河南省新乡市原阳一中高中数学 1.5 定积分的概念课件 新人教A版选修22.pptVIP

1 5定积分的概念 1 5 1曲边梯形的面积 探究思考 问题1 你能求出下面图像的面积吗 问题2 第三幅图的面积应该怎么求呢 曲边梯形 在直角坐标系中 由连续曲线y f x 直线x a x b及x轴所围成的图形叫做曲边梯形 o x y y f x 求曲边梯形的面积 x a x b 以直代曲 逼近 因此 我们可以用这条直线l来代替点p附近的曲线 也就是说 在点p附近 曲线可以看作直线 即在很小范围 内以直代曲 放大 再放大 以直代曲 无限逼近 的数学思想 y f x 用一个矩形的面积a1近似代替曲边梯形的面积a 得 用两个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积a 得 a a1 a2 a3 a4 用四个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积a 得 a a1 a2 an 将曲边梯形分成n个小曲边梯形 并用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积 于是曲边梯形的面积a近似为 以直代曲 无限逼近 当分点非常多 n非常大 时 可以认为f x 在小区间上几乎没有变化 或变化非常小 从而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值f xi 作为小矩形一边的长 于是f xi x来近似表示小曲边梯形的面积 表示了曲边梯形面积的近似值 探究思考 例1 求抛物线y x2 直线x 1和x轴所围成的曲边梯形的面积 解析 把底边 0 1 分成n等份 然后在每个分点作底边的垂线 这样曲边三角形被分成n个窄条 用矩形来近似代替 然后把这些小矩形的面积加起来 得到一个近似值 再取其极限值 探究思考 把区间 0 1 等分成n个小区间 过各区间端点作x轴的垂线 从而得到n个小曲边梯形 他们的面积分别记作 分割 近似代替 如图 当n很大时 即 x很小时 在区间上可以认为函数的值变化很小 把曲边梯形分成n个小曲边梯形面积记做 用小矩形的面积近似地替代即局部小范围内 以直代曲 则阴影部分面积 求和 得到s 曲边梯形面积 的近似值 取极限 当n趋向于无穷大 即趋向于0时 趋向于s 从而有 分割 以曲代直 作和 逼近 在 近似代替 中 如果认为函数在区间上的值近似地等于右端点处的函数值 用这种方法能求出s的值吗 若能求出 这个值也是吗 取任意处的函数值作为近似值 情况又怎样 探究 小结求由连续曲线y f x 围成的曲边梯形面积的方法 1 分割 2 近似代替 4 取极限 3 求和 1 当n很大时 函数在区间上的值 可以用 近似代替a b c d c 练习 2 在 近似代替 中 函数f x 在区间上的近似值等于 a 只能是左端点的函数值b 只能是右端点的函数值c 可以是该区间内任一点的函数值d 以上答案均不正确 c 练习 1 5 2汽车行驶的路程 1 分割 2 近似代替 3 求和 4 取极限 用黄色部分的面积来代替曲边梯形的面积 当曲边梯形分割的越细 蓝色部分面积就越小 就越接近曲边梯形的面积 复习 如何求曲边梯形的面积 以直代曲 从小于曲边梯形的面积来无限逼近 从大于曲边梯形的面积来无限逼近 复习 引入 探究思考 结合求曲边梯形面积的过程 你认为汽车行驶的路程s和由直线t 0 t 1 v 0和曲线所围成的曲边梯形的面积有什么关系 例题 如果汽车做变速直线运动 在时刻t的速度为 t的单位 h v的单位 km h 那么它在这段时间内行驶的路程s 单位 km 是多少 求变速直线运动的路程 分割 在时间区间 0 1 上等间隔地插入n 1个分点 将它等分成n个小区间 记第i个区间为 其长度为 把汽车在时间段上行驶的路程分别记作 显然有 近似代替 当n很大 即很小时 在区间上 函数的变化值很小 近似地等于一个常数 从物理意义上看 就是汽车在时间段上的速度变化很小 不妨认为它近似地以时刻处的速度作匀速行驶 在区间上 近似地认为速度为即在局部小范围内 以匀速代变速 由近似代替求得 求和 取极限 当n趋向于无穷大 即趋向于0时 趋向于s 从而有 结论 1 5 3定积分的概念 普通高中课程标准实验教材选修2 2 从求曲边梯形面积以及变速直线运动路程的过程可知 它们都可以通过 四步曲 分割 近似代替 求和 取极限得到解决 且都可以归结为求一个特定形式和的极限 曲边梯形面积 变速直线运动路程 复习 一 定积分的概念 概念 定积分的定义 定积分的相关名称 叫做积分号 f x 叫做被积函数 f x dx 叫做被积表达式 x 叫做积分变量 a 叫做积分下限 b 叫做积分上限 a b 叫做积分区间 按定积分的定义 有 1 由连续曲线y f x f x 0 直线x a x b及x轴所围成的曲边梯形的面积为 2 设物体运动的速度v v t 则此物体在时间区间 a b 内运动的距离s为 定积分的定义 1 正确理解定积分的概念 3 规定 二 定积分的几何意义 x a x b与x轴所围成的曲边梯形的面积 当f x 0时 由y f x x a x b与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方 s 上述曲边梯形面积的负值 s 探究 根据定积分的几何意义 你能用定积分表示图中阴影部分的面积吗 探究 课本p46 三 定积分的基本性质 性质1 性质2 定积分关于积分区间具有可加性 性质3 性质3不论a b c的相对位置如何都有 在区间 0 1 上等间隔地插入n 1个分点 把区间 0 1 等分成n个小区间每个小区间的长度为 1 分割 例题 2 近似代替 作和 3 取极限 例1 用定积分表示下列阴影部分的面积 1 s 题型一利用定积分表示曲边梯形的面积 2 s 3 s 例2 用定积分表示图中四个阴影部分面积 解 0 0 0 0 a y x y x y x y x f x x2 f x x2 1 2 f x 1 a b 1 2 f x x 1 2 1 解 0 0 0 0 a y x y x y x y x 1 2 a b 1 2 f x x2 f x x2 f x 1 f x x 1 2 1 解 0 0 0 0 a y x y x y x y x 1 2 a b 1 2 f x x2 f x x2 f x 1 f x x 1 2 1 解 0 0 0 0 a y x y x y x y x 1 2 a b 1 2 f x x2 f x x2 f x 1 f x x 1 2 1 题型二利用定积分的几何意义求定积分 例3 利用定积分的几何意义 求下列各式的值 分析 定积分的几何意义是 介于直线x a x b x轴及y f x 所围成图形面积的代数和 其中x轴上方部分为正 x轴下方部分为负 被积函数的曲线是圆心在原点 半径为2的半圆 由定积分的几何意义知 此定积分为半圆的面积 所以 解 x y f x sinx 1 1 例3 利用定积分的几何意义 求下列各式的值 1 利用定积分的几何意义 判断下列定积分值的正 负号 2 利用定积分的几何意义 说明下列各式成立 1 2 1 2 练习 3 试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积 0 y x y x2 1 2 0 x y f x y g x a b y 练习4 2 面积值为圆的面积的 正确理解定积分的概念几何意义 衔接高考 2009广东 理 8 已知甲 乙两车由同一起点同时出发 并沿同一路线 假定为直线 行驶 甲车 乙车的速度曲线分别为和 如图2所示 那么对于图中给定的和 下列判断中一定正确的是 x y a 在时刻 甲车在乙车前面b 时刻后 甲车在乙车后面c 在时刻 两车的位置相同d 时刻后 乙车在甲车前面 a 求曲线下方 曲边梯形 的面积和变速直线运动的位移问题的一般步骤 小结 讨论问题常用一般到特殊再到一般的方法 以直代曲在近似计算中的应用 极