高考数学一轮复习 第三章 第4讲 导数的综合应用课件 理 苏教版 .ppt

第4讲导数的综合应用 考点梳理 1 分析实际问题中各变量之间的关系 建立实际问题的数学模型 写出相应的函数关系式y f x 并确定定义域 2 求导数f x 解方程f x 0 3 判断使f x 0的点是极大值点还是极小值点 4 确定函数的最大值或最小值 还原到实际问题中作答 1 利用导数解决实际生活中的优化问题 2 研究函数图象的交点 方程的根 函数的零点 归根到底还是研究函数的性质 如单调性 极值 然后通过数形结合的思想找到解题思路 因此使用的知识还是函数的单调性和极值的知识 一个防范实际问题中的函数定义域一般是受实际问题制约的 不可盲目地从建立的函数关系中确定函数的定义域 两个转化 1 利用导数解决含有参数的单调性问题是将问题转化为不等式恒成立问题 要注意分类讨论和数形结合思想的应用 2 将不等式的证明 方程根的个数的判定转化为函数的单调性 极值问题处理 助学 微博 解析y x2 81 令y 0解得x 9 9舍去 当0 x 9时 y 0 当x 9时 y 0 则当x 9时 y取得最大 答案9 考点自测 2 从边长为10cm 16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形 作成一个无盖的盒子 则盒子容积的最大值为 cm3 答案144 解析当x 2时 f x 3 x 1 2 0 说明函数在 2 上单调递增 函数的值域是 1 函数在 2 上单调递减 函数的值域是 0 1 因此 结合图形要使方程f x k有两个不同的实根 则0 k 1 答案 0 1 4 2012 盐城市第一学期摸底考试 已知函数f x x2 6 若a b 0 且f a f b 则a2b的最小值是 答案 16 5 2012 苏北四市调研 二 设直线y a分别与曲线y2 x和y ex交于m n两点 则当线段mn长取得最小值时a的值为 1 若a 0 试判断f x 在定义域内的单调性 3 若f x x2在 1 上恒成立 求a的取值范围 考向一运用导数解决恒成立及求参数范围 审题视点 1 求导数f x 判断f x 0或f x xlnx x3 求xlnx x3的最大值 若 e0 f x 在 a e 上为增函数 h x 在 1 上是减函数 h x h 1 2 0 即g x 0 g x 在 1 上也是减函数 g x g 1 1 当a 1时 f x x2在 1 上恒成立 方法总结 1 求函数的单调区间 直接求导 然后解不等式即可 注意函数的定义域 2 参数问题涉及的有最值恒成立的问题 单调性的逆向应用等 求解时注意分类讨论思想的运用 1 若a 0 求f x 的单调区间 2 若当x 0时f x 0 求a的取值范围 解 1 a 0时 f x ex 1 x f x ex 1 当x 0 时 f x 0 故f x 在 0 上单调减少 在 0 上单调增加 2 f x ex 1 2ax 由 1 知ex 1 x 当且仅当x 0时等号成立 故f x x 2ax 1 2a x 从而当1 2a 0 即a 时 f x 0 x 0 而f 0 0 于是当x 0时 训练1 2010 新课标全国卷 设函数f x ex 1 x ax2 考向二运用导数解决不等式问题 令h x ax2 x 1 a x 0 当a 0时 h x x 1 x 0 当x 0 1 时 h x 0 此时f x 0 函数f x 单调递增 方法总结 1 利用导数解决不等式问题 就是把不等式恒成立的问题 通过构造函数 转化为利用导数求函数最值的问题 2 利用导数方法证明不等式f x g x 在区间d上恒成立的基本方法是构造函数h x f x g x 然后根据函数的单调性 或者函数的最值证明函数h x 0 2 证明 当0 x 1时 f x 2 a 0 1 解由题意得f x 12x2 2a 当a 0时 f x 0恒成立 此时f x 的单调递增区间为 训练2 2012 浙江 已知a r 函数f x 4x3 2ax a 1 求f x 的单调区间 1 求y f x 的解析式和投入x的取值范围 2 求旅游增加值y取得最大值时对应的x值 考向三运用导数解决生活中的优化问题 方法总结 对于具体的函数 其单调性和最值都很明确 若定义域是变化的 这类问题分类讨论的标准就是看最值点是否在定义域内 1 试将l表示成 的函数 2 求l的最小值 解 1 如图所示 aem 90 2 则mb lsin am mb sin aem l sin sin 90 2 lsin cos2 由题意 得lsin lsin cos2 6 例4 2012 南京白下区调研二 已知函数f x x3 x2 b g x alnx 考向四应用导数解决函数的综合问题 若01 方程 为 t2 alnt t3 t2 0 显然 当t 1时 h t 0 即h t 在 1 上为增函数 h t 的值域为 h 1 即 0 当a 0时 方程 总有解 对任意给定的正实数a 曲线y f x 上总存在两点p q 使得 poq是以o o为坐标原点 为直角顶点的直角三角形 且此三角形斜边中点在y轴上 方法总结 近年来 高考对函数与导数大部分是以压轴题的形式考查的 试题难度较大 命题角度新颖 需要考生把生疏的问题通过分析转化为熟悉的问题 考查考生分析 解决问题的能力 1 求a的值 2 若对任意的x 0 有f x kx2成立 求实数k的最小值 训练4 2012 天津卷 已知函数f x x ln x a 的最小值为0 其中a 0 因此 f x 在x 1 a处取得最小值 故由题意f 1 a 1 a 0 所以a 1 2 解当k 0时 取x 1 有f 1 1 ln2 0 故k 0不合题意 当k 0时 令g x f x kx2 即g x x ln x 1 kx2 导数的工具性使得导数在高考中的应用有得天独厚的优势 特别是在研究函数的性质 相切问题以及实际优化等问题 近年 高考都从不同的方面对导数内容进行考查 既有考查导数的小题 又有考查导数综合应用的大题 这些问题构成了高考试卷中一道亮丽的风景线 规范解答6怎样用导数求解函数的综合性问题 1 讨论函数f x 的单调性 2 若f x 有两个极值点x1 x2 记过点a x1 f x1 b x2 f x2 的直线斜率为k 问 是否存在a 使得k 2 a 若存在 求出a的值 若不存在 请说明理由 审题路线图 1 即解不等式f x 0 0 2 假设存在 进行探求 令g x x2 ax 1 其判别式为 a2 4 4分 当 a 2时 0 f x 0 所以f x 在 0 上单调递增 当a 2时 0 g x 0的两根都小于0 f x 0 所以f x 在 0 上单调递增 7分 点评 探索性问题 假设成立 进行探求是最基本的解题方法 构造函数 也是用导数求解函数综合性问题的基本手法之一 1 2012 苏锡常镇四市调研 一 已知a b为正实数 函数f x ax3 bx 2x在 0 1 上的最大值为4 则f x 在 1 0 上的最小值为 2 2012 南京市 盐城市一模 若关于x的方程kx 1 lnx有解 则实数k的取值范围是 1 求a的值 2 若该商品的成本为3元 千克 试确定销售价格x的值 使商场每日销售该商品所获得的利润最大 2 10 x 3 x 6 2 30 f x 单调递增 当x 4 6 时 f x 0 f x 单调递减 所以当x 4时 f x max f 4 42 答 当销售价格为4元 千克时 商场每日销售该商品所获得的利润最大 1 求a b的值 并写出切线l的方程 2 若方程f x g x mx有三个互不相同的实根0 x1 x2 其中x1 x2 且对任意的x x1 x2 f x g x m x 1 恒成立 求实数m的取值范围 解 1 a 2 b 5 切线l的方程为x y 2 0 2 由 1 得 f x x3 4x2 5x 2 所以f x g x x3 3x2 2x 4 2011 湖北卷 设函数f x x3 2ax2 bx a g x x2 3x 2 其中x r a b为常数 已知曲线y f x 与y g