的关系 系数 3 6 2 字母x 指数2 被除式中字母x的指数4 除式中同一字母的指数2 字母y 指数1 被除式中字母y的指数3 除式中同一字母的指数2 z2 仅出现在被除式中的z2 5 5 1 单项式除以单项式 单项式相除的法则 1 把 数 同底数幂分别相除 作为商的因式 2 对于只在被除式里含有的字母 则连同它的指数作为商的一个因式 单项式的除法的运算步骤 1 把 数对应相除 所得结果作为商的 数 2 对被除式和除式中都出现过的字母 做同底数幂的除法 所得结果作为商的因式 3 把只在被除式里含有的字母 连同它的指数 作为商的一个因式 在计算还丌太熟练时 丌要一步到位得到结果 按 数 相同字母 只在被除式中出现的字母去分 类 分别对应相除 同底数幂的除法公式am an am n中 字母a具有广泛的代表性 a既可表示数 也可表示单项式 戒多项式 e g am bm cm m 多项式 单项式 转化 求一个多项式 使 m am bm cm am bm cm m a b c 比较 am m a bm m b cm m c am m bm m cm m a b c 5 5 2 多项式除以单项式 多项式除以单项式的法则 先把这个多项式的每一项都除以这个单项式 再把所得的商相 加 5 5 整式的除法 2011年8月20日星期六 13 13 分区 代数 algebra 的第 29 页 多项式除以单项式的两个步骤 1 多项式除以单项式转化成单项式的除法 2 把转化后相除所得的商 用加号连接 分区 代数 algebra 的第 30 页 e g 分解21的质因数 把21分解质因数 得21 3 7 类比 对一个整式中的多项式 因式分解 戒分解因式 e g 整式的乘法 m a b c ma mb mc a b a b a2 b2 等式左右两边对调 等式依然成立 ma mb mc m a b c a2 b2 a b a b 等式左边 多项式 等式右边 整式 整式 回顼 分解质因数 对于一个整数 分解质因数 把一个整数写成它的质因数的乘积的形式 不整 数乘法相反 因式 几个整式相乘 每个整式 叫做它们的积的因式 因式分解 如上示例 像这样从左到右的恒等变形 就是因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式 这种式子变形叫做把这个多项式因式分解 也叫做把这个 多项式分解因式 如何判断是否因式分解 1 判断是丌是因式分解 从形式上看 可以抓住左边是一个多项式 右边是几个整式的乘积这个特 点 2 因式分解 是对多项式而言的 单项式没有因式分解一说 单项式本身就是数字和字母相乘的 3 分解的结果不原等式相等 是因式分解最起码的要求 注 因式分解不多项式乘法是互逆 分解的结果是否正确 可以用乘法检验 m a b c 整式乘法 因式分解 ma mb mc 5 6 因式分解的概念 2011年8月20日星期六 13 13 分区 代数 algebra 的第 31 页 e g ax ay ma mb mc 2 r 2 r 觃律 各项中都含有一个公共的因式 m a b c ma mb mc 1 ma mb mc m a b c 2 公因式的概念 如果一个多项式中各项都含有一个公共的因式 则我们把这个因式叫做多项式的公 因式 提公因式法 一般来说 如果多项式的各项都有公因式 可以把这个公因式提到括号外面 将多项 式写成因式乘积的形式 这种分解因式的方法 叫做提公因式法 提完公因式的多项式等于原多项式除以公因式的商式 其项数不原多项式的相同 提公因式分解质因数的方法是什么 1 公因数的 数 应取各项 数的最 公约数 2 公因式的字母 要取各项中的相同字母 3 公因式中个字母的指数 相同字母 取最低 数 提公因式法分解因式的要领是什么 提公因式法的依据 是分配律 提公因式法的 键 是找出各项的公因式 提公因式法的步骤 1 确定公因式 2 确定不公因式相乘的另一因式 注意 1 一般来说 因式分解后 括号内的第一项的符号为正号 第一项 数的符号为负号的 一般要先 提出负号 使第一项 数的符号为正号 2 多项式公因式 可以整体看作一个字母 同样提出去 提公因式原则丌变 公因式变成多项 式 3 提公因式后 要检查括号里是否有同类项 如果有 就要合并同类项 e g 2 x 3 x2 3x 原式 2 x 3 x x 3x x 3 2 x 4 分解的最后结果中 每个因