2019_2020学年高中数学第1章推理与证明4数学归纳法学案北师大版.docx

4数学归纳法学 习 目 标核 心 素 养1了解数学归纳法的思想实质，掌握数学归纳法的两个步骤(重点)2体会数学归纳法原理，并能应用数学归纳法证明简单的问题(重点、难点)1通过对数学归纳法步骤的理解，提升逻辑推理的核心素养.2通过应用数学归纳法证明数学问题，培养逻辑推理和数学运算的核心素养.1数学归纳法的基本步骤数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法它的基本步骤是：(1)验证：当n取第一个值n0(如n01或2等)时，命题成立；(2)在假设当nk(nN，kn0)时命题成立的前提下，推出当nk1时，命题成立根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立2应用数学归纳法注意的问题(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可(3)步骤(2)的证明必须以“假设当nk(kn0，kN)时命题成立”为条件1用数学归纳法证明等式123(n3)(nN)时，第一步验证n1时，左边应取的项是()A1B12C123 D1234D当n1时，左边应为1234，故选D.2一个关于自然数n的命题，如果验证当n1时命题成立，并在假设当nk(k1且kN)时命题成立的基础上，证明了当nk2时命题成立，那么综合上述，对于()A一切正整数命题成立B一切正奇数命题成立C一切正偶数命题成立 D以上都不对B本题证的是对n1,3,5,7时命题成立，即命题对一切正奇数成立3用数学归纳法证明不等式“(nN，n2)”的过程中，由nk(kN，k2)推导到nk1时，不等式左边增加的式子是_当nk时，左边，当nk1时，左边，故左边增加的式子是.用数学归纳法证明等式【例1】用数学归纳法证明：1.思路探究：证明(1)当n1时，左边1右边，等式成立(2)假设nk(k1)时等式成立，即1，则当nk1时，左边1右边nk1时等式也成立由(1)(2)知等式对任意正整数n都成立数学归纳法证题的三个关键点1验证是基础找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是12递推是关键数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k1”的过程中，要正确分析式子项数的变化关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由nk到nk1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项3利用假设是核心在第二步证明nk1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“nk时命题成立”作为条件来导出“nk1”，在书写f(k1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法1用数学归纳法证明：(nN)证明(1)当n1时，左边，右边，等式成立(2)假设当nk(kN，k1)时，成立，当nk1时，所以nk1时，等式成立，综上可得，等式对于任意nN都成立.用数学归纳法证明不等式【例2】(1)用数学归纳法证明不等式(n2，nN)的过程中，由nk推导nk1时，不等式的左边增加的式子是_(2)证明：不等式12(nN)思路探究：(1)写出当nk时左边的式子，和当nk1时左边的式子，比较即可(2)在由nk到nk1推导过程中利用放缩法，在利用放缩时，注意放缩的度(1)当nk1时左边的代数式是，增加了两项与，但是少了一项，故不等式的左边增加的式子是.(2)证明当n1时，左边1，右边2，左边右边，不等式成立假设当nk(k1且kN)时，不等式成立，即12.则当nk1时，122.当nk1时，不等式成立由可知，原不等式对任意nN都成立本例(2)中把“(n1且nN)”，能给予证明吗？证明当n2时，左边1，右边，左边右边，所以不等式成立假设nk(k2，kN)时不等式成立，即1.那么nk1时，1.当nk1时，不等式也成立由可知，原不等式对任意nN且n1都成立数学归纳法证明第二步时的注意点用数学归纳法证明不等式，推导nk1也成立时，证明不等式的常用方法，如比较法、分析法、综合法均可灵活运用在证明过程中，常常要在“凑”出归纳假设的前提下，根据剩余部分的结构特点及nk1时命题的需要进行放缩2若nN，且n1，求证：.证明(1)当n2时，左边，不等式成立(2)假设当nk(kN，且k2)时不等式成立，即，那么当nk1时，.当nk1时，不等式也成立根据(1)、(2)可知，对任意大于1的正整数不等式都成立.归纳猜想证明【例3】已知数列an的前n项和为Sn，其中an且a1.(1)求a2，a3；(2)猜想数列an的通项公式，并证明思路探究：(1)令n2,3可分别求a2，a3.(2)根据a1，a2，a3的值，找出规律，猜想an，再用数学归纳法证明解(1)a2，a1，则a2，类似地求得a3.(2)由a1，a2，a3，猜想：an.证明：当n1时，由(1)可知等式成立；假设当nk时猜想成立，即ak，那么，当nk1时，由题设an，得ak，ak1，所以Skk(2k1)akk(2k1)，Sk1(k1)(2k1)ak1，ak1Sk1Sk(k1)(2k1)ak1.因此，k(2k3)ak1，所以ak1.这就证明了当nk1时命题成立由可知命题对任何nN都成立证明“归纳猜想证明”的一般环节和主要题型1“归纳猜想证明”的一般环节2“归纳猜想证明”的主要题型(1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和(2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在(3)给出一些简单的命题(n1,2,3，)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题3数列an满足Sn2nan(Sn为数列an的前n项和)，先计算数列的前4项，再猜想an，并证明解由a12a1，得a11；由a1a222a2，得a2；由a1a2a323a3，得a3；由a1a2a3a424a4，得a4.猜想an.下面证明猜想正确：(1)当n1时，由上面的计算可知猜想成立(2)假设当nk时猜想成立，则有ak，当nk1时，Skak12(k1)ak1，ak12(k1)Skk1，所以，当nk1时，等式也成立由(1)和(2)可知，an对任意正整数n都成立.用数学归纳法证明整除性问题探究问题1数学归纳法的第一步n的初始值是否一定为1?提示不一定，如证明n边形的内角和为(n2)180时，第一个值为n03.2数学归纳法两个步骤之间有怎样的联系？提示第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就作出判断，可能得出不正确的结论因为单靠步骤(1)，无法递推下去，即n取n0以后的数命题是否正确，我们无法判定，同样只有步骤(2)而缺少步骤(1)时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就没有意义了【例4】用数学归纳法证明：n3(n1)3(n2)3能被9整除(nN)思路探究：在第二步时注意根据归纳假设进行拼凑证明(1)当n1时，13233336能被9整除，所以结论成立；(2)假设当nk(kN，k1)时结论成立，即k3(k1)3(k2)3能被9整除则当nk1时，(k1)3(k2)3(k3)3k3(k1)3(k2)3(k3)3k3k3(k1)3(k2)39k227k27k3(k1)3(k2)39(k23k3)因为k3(k1)3(k2)3能被9整除，9(k23k3)也能被9整除，所以(k1)3(k2)3(k3)3也能被9整除，即nk1时结论也成立由(1)(2)知命题对一切nN都成立证明整除性问题的关键与正整数有关的整除性问题常用数学归纳法证明，证明的关键在于第二步中，根据归纳假设，将nk1时的式子进行增减项、倍数调整等变形，使之能与归纳假设联系起来4用数学归纳法证明“n35n能被6整除”的过程中，当nk1时，对式子(k1)35(k1)应变形为_(k35k)3k(k1)6由nk成立推证nk1成立时必须用上归纳假设，(k1)35(k1)(k35k)3k(k1)6.1数学归纳法是一种直接证明的方法，一般地，与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除、数列的通项及前n项和等问题都可以用数学归纳法证明但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法解决2第一个值n0是命题成立的第一个正整数，并不是所有的第一个值n0都是13步骤(2)是数学归纳法证明命题的关键归纳假设“当nk(kn0，kN)时命题成立”起着已知的作用，证明“当nk1时命题也成立”的过程中，必须用到归纳假设，再根据有关的定理、定义、公式、性质等推证1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法()(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1()(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可()答案(1)(2)(3)2用数学归纳法证明1aa2an1(nN，a1)，在验证n1成立时，左边所得的项为()A1B1aa2C1a D1aa2a3B当n1时，n12，故左边所得的项为1aa23用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当nk时，表达式为1427k(3k1)k(k1)2，则当nk1时，表达式为_1427k(3k1)(k1)(3k4)(k1)(k2)2当nk1时，应将表达式1427k(3k1)k(k1)2中的k更换为k14用数学归纳法证明：对于任意正整数n，(n21)2(n222)n(n2n2).证明(